Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 210

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

636

ПРИМЕНЕНИЕ

К НЕКОТОРЫМ

ЗАДАЧАМ УПРАВЛЕНИЯ

[ГЛ. 16

 

Как и в (16.90), находим, что

 

 

 

М [ Л0 (і, É) +

Л, (t, ю m t f

+ М [ѵИ? ( t . £)] < р -

(16-116)

Заметим теперь, что уравнение (16.115) эквивалентно инте­ гральному уравнению

Vt =

У exp I 2 J a (s) ds — J ysЛ; (s>S) ds

+

 

 

 

 

 

 

1 о+

J

b2

(s)

exp I 2 J a (u) du

 

 

и

 

du

ds.

 

 

о

— J yuЛ2 ( , g)

 

Отсюда в

силу неравенства Йенсена (Me

11~^е

Мі1)

получаем

М [Ѳ, — m tf

> у exp j 2 J

a (s) ds — J Му,.Л2 (s, Q ds j +

 

 

 

 

 

 

 

l

о

о

 

 

J

 

 

 

 

t

,

 

t

 

t

 

 

1

 

 

 

+

J ft2 (s) exp j 2 j

a (u) du — j" МуцЛ2 (и,

|) du

I ds,

 

(16.117)

 

о

(

 

s

 

s

 

 

)

 

 

 

что вместе с неравенством Му^Л? (/, g) ^ Р, вытекающим из (16.116), дает для Му, оценку снизу:

 

 

t

 

 

 

 

 

 

Му, ^

у ехр

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

о

62(s) exp

 

 

ds. (16.118)

 

 

 

 

 

 

 

 

Укажем теперь кодирование (Ло, ЛІ),

для которого в (16.118)

 

 

равенства.

Поскольку по предположению у0 =

достигается знак+ J

 

0} =

1 (теорема

12.7)

и,

следовательно,

= у >

0,

то Р {inf y^ >

для всех

t < т

 

определены функции

 

t, 0 ^ - t ^ . T ,

 

 

 

Л « . Г

)

 

(

16-' 19>

 

 

Al(t, Г) = - A , ( t , f f

ml,

 

(16.120)

где m- -= М (Ѳ, 1Г]'), V,' -= М[( в, - m]f 1Г

а Г = ®), 0 < t < Т,

§ fl

ОПТИМАЛЬНОЕ

КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОДИРОВАНИЕ

637

является

решением уравнения

 

 

 

dlt = \Al{t, l )

+ A\{t, £ )Qt\dt + dWt,

gS = 0.

(16.121)

Важно заметить, что в силу (16.119) (Л*(/,|*))2 у, = Р, и, сле­ довательно (см. (16.115)),

 

 

 

 

 

у; = [ 2 а ( 0 - Р ] Ѵ; + т

 

 

Yo= Y.

(16.122)

Это линейное уравнение

имеет единственное решение

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

Y exp j2 J Ja+

 

— -£] ds

 

 

 

 

 

 

 

Yt

 

 

(s)

Jb2(s) expJI+2 Jt

a(u)

du

I ds,

(16.123)

 

 

 

 

 

 

о

 

 

I

о

 

 

 

 

 

которое

не зависит

от «случая».

 

 

 

 

 

 

 

Сравнивая (16.113), (16.118) и (16.123), убеждаемся в том, что

Итак, доказана

 

А*(0 = Ѵь

 

 

 

 

 

(16.124)

 

При передаче по схеме (16.111) гауссов­

 

 

Т е о р е м а

16.6.

ского процесса Ѳ„ подчиняющегося

 

уравнению

(16.110), опти­

мальная

передача

описывается уравнением

 

 

 

 

 

 

dl 't =

I

[Ѳ, — m]\ dt +

dWt,

=

0,

(16.125)

 

 

 

 

 

 

\

Yt

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

оптимальное

декодирование

m] =

М,(Ѳ, |^|*) определяется

из

 

уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

dm] =

а (t) rnt dt-\-

\/ PyJ rfgj,

m*ü =

m,

(16.126)

 

 

 

 

yf =

[ 2 a ( t ) - P } y ]

+

b2(t), y'0 = y.

 

(16.127)

 

 

 

 

 

 

 

 

Минимальная

ошибка

воспроизведения

 

 

 

A* (t) —

I

/г

 

P1

 

 

 

 

 

 

 

Y exp І

2

a(s) —

d$ +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

I b2(s) exp j 2 I

a(u)

du 1 ds.

(16.128)

 

 

 

 

 

 

0

 

I

s

 

 

 

 

 

 

 

 

Сле д с т в и е .

