Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 231
Скачиваний: 0
586 |
Л И Н Е Й Н О Е О Ц Е Н И В А Н И Е С Л У Ч А Й Н Ы Х П Р О Ц Е С С О В |
[ГЛ . 15 |
матрица R{t, s) = T{t, s )T t удовлетворяет соотношению (15.40)
ивыполнены следующие предположения:
1)существуют вектор a0(t) и матрицы a^t) и В (t) такие, что их элементы принадлежат Ly[0, Т]‘,
2) элементы матриц R (t, s) непрерывны по t (t > s), и
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
R (t, s) — R (s, s) + I |
«l (m) R (n, s ) |
du-, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
3) |
элементы |
матриц |
Г\ = |
Г (t, |
t) |
непрерывны и |
|
||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
г* = Го + |
J [йі (и) Ги + |
Г и а\ (и) }du-\- |
J В (и) du-, |
|
||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
4) |
элементы |
вектора |
щ непрерывны |
по |
t, |
и |
|
||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
Щ= п0+ |
J [а0 (и) + |
а{ іи) пи] du. |
|
|||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда найдется |
винеровский |
в |
широком |
смысле |
процесс |
||||||
Wt — (WX(t), . . . , |
Wn {t)) такой, что Р-п.н. для |
всех t, Q ^ i ^ . T , |
|||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
*< = * o + / |
[a0(s) + а, (s)xs]ds + |
J Blß(s)dWs. |
(15.41) |
|||||||
|
|
о |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
Wu |
0 |
|
T, — некоторый |
||||||
«-мерный винеровский процесс в широком смысле и х0— «-мер
ный вектор, |
имеющий |
те же два |
первых момента, что и х0, |
|
и не зависящий от Wt, |
O ^ t ^ T . |
Предположим, что для почти |
||
всех 0 < |
s < |
Т матрицы В (s) неотрицательно определены. Пусть |
||
процесс |
Xt, |
|
есть решение уравнения (п. 6) |
|
|
|
t |
|
t |
|
xt = xQ+ J [a0 (s) + a! (s) xs] ds + J B m (e) dWs. |
|||
|
|
a |
|
o' |
Тогда в силу теоремы 15.1 и сделанных предположений 1)—4) первые два момента у процессов xt и xt совпадают. Следова тельно, совпадают первые два момента и у процессов
t |
|
vt = xt — x0 — J [a0 (s) + |
a, (s) xs] ds, |
6 |
(15.42) |
t |
|
vt = Xt — x0 — J [a0 (s) + |
a, (s) xs\ ds. |
о |
|
§ 1] |
|
|
В И Н Е Р О В С К И Й П Р О Ц Е С С В Ш И Р О К О М |
С М Ы С Л Е |
587 |
||||
Но vt = |
Jt |
Bxl2(s)dWs является процессом с ортогональными при- |
|||||||
|
о |
|
а значит, |
таковым |
же является |
и процесс |
vt, 0 ^ |
||
ращениями, |
|||||||||
< t < Т. |
матрицы |
В (t) положительно определены |
для почти |
||||||
Если |
|||||||||
всех 0 ^ |
|
^ |
Т, то |
процесс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ B - ',2(s)dvs |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
по многомерному |
варианту леммы 15.2 является |
винеровским |
|||||||
в широком |
смысле. |
Поэтому |
vt — Jt B]/2(s)dWs, |
что |
вместе |
||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
с (15.42) доказывает в этом случае представление (15.41). |
|||||||||
Если матрицы В (t) |
для почти всех О |
Г неотрицательно |
|||||||
определенные, то надо положить |
|
|
|
||||||
Г , = |
J [В 1,2(s)]+ dvs + j |
[Е ~ (ß 1/2 (s))+ (ß1/2 (s))] dzs, |
|||||||
|
|
|
6 |
|
0 |
|
|
|
|
где zt, 0 < |
|
/ < Г, — некоторый |
/г-мерный винеровский |
процесс |
|||||
в широком смысле, некоррелированный с исходным процессом
х(, |
(Такой процесс существует, если исходное веро |
||
ятностное пространство достаточно |
«богатое»). Тогда, |
как |
|
и в лемме 10.4, показывается, что так определенный процесс Wи |
|||
0 |
Г, является винеровским в широком смысле. |
|
|
Покажем теперь, что сделанное предположение о неотрица |
|||
тельной |
определенности матриц В (t) |
(для почти всех 0 ^ t ^ |
Т) |
есть следствие условий 2), 3), входящих в формулировку теоремы. Поскольку свойства матриц B(t) зависят лишь от свойств первых двух моментов процесса хи то без ограни чения общности можно считать этот процесс гауссовским. Тогда
по теореме о нормальной корреляции матрица
