Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 211

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

64Ö ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ И РАЗЛИЧЕНИЕ ГИПОТЕЗ [ГЛ. 17

удовлетворяющего уравнениям

di\,{t) = y\,+iWdt + frdWt,

 

/ = 1 ,

п

- І ,

(17.4)

 

п—I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy\n{t)=— 2

а /П ж (')^ + $ndWt,

 

 

 

(17.5)

где W = (Wt),

/=о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 < / <

Г ,— некоторый

винеровский

процесс,

не

зависящий от тц(0), у‘= 1 ,

... , п,

а числа ß;-,

/ =

1,

. . . ,

N,

за­

даются формулами

 

і-і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ßl ===

1> ß/

bfl—i

1—1ßtttn—1+i J j

2,

• • • > Я.

 

 

Согласно предположению ß1=

ö„_1ф 0 и

 

 

 

 

 

 

 

»

 

 

1

dt + f a d W f

 

(17.6)

 

 

2 gi(O0i + Tb(0

 

Поэтому, если g t = (gi {t),

... , g N ( t ) ) ~

вектор-функция (строка),

а Ѳ= (Ѳ1>

Ѳд,) — вектор (столбец) неизвестных параметров,

то

d\t — [gfö + т]2 (/)] dt +

ß! dW t

 

 

 

(17.7)

 

 

 

 

dr\j (t) =

T)/+1 (O^ +

ß/ dH?,,

 

І =

2, . . .,

я — 1,

 

 

 

 

 

J1

 

 

 

 

 

 

(17.8)

 

 

 

П—1

 

 

 

 

dib (0 :

О о ( і < — «<Ѳ)— 2

 

Ö / T 1 / + 1W dt + ß„

 

 

 

 

 

 

/=2

 

 

 

 

 

 

 

В системе (17.7), (17.8) компоненты r\o(t), ... , лЛО являются

ненаблюдаемыми. Процесс

наблюдаем.

соответствующих

 

Зафиксируем

некоторое

Ѳе

R N

и

для

этому значению

процессов l t

и тр(У)

обозначим

 

 

 

т ѳі(і, | ) =

М [ Л / ( 0 І 6 * ,

0 j <=

s 2<,

/ . ] . ., ,

п ,

 

 

Y//(0=M[(T|<(0 —

 

I))(ri/(0 —

 

 

=

 

•••,

я.

Согласно уравнениям

теоремы

10.3

ковариации у®; (0

не зави­

сят

от

Ѳ.

При

этом

y tj (t) == у®

(t) удовлетворяют уравнениям

(10.82),

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£) =

m%.,(f, £)d/-f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ßlß/“bV2/(0

- ( g

fe +

m»(f,

g))df], / - 2 ,

... ,

f t - 1 ,

(17.9)

+

' ß2

- K

d m dn{t,

g) =

 

 

 

 

«—1

 

 

 

 

 

 

e o (6 /- a (ö

) - 2

fl/« /+ .^

S)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/=i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

~ - - +p^— °

К

- M

 

l ) ) d t \

(17.10)

§ 1] МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ 641

 

Далее,

по теореме 7.17

процесс g =

(g,),

допуска­

ет дифференциал

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d l t = [gtB +

ml(t,

D \d t +

^ d W t,

(17.11)

где

W = (Wt, &"\)— винеровский

процесс и

 

 

 

 

 

 

Р I I

( т \ (t, g))2 d t < оо I = 1.

 

 

 

Наряду

с процессом g — (g*),

 

рассмотрим процесс

 

 

 

 

It =

Io+ßi#<,

Іо=

тц (0).

(17.12)

и

процессы

m?(t, |),

/ = 2, ... ,

п — 1,

удовлетворяющие

си­

стеме (17.9),

(17.10), где вместо g подставлен процесс |-

про­

 

Пусть

(іе

и

(і — меры

на (CT,âST), соответствующие *)

цессам g =

(g*)

и | = (І),

 

определяемым

из (17.11) и

(17.12). В силу теоремы 7.19, леммы 4.10 и того факта, что g0

и Іо — 'Пі (О) — гауссовские случайные величины (Dg0= D lo > 0 ).