Если a(t) =

b{t) =

0, то (cp.'с (16.102))

A* (t) = ye~pt.

638 ПРИМЕНЕНИЕ К НЕКОТОРЫМ ЗАДАЧАМ УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. 16

З а м е ч а н и е 1. Если в передаче по схеме (16.111) обрат­ ная связь не используется, то оптимальные кодирующие функ­

ции

Ä 0(t),

Л, (t) задаются формулами

 

 

 

 

 

 

 

л ®

= Ѵ т

к ' '

л°(/) = ~

л~ {і) Ш ( -

 

При

этом

среднеквадратическая ошибка

воспроизведения А (t)

находится

из уравнения

+ b2(t) -

 

 

 

 

 

 

 

 

А (t) =

2а (t)A (t)

-щ - Ä2 (t), А (0) =

у.

 

Для сравнения величин А* (t)

и А (/) рассмотрим следующий

 

При ме р 2.

Пусть а(0 =

— 1,

b (t) = 1, у =

, m — 0, т. е.

пусть

процесс

Ѳ„

0,

является

стационарным

гауссовским

марковским процессом с dB,—

— Qt d t - \ - d W t

и Ѳ0~./Ѵ(0, 1/2).

Тогда

МѲ, = 0,

D 0,=

l/2

и

A (t) =

— 2Â (/) +

1 — 2РД2(0,

А (0) =

1/2.

Отсюда нетрудно найти, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ар = lim А (0 =

 

+2рР-~-*.

 

 

 

 

 

 

 

 

*>оо

 

 

 

 

 

 

 

В то же время согласно (16.128)

 

 

 

 

 

 

 

 

А‘ (0 = 2ТТ +

е - (2+р)' 1

1

]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2 + Р J ’

 

и,

значит,

Ар =

lim А* (t) =

*“Г

- .

Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

t

->со

 

н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л* _

 

 

 

2Р

 

 

 

 

и,

следовательно,

Ар ~ (2 + Р)(КГ+2Р—О ’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Иначе говоря, при больших Р использование обратной связи дает ошибку воспроизведения существенно меньшую, нежели без использования обратной связи. При малых Р ошибки вос­ произведения в обоих случаях асимптотически (при t оо)

эквивалентны.

З а м е ч а н и е 2.

Кодирование (Ло, Лі),

найденное в тео­

реме 16.6,

является

также оптимальным в том смысле, что

 

 

 

Ь(Ѳ> £*) — sup \t (Ѳ, I),

(16.129)

где sup

берется, по всем допустимым линейным кодированиям,

а ІДѲ, I)

определено в (16.64). Доказательство равенства

(16.129)

проводится так же, как и в лемме

16,7.

Г Л А В А 17

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ И РАЗЛИЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

ДЛЯ ПРОЦЕССОВ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА

 

§ 1. Метод максимального правдоподобия

 

 

для

коэффициентов линейной регрессии

 

1.

Пусть I =

(!*),

— случайный процесс

с

 

 

h =

2 а< (0 Ѳг + ть

(17.1)

 

 

 

t=1

 

где Ѳ==(Oj,

Ѳ*)— вектор-столбец неизвестных параметров,

— оо <

Ѳг < оо,

і = \ , . ..,

N, а щ = {al (t), . . ., a v (t)) — извест­

ная вектор-функция с измеримыми детерминированными ком­

понентами а/(/),

і =

1,

N.

Случайный

процесс

'П==(ф).

— со < t <. оо, предполагается

стационарным,

Мг)0 =

0, гауссов­

ским с дробно-рациональной спектральной плотностью

 

 

 

/(*) =

Рп- 1(<Я) 2

 

 

(17.2)

 

 

 

Qn(il)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п—І

 

 

 

 

п

 

 

 

где P„_,(z)= 2 M ',

&„_! =7^=0,

Q„(z) = 2 а/27, ил= 1

и корни

/=о

0

 

 

 

/—О

 

 

 

уравнения Q„(z) =

лежат в левой полуплоскости.

оптималь­

Основываясь на

выведенных

ранее уравнениях

ной фильтрации, найдем оценки максимального правдоподобия вектора Ѳ по результатам наблюдений == O ^ s ^ T j .

2.Будем предполагать, что у функций а;(7) существуют

производные gj(t),

N, и

 

 

 

т

 

 

 

I g){t)dt < оо.

 

(17.3)

 

о

 

 

Согласно теореме

15.4 процесс т] =

(гр),

является

компонентой «-мерного процесса (tjj(Ц,

... ,т]„(/)),

где r\t = (t),

Смотрите также файлы