Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 234

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ И ВИНЕРОВСКИй ПРОЦЕСС В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ 581

натуральный и возрастающий процесс является абсолютно непрерывным с вероятностью 1 (см. теорему 5.10).

Отметим два

полезных

свойства

интеграла

(15.25):

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

М J f (s)dvs = 0,

 

 

(15.26)

 

 

О

 

 

 

 

Т

 

Т

 

Т

 

 

 

М J fi (s) dvs

J

f2 (s) dvs = J

fl (s) f2 (s) a2(s) ds

(15.27)

o

b

 

 

b

 

 

 

^предполагается,

что

j

f2

(s) a2(s) ds < oo, / = 1 ,

2j .

 

В том случае, когда рассматриваемый процесс v = (v<), t^ O , является к тому же мартингалом, а а2(и)> 0, 0 ^ и ^ Т, как показано в теореме 5.12, процесс

t

W ' = S

i n j T

<15-м >

о

 

 

является процессом броуновского движения. Отказ от пред­ положения мартингальности приводит к следующему результату.

Л е м м а 15.2. Пусть v = (vt), 0, — процесс с ортогональ­ ными приращениями, М (vt — vs) = 0,

t

М (v, — vs)2 — [ а2 (и) du.

Тогда, если inf

а2(и)> 0,

a2(u)du< оо, то процесс*)

о

 

 

•'

 

 

 

W f

dvs

 

 

1 W

 

 

 

о

является винеровским

процессом в широком смысле,

t

 

г

 

 

*) Как обычно, f

a(s)

— )

X(s<n

^Vs

J

J

 

a (s) '

о

 

о

 

 

582 Л И Н Е Й Н О Е О Ц Е Н И В А Н И Е С Л У Ч А Й Н Ы Х П Р О Ц Е С С О В [ГЛ . 15

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Ясно,

что МІК, = 0,

MWt =

t. Наконец,

в силу (15.27)

 

 

 

 

 

tV s

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

s

 

 

 

 

 

t

Vs

 

dvv

 

M ir,rs =

Г

dv“

I

dVu

—

M

Г Y

 

.- rf.Va-

 

f

 

 

M J

a(u)

J

а (и)

1VI

J *<“«>iu<t)

а (и)

 

J

 

a(ü)

 

 

o

o

 

 

 

 

о

tVs

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что и доказывает лемму.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Пусть

детерминированные

(измеримые)

функции

«0 (/),

at (^), й(0

таковы,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1öj (^)\dt < oo,

J ö 2( 0 ^ < o o .

 

(15.29)

Рассмотрим линейное

уравнение

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xt =

x0 +

j

[a0 (s) +

flj (s) x j ds + j

b (s) dWs,

(15.30)

где W = (WS), s ^ O , — винеровский процесс в широком смысле,

а х0— некоррелированная с ним случайная величина с Мх2 <

°о.

(Как и в случае винеровского процесса, уравнение (15.30) будем

символически

записывать

в

виде

dxt — [a0(/) +

ах(t) xt] dt +

+ b(t)dWf.)

 

s ^ O ,

является

винеровским процессом,

то

Если

W = (WS),

согласно теореме 4.10 у уравнения (15.30) существует един­

ственное непрерывное

(Р-п. н.)

решение,

задаваемое

формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

■ехр

J а{ (и) du

 

 

 

 

 

а, (и) du

a0(s) ds +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b (s) dWs

(15.31)

Стохастический интеграл, входящий в правую часть (15.31), определен и для винеровского процесса в широком смысле. Равенство (15.31) в случае винеровского процесса Ws спра­ ведливо также в среднеквадратичном смысле. Поэтому оно справедливо в среднеквадратичном смысле и тогда, когда Ws является винеровским процессом в широком смысле, что до­ казывает существование решения уравнения (15.30) с винеров­ ским процессом в широком смысле, задаваемого представле­

§ и винеровский процесс в широком смысле 583

нием (15.31). При этом нетрудно убедиться, используя свойство

(15.17), что процесс xh

0 ^ / < 7 , непрерывен

в среднем ква­

дратическом. Пусть yt,

0<П ^ 7, — другое такое же решение

уравнения (15.30). Тогда

Дt = xt — yt, 0 < / < 7 ,

удовлетворяет

уравнению

 

 

А, = I ах(s) As ds

 

 

о

 

и, следовательно, является непрерывным Р-п. н. процессом,

откуда

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

I

Ы К

J I ф (s) II As |rfs

 

 

 

 

ö

 

 

и по лемме 4.13

As =

0 (Р-п. н.),

0 < П < |7 .

Поэтому

 

Р {

sup

\xt — yt \ > 0} =

0.

 

 

0<<<Г

 

 

 

Пусть теперь

W = (WX, . . . ,

Wn) — л-мерный винеровский

процесс

в широком смысле (каждый из процессов W-, — (W{ (t)),

0, / =

1, . . . , л, является винеровским в широком смысле,

и компоненты Wt, Wj при і ф j некоррелированы). Пусть заданы

случайный

вектор

лг0 = (Х[(0).........х„(0)),

некоррелированный

с W,

П

 

оо, вектор-функция a0{t) — (a0(t),

. . . , a0n(t))

2 Мл:?(0) <

 

i=i

ай (*) =

II«)/Ш .

b(f) =

\\btj(t)\\

размерности (л X «)•

и матрицы

Будем

предполагать также,

что для элементов aQ. (t),

alu (t), btj(t)

выполнены соответствующие условия (15.29).