меры цѳ и ц эквивалентны, причем

dp9

(g) =

exp

ІоаоѲ

1

(аоѲ)2

,

 

 

 

 

djx

 

 

ö2

2

ö2

 

+

 

 

 

 

 

 

 

+

gtQ+

 

m2 (t, І)

d i r

1 f

M + m\ (t,

I)]2

(17.13)

 

 

 

 

 

ß?

2 і

ßf

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где б2 =

М|о (=

Мтр (0))-

 

 

 

 

 

 

в (17.13).

Выясним структуру величин т®(/, g), входящих

Из уравнений (17.9) и (17.10)

нетрудно вывести **),

что

 

 

 

 

 

 

т 2 if,

I) =

v0 (t, g) + V

, (t) 0,

(17.14)

где

 

v0(t,

g) ^-измеримы при

каждом

t,

a v, (t) =

(vu (t), ...

.. . ,

 

vw (t)) — детерминированная вектор-функция (строка).

 

 

*)

$ T — борелевская

о-алгебра

в пространстве

Сг непрерывных функ­

ций X =

(xs), 0 < s ^ Т.

 

 

 

 

 

 

 

 

в §

**)

Соответствующие рассуждения для случая дискретного времени см.

2 гл.

14.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21 Р. Щ. Липцер, А. н. Ширяев

642 ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ И РАЗЛИЧЕНИЕ ГИПОТЕЗ [ГЛ. 17

 

Из (17.13) и (17.14) получаем

 

 

 

 

 

V

(і) = exp

 

ІоарѲ

(«оѲ)2 +

 

 

 

 

 

dji

I

62

2

ö2

 

 

 

 

 

ѵъ/ —

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

Ѳ+ Ѵо(<,

 

^

__ L Г Kg< + Ѵ і ( 0 ) 0

+ Ѵо(/,

 

I

+

Г (g< + Ѵ і ( 0 )

I)

I)]2

У

 

6?

 

 

о

^ у

 

 

 

 

о

 

11

 

 

 

 

 

(17.15)

Предположим,

что матрица

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DT

«0«0

,

f

[gf + Ѵі(01* [gl + Ѵі (0]

dt

(17.16)

 

 

 

 

Ö2

+

J

 

Рі

 

 

 

 

является

положительно

определенной.

Тогда

из (17.15),

диф­

ференцируя, находим, что вектор

 

 

 

 

 

M i) = DF‘ { ^ + {

t e l ± g & L { d l t -

v 0 (t, 6) Л ) )

(17.17)

максимизирует

(17.15)

и, следовательно, является оценкой ма­

ксимального правдоподобия

вектора Ѳ.

 

 

 

 

3. Остановимся на некоторых свойствах оценок Ѳг (£). Из

(17.16), (17.17J и (17.11) следует, что

Ѳг (S) = DT' (

+ f

[ft + V, (f)] Ѳ +

 

 

Pi

+ DF1I

1j

«осхоЛ! (0)_ + I _[g, 4- V, (/)]•

(17.18)

= Ѳ+ D t

62

Pf

dW,

 

 

 

 

и, значит,

МѲГ(І)-Ѳ ,

 

 

(17.19)

 

 

 

М[(ѳг ( Ю -0) (âr ( g ) - e n

= Dr.

(17.20)

После несложных преобразований находим, что

 

rf|Xöd\x (і) -

exp { QfDTQT (g) - j

Q*Dr Q}.

(17.21)

§ 1]

 

МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ

643

Отсюда

вытекает,

что оценка 0r (g) является достаточной

ста­

тистикой

(§ 5

гл.

 

1).

Наконец,

так же, как и в случае диск­

ретного

времени

(§

2

гл.

