Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

68

МАРТИНГАЛЫ (НЕПРЕРЫВНОЕ ВРЕМЯ)

[ГЛ. 3

процесс

xt,.

О,

имеет для каждого / > 0

пределы слева

xt- — lim xs (Р-п. н.).

s^t

3.3.

Пусть

X = (xt,@~t),

О,— субмартин­

2. Т е о р е м а

гал с непрерывными справа

траекториями xt,

0,

такой, что

sup Мх+ < оо.

(3.10)

t

Тогда с

вероятностью

1 существует \\mxt ( = x )

и

МлА < оо.

Доказательство

следует

t-> ОО

с

помощью

из неравенства (3.9)

t

оо

(разложение

Рисса). Если супермартингал

Т е о р е м а

3.4

X =

{xt, &~t),

t ^ O ,

с

непрерывными справа траекториями xt,

0,

мажорируется

некоторым

субмартингалом

Y = (Уа @~t)>

П =

0,

то найдутся мартингал M =

(mt, @~t), t ^ O ,

и потенциал

(я,, &~t),

0,

такие, что для

каждого t ^ O

xt = mt + nt

(Р-п. н.).

(3.11)

xt > U {y \\^t),

t ^ O ,

Р-п. н.

Тогда, если

х

и о — марковские

моменты и P (0 ^ t ) ~ 1,

то

ха> Щ х х \д-а).

(3.12)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для

каждого

п — 1,

2 , . . . свяжем

с моментом т м. м.,

т„ — т„(ш),

полагая

Н = -|г на {со: -^=-!<т(со) < ^ - } ,

6 = 1 , 2 , . . . ,

и тге((о) = + ° °

на

(со: т(со) =

оо}.

Аналогично

определим

и

моменты ап, п = 1,2,

... Будем предполагать,

что Р (а„<лг„)=1

для каждого

п = 1,

2, ...

(в противном случае

вместо ап надо

рассмотреть

оп Л т„).

Пр теореме

2.12

Хоа > М ( х Ха\0-аа)

(Р-п. н.),

п== 1,

2, ...

§ 2]

ОСНОВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

69

Возьмем

множество

Тогда, поскольку Ѳ~а <=дга ,

то А ^ З г „п,

и из предыдущего

неравенства

получаем

J x0n d P >

J AtndP.

(3.13)

А

А

Заметим

теперь, что случайные величины

п = 1, 2, . .. )

I

х0 dP ^

I

х%dP.

(3.14)

А

А

Поэтому

М [хх \ЗГ0]

(Р-п. н.).

З а м е ч а н и е

1. Из доказанной теоремы 3.5 видно, что

неравенство

(3.12) сохраняет свою

силу для

супермартингалов

с непрерывными

траекториями

X = (xt,£Ft),

0 ^ / ^ 7 '< о о , и

м. м. т и о таких,

что Р (а ^ т ^

Т) — 1.

0,—неотрицательный

З а м е ч а н и е

2.

Если X — (xt, ^ ) , t ^

супермартингал

и xt =

0, то л^ =

0 ({t ^

т}, Р-п. н.).

супермартингал

X =

(xt, $Ft),

0,

есть

равномерно

интегри­

руемый мартингал, то неравенство (3.12) обращается в равен­

ство. Чтобы это утверждение

сделать

по своей форме

анало­

гичным соответствующему утверждению (теорема 2.9) для дис­

кретного времени, введем такое определение.

0,

назы­

О п р е д е л е н и е

2.

Мартингал

X =

{xt,

t),

вается регулярным, если существует интегрируемая случайная

величина т] (М I

tj | <

сэо) такая, что

xt =

М (л |£Г(),

0 (Р-п.

н.).

Как и в теореме 2.7, можно показать, что регулярность

мартингала X — {xt, ЗГt),

0,

эквивалентна требованию равно­

мерной интегрируемости семейства случайных величин (xt,

0).

Т е о р е м а

3.6.

Пусть

X =

(xt,

SFt),

0, — регулярный

мартингал с непрерывными справа траекториями. Тогда, если х

и а — марковские

моменты и Р ( с г ^ т )= 1 , то

ха=Ы\{хх \д~а)

(Р-п. н.).

(3.15)

Д о к а з а т е л ь с т в о

следует

из проведенного выше дока­

зательства теоремы 3.5, если учесть, что для регулярного мар­

тингала

семейства

случайных величин

{х0п, п =

1,

2,

...}

и

{хп, п =

1,

2, . . . ) равномерно

интегрируемы.

X — (xt, @~t),

З а м е ч а н и е

1.

Поскольку

для

мартингала

его

0,

mt =

N[xt = const,

то

для

непрерывности

справа

траекторий

(в соответствии

с теоремой

3.1)

достаточно

требо­

вать лишь

непрерывности справа

семейства

і),

Более

^

70

МАРТИНГАЛЫ (НЕПРЕРЫВНОЕ ВРЕМЯ)

[ГЛ. 3

точно, в этом случае существует

мартингал Y = (yt,

t), f^O,

такой, что его

траектории yt,

0,

непрерывны

справа и

P { x t = y t) = L t > О-

теоремы 3.6

остается

З а м е ч а н и е

2.

Утверждение (3.15)

справедливым для

мартингалов

X = (xt, OFt) с непрерывными

вале

Г <

°о,

и марковских моментов т и а таких, что

Р ( а < т <

Т )= 1.

Если в условиях

теоремы 3.6 не требовать,

З а м е ч а н и е

3.

чтобы Р ( а ^ т ) — 1,

то

утверждение

(3.15) заменится

на сле­

дующее:

Хслт =

M(xt |^~а)

(Р-П. Н.)

(3.16)

ный» процесс X* =

(xtAx, Ѳ~t),

0,

также будет мартингалом.

Для доказательства (3.16) заметим,

что согласно (2.25)

^ A

t n= M (x TJ ^ o n)

(Р-П. H.)

для всех k ^ n .

Отсюда

в силу

равномерной интегрируемости

величин

{xTfe, k = \ ,

2, . . . j при

k —>oo

получаем, что

Хоп лт = М (лг-сI $ Г

Полагая

теперь

п-> оо,

приходим

к

требуемому равенству

(3.16).

О п р е д е л е н и е

3.

Супермартингал

Х — {х1,

SFt),

0,

с непрерывными справа траекториями лу= лу(со),

/ ^ 0 ,

при­

надлежит

классу

D,

если

семейство

случайных величин

(хх, т е і ) ,

где

Z — совокупность

марковских

моментов

т с

Р (т <

оо) = 1, равномерно

интегрируемо.

X — (xt,

@~t),

О п р е д е л е н и е

4.

Супермартингал

0,

0,

с непрерывными

справа

траекториями

xt =

xt {a),

t >

при­

надлежит

классу

DL,

если

для любого

а,

0 ^ а < оо,

семей­

ство случайных велич-ин (хх, т е 3"й), где

— совокупность

мар­

ковских моментов т с Р ( т ^ а ) = 1 ,

равномерно

интегрируемо.

Ясно, что класс

DL э

D.

Следующая

теорема дает

крите­

рии принадлежности классам D и DL.

X =

(xt,

t),

t ^ 0 ,

Т е о р е м а

3.7.

1)

Всякий мартингал

с непрерывными справа траекториями принадлежит классу DL.

2) Всякий равномерно интегрируемый мартингал X ~ { X t, @~t),

t ^ 0 ,

с

непрерывными

справа

траекториями

принадлежит

классу

D.