 

Тогда,

как и в случае л = 1 ,

уравнение

 

 

 

 

t

 

 

t

 

 

 

** = *о+' J [а0(s) +

(s) л:5] +

J b(s)dWs

(15.32)

 

 

 

о

 

 

о

 

имеет единственное непрерывное в среднем квадратическом

решение xt =

{xx(t),

. . . , xn(t)),

задаваемое

формулой

 

[

<

ао (s) ds + f (Фо)

b(s)dWs \,

(15.33)

Xt ■Фо j Хо + I

(фо)

(

О

 

о

j

 

где Фо — фундаментальная

матрица,

 

 

 

Щ

— ax(t) Фо,

Фо = Е(пхп)‘

(15.34)

 

dt

 

 

 

 

 

Для рассматриваемого процесса xt обозначим tit = У\хц, Г (t, s)=* -= М (де# — щ) {xs — nsy, Г/ = Г (t, t).

584

 

Л И Н Е Й Н О Е

О Ц Е Н И В А Н И Е

С Л У Ч А Й Н Ы Х П Р О Ц Е С С О В

[ГЛ . 15

Т е о р е м а

15.1.

Вектор

nt

и матрица

Гг являются реше­

ниями дифференциальных

уравнений

 

 

 

 

 

dn.

=

<*0 (t) +

«1 (0 nlt

 

 

(15.35)

 

 

 

- i f

 

 

 

 

 

^

=

 

 

Tt + Yta\{t) + b{t)b\t).

(15.36)

 

Матрица Г (t, s)

задается формулой

 

 

 

 

 

 

Г (t,

s) =

Ф*Г5,

t > s,

 

(15.37)

 

 

 

 

Г,(Ф?)\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

Ф* =

Фо (Фо) ,

t >

s.

Уравнение

(15.35)

получается

усред­

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

нением

обеих

частей

в (15.32).

При

этом из (15.33) вытекает,

что

решение уравнения (15.35) определяется

формулой

 

 

 

 

 

 

 

(

 

t

 

 

j

 

 

 

 

nt = Фо! По +

[

(фо)

1а0(s) ds | .

(15.38)

 

 

 

 

 

 

I

 

о

 

 

J

 

Далее, пусть Vt — xt — nt. Тогда из (15.33) и (15.38) вытекает, что

 

 

 

(

t

\

 

 

 

Уг=Фо\ѵ0+ J (ф З)

lb(s)dWs ,

(15.39)

 

 

 

I

о

)

 

откуда в силу

некоррелированности

х0 и W получаем

 

Г , =

М V t V t =

 

 

 

 

 

=

Фо1 М ѴоѴ'о +

М J (Ф§)

1Ь (s) dWs

J (ф§)“ ' b (s) dWs

(Ф$)\

Поскольку компоненты процесса W некоррелированы, то по

свойствам (15.15)

и (15.16)

 

 

 

М J

(Ф?)~! Ь (s) dWs ^ J (Ф5)~‘ Ъ (s) dw)j =

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

= |(Ф о Г ‘б (5)^ (s) [fa S rT d s .

Следовательно,

 

 

о

■

 

(

t

 

]

 

 

 

 

 

 

Г, = ФІ

Го+ f (Фо)

'й(5)6*(5)[(Ф о)~Т^ (Фо)‘.

 

 

 

I

о

 

]

 

§ И

ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ

585

Дифференцируя правую часть этого соотношения и учитывая (15.34), приходим к требуемому уравнению (15.36).

Установим теперь формулу (15.37). Пусть t ^ s . Тогда

г (t, s) = м ѵХ = ф 5{ М ѵ0ѵі +

-f- м

J (фо)

b ( u ) d w u

 

*<,>«, К У ' b(u)dWu

(Фо) |

=

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф^Фо j Го + (Фо) ь (и) b' (и) (Фо) du (Фо)* = Ф*Г5.

 

 

 

О

 

 

J

 

 

Аналогично

проверяетсяI I

справедливость и второй

части

фор­

мулы (15.37)

для

 

 

 

 

 

 

Теорема доказана.

xt,

0 < П < Т , удовлетворяющего

уравне­

7.

Для процесса

нию (15.30),

обозначим для

t > s

 

 

 

 

 

R(t,

s) = Г (t, s) Fs •

 

 

Пусть

s < и < t. Покажем,

что тогда

 

 

 

 

 

R(t,

s) =

R(t, u)R(u, s).

(15.40)

Для доказательства этого соотношения достаточно считать, что х0 = 0, fl0(s)sO , а Ws есть винеровский процесс. Тогда из теоремы о нормальной корреляции (теорема 13.1) вытекает, что

М (xt \xu) = R(t, и)хи.

Из формулы (15.33) следует, что процесс xt является марков­ ским и, в частности,

М (xt I xs, хи) = М (xt I хи)

(Р-п. н.).

Следовательно,

М (xt — R (t, и) хи I xs, хи) — 0,

и, значит,

М (xtxД / — R O', и) XuXsTt) = 0 ,

что и доказывает соотношение (15.40).

Итак, для процесса хь 0 ^ ^ Т, удовлетворяющего уравне­ нию (15.32), функция R(t, s) удовлетворяет соотношению (15.40).

Справедлив в определенном смысле и обратный результат.

Т е о р е м а 15.2.

Пусть x = (xl (t), . ...

xn(t)),

—

случайный

процесс

с заданными первыми двумя моментами

щ — Mxt,

Г (t, s) =

М \{xt — nt) {xs — rts)*].

Предположим,

что

Смотрите также файлы