Г(7 + Д, Ң - Д ) - Г ( Н - Д , t)T +(t, t) F ( t + A, t),
+ Д < 7 \
является симметрической и неотрицательно определенной. По
свойствам псевдообратных |
матриц (§ 1 гл. |
14) |
|
|||
г + (t, t) = |
г + (t, t) г (t, t) r + (t, t), (Г+ (t, t)Y = |
( Г (t, t))+ = r + (t, t). |
||||
Поэтому |
матрица |
|
|
|
|
|
T(t + Д, |
* + |
Д ) - Г ( * |
+ Д , |
t)T+(t, t)T(t, t)(T+(t, |
t)Y X |
|
X Г* (i +Д , |
0 = Г (t + |
A, t + Д) - R (t + .Д, t) Г (t, |
t) R* (t + A, t) |
|||
|
|
|
|
|
|
(15.43) |
588 |
|
|
Л И Н Е Й Н О Е О Ц Е Н И В А Н И Е |
|
С Л У Ч А Й Н Ы Х |
П Р О Ц Е С С О В |
|
[ГЛ . |
15 |
|||||||||||||||
также |
симметрическая |
и |
неотрицательно |
определенная. |
||||||||||||||||||||
Из (12.43), |
2), |
3) |
и формулы |
|
Г (и, |
і)Г +(t, |
t)T (t, |
t) — T(u, |
t), |
|||||||||||||||
u ^ t ( см. доказательство теоремы |
13.1), |
после простых преобра |
||||||||||||||||||||||
зований |
находим, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В (t) = |
lim-нГ (f + |
А, / + |
А ) - / ? ( / |
+ |
А, |
t)T[t, 0 /?* (/ + Л, |
/)} |
|
||||||||||||||||
|
|
|
аіо |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(для |
почти |
всех t , 0 ^ . t ^ . T ) . |
|
Следовательно, |
матрицы |
В (t) |
||||||||||||||||||
для |
почти всех t являются неотрицательно определенными. |
|||||||||||||||||||||||
|
Теорема |
доказана. |
|
|
|
|
|
|
t |
1, — винеровский процесс |
||||||||||||||
|
П р и м е р . Пусть W = (Wt), О |
|
|
|||||||||||||||||||||
в широком |
смысле и |
l t==Wl-t + |
wt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(т. е. |
dit — Widt + dWt, g0 = |
0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Используя доказанную теорему, покажем, что найдется та |
|||||||||||||||||||||||
кой |
винеровский процесс в широком смысле Wt, |
|
|
|
||||||||||||||||||||
что (Р-п. н.) |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds -L Wt |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
£, = Г-.,3^ |
3s |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ы |
J |
|
1 + |
аЬ |
1 |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ср. с теоремой 7.12). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
Г (/, |
s) = |
|||||||||
= |
Действительно, |
в рассматриваемом случае М|/ = |
||||||||||||||||||||||
|
|
= |
3/s + |
t Л s. |
Отсюда для |
t ^ s > |
0 получаем |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R(t, |
s) = |
3*s + |
s |
|
3t + |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3s2 + |
s |
~ |
3s + |
1 • |
|
|
|
|
|
|||||||
Эта функция удовлетворяет условию (15.40), |
и легко найти, что |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
а0(0 = |
0, |
«1 (0 = |
|
-p j ы , |
|
ß ( 0 = |
1. |
|
|
|
|||||||||
|
Заметим, что в рассматриваемом случае величины Wt |
|||||||||||||||||||||||
являются |
#"/-измеримыми |
для |
|
всех |
t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
§ 2. Оптимальная линейная фильтрация |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
некоторых классов |
нестационарных процессов |
|
|
||||||||||||||||||
|
1. |
|
Пусть Г і = ( Г п, |
. .. , |
|
Wlk) и W2 = (W21, ... , |
W2l) ~ |
некор |
||||||||||||||||
релированные между собой винеровские процессы в широком |
||||||||||||||||||||||||
смысле. |
Будем |
рассматривать |
|
случайный |
процесс |
(Ѳ, |
g) = |
|||||||||||||||||
= |
[Ѳ/, I/], |
t ^ O , |
компоненты которого |
Ѳ/ = |
[0! (t), |
. . . , |
0fe (/)] |
и |
||||||||||||||||
h |
= [Si {t)> |
• ■• > £/W]> t > 0 , |
подчиняются |
системе |
стохастиче |
|||||||||||||||||||
ских |
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
dQi = |
[а0 (t) + |
ах(t) Qt + |
a2(t) £/] dt + |
bx(t) dW{(t) + |
b2 (t) dW2(t), |
1 |
||||||||||||||||||
dlt = |
[A0 (t) + |
At (t) Ѳ/ + |
(t) t t] dt + |
B, (t) dW, (t) + |
B2(t) dW2 (t) |
j |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(15.44) |
||