14),

показывается, что оценка

0r (g)

является эффективной.

 

 

 

 

Итак,

доказана

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

17.1.

Пусть

матрица DT, определяемая (17.16),

является положительно определенной. Тогда оценка максималь­

ного правдоподобия Ѳт(g) вектора Ѳ в схеме (17.1) задается формулой (17.17). Эта оценка является несмещенной и эффек­ тивной.

4. В качестве иллюстрации приведем один Приме р . Оценим среднее значение Ѳ стационарного гаус­

совского процесса g„ — °о < t < оо, со спектральной плотностью

 

 

f(l) =

іХ -f- 1

 

 

 

(а)2 + а + 1

 

по результатам наблюдений

gj =

{|s, O ^ s^ T ].

 

Пусть т)<=

\ t — Ѳ. Тогда тр — стационарный гауссовский про­

цесс

с Мгр =

0 и спектральной

плотностью f{\). По теореме

15.4

процесс

является

компонентой двумерного

процесса

(тіі(0>

т|2(t)), іъ~г\і(0> удовлетворяющего уравнениям

 

 

 

dr\i{t) =

T\2( t ) d t - \ - d W h

 

 

 

df)2( 0 =

 

[ — ill

(/) Цг— (t)] dt,

 

и, следовательно,

 

 

 

 

 

 

cfg, =

тіа (/) dt + dW t,

 

 

 

dr\2 =

[Q — li — 42(t)]dt.

 

Обозначим

при фиксированном Ѳ е і)1

 

т ѳ (t, g) —

М (ц2 (t) I STf)

 

и

Y (t) = М [т]2 (t) — піѳ (t,

g)]2.

По теореме 10.3 и в силу уравнений для процесса (g(f), г|2(0) имеем уравнения для т ѳ(7, g) и y(t):

d m ѳ (t, g) =

[Ѳ — g, — т ѳ (t, g)] dt + y (t) [d%, — m e (t, g) dt],

y(0 =

— 2y (t) — y2(t).

Эти уравнения решаются при начальных условиях

шѳ(0,

g )= M h 2(O)|g0l = Mh,(O)|riI(O) + O])

Y (0) = М [rp(0) — ягѳ (0, g)P,

21

644

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ И РАЗЛИЧЕНИЕ ГИПОТЕЗ

[ГЛ. 1?

которые находятся с помощью теоремы о нормальной корре­ ляции (теорема 13.1). Согласно этой теореме

ш„ (0| £ )=

Ѳ).

Мл?(0)

Y (0) = Мт]^(0) — (Мгц(0) т)2 (О))2

М л ? ( 0 )

Для отыскания моментов Мг^(0), Мг|(0), Мп, (0) г)2(0) вос­

пользуемся стационарностью процесса (г)і (0» % (0)> ~ °° и тем фактом, что матрица

/ Л?(*)

J

V’ll (0 Д (0 Л2(0

является единственным решением системы уравнений (тео­ рема 15.4)

ЛГ + ГЛ‘ + £Я* = 0

 

 

 

s

= ( о

)

-

Отсюда находим

 

 

 

 

 

 

Мт)?(0) = 1,

Мгі2(0) — -к-,

 

 

Мл.(0)л2(0) = - |

.

т ѳ(0,

І) =

|(Ѳ -ё о ),

Y(0) = j

Таким образом, легко проверить, что

 

 

т ѳ {t, l) = exp j— J (1 +

у (s)) d , ) ( l ( 0 - W +

 

t

г S

 

 

(Ѳ— D ds +

+Jexp

J(1+Y(«))

0

L0

 

du

 

 

 

 

Jt exp

J5(1+

 

 

 

 

+

Y(«)) du Ys ^is f •

 

 

 

0

L-o

 

 

Из этой формулы следует (см. (17.14))

 

 

di

(б I) = ѵу(/, I) -j- ѵ,(^Ѳ,

 

 

Смотрите также файлы