Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл (19,70Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 216

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 3]

РАЗЛОЖ ЕНИЕ

ДУБА -

МЕЙЕРА ДЛЯ СУПЕРМАРТИНГАЛОВ

Всякий отрицательный

супермартингал X =

(xt, &~t),

О,

с непрерывными справа траекториями принадлежит классу DL.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

Р ( т ^ а ) = 1 ,

а <

оо.

Тогда,

согласно замечанию 2 к теореме

3.6,

хх = Ш {ха \@~х)

(Р-п. н.).

Но семейство (х%,

t g I J

таких случайных величин равномерно

интегрируемо,

что

доказывается

так

же,

как

импликация

(А)=Ф(В) в теореме 2.7. Аналогично доказывается и второе

утверждение. Докажем последнее утверждение.

Пусть

Р ( т ^ а ) = 1 .

Тогда,

согласно

замечанию

тео

реме 3.5, для %>

{

I хт I dP =

—

[

хт dP <

—

xadP

(K l > 4

{|<|>М

и также

M | хх | ^

М | ха |.

Поэтому

по

неравенству

Чебышева

7Р{[хт | > Я } < М [xt | < M | x a |.

Значит, Р {\хх I >

А,}—> 0,

Х->оо,

и,

следовательно,

sup

I х%I dP ^

sup

—

[

xadP

О,

X—>оо.

Т5Е*а { К і> м

■ т" г<

{ К ‘|>4

Теорема доказана.

О п р е д е л е н и е

Пусть

(Q,

Р) — вероятностное

пространство

и F —

0, — неубывающее семейство

не

прерывных справа сг-подалгебр

Непрерывный

справа

слу

чайный

процесс

At,

называется

возрастающим,

если

величины At являются ^-измеримыми,

Д-,— 0 и As ^

At, s ^ t ,

Р-п. н. Возрастающий процесс

A =

(At,

@~t),

называется

натуральным возрастающим процессом, если для всякого огра

ниченного положительного мартингала Y — (yt, SXt),

имею

щего

пределы

слева,

м / У.-< м ,= = м УвА ,

(З.і7)

Возрастающий процесс At,

называется интегрируемым,

если

М Ам < оо.

Интегрируемый

возрастающий

процесс

Л е м м а

3.2.

A = {At, £Tt),

0, является натуральным

тогда и только тогда,

когда

для всякого

непрерывного

справа

и имеющего пределы

слева

ограниченного

мартингала

Y — (yt,

9~t),

t ^ O ,

М (

y s d A s =

M ^

y s- d A s

(3.18)

для любого Т > 0.

72		МАРТИНГАЛЫ (НЕПРЕРЫВНОЕ ВРЕМЯ)								[ГЛ. 3
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Покажем			сначала, что			для всякого
возрастающего процесса				А — (At, STj),				/ ^ 0 ,	с Л0 =	О, МЛТО< оо
и мартингала		Y — [уи	&~t),		t ^	О,	имеющегося			непрерывные
справа траектории,			т
			т
		М I		ys dAs = ЬЛутАт.						(3.19)
			ö
Положим	C;(co) = inf{s:			(со) > 0			и	воспользуемся тем, что
(для почти всех со) интеграл					Лебега — Стилтьеса можно свести
к интегралу		Лебега (гл.		1,	§ 1):
Т		А Т (“ >				те
I	ys dAs = J		ус^ {а) dt — I				ус^	t <		dt,
6		o				о
где, согласно		следствию		леммы		1.8,		ус (и)	является ^"^-изме
римой величиной. Но Р-п. н.
		{t: t <	Ат(со)} =			{t:	ct (со) <		Т}.

Поэтому

ТСО

I Us dAs — I ус^((й)^ . (ф)< ц dt,

оо

ипо теореме Фубини

Тсо

М J	ys dAs — J М	((0) ^ : Ct (ш) < 7'\|] dt.
о	о

Зафиксируем некоторое 0 и заметим, что случайный момент т (со) = ct (со) является марковским. Тогда, поскольку событие {со: т(со) < Т) е (лемма 1.7), а Y ~ ( y t, £Tf), Г ^ О ,— мартингал, то (замечание 2 к теореме 3.6)

М \ У і (а)Х {С: C t (а) < Г}] = М f Ух (а)Х{а: т (а) < Г)] =

М F{a: т(ш) <Г}М( Ут I ^х)] ~ М [^{а: т(а) < Г}^г]‘

Следовательно,

Тоо

М J ys dAs = J М {X щ<т]ут) dt =

оо

М м X{С: ct {a>)<T) dt — МутА7

Таким образом, (3.19) доказано.

§ 31	РАЗЛОЖ ЕНИЕ			ДУБА - МЕЙЕРА ДЛЯ				СУПЕРМАРТИНГАЛОВ			73
Поэтому,			если	(3.18)	выполнено			для	любого	Т > 0,	то
т
М J ysdAs — MijjAj-, откуда,						переходя к пределу при 7 -*					оо,
о		что процесс А = (Аи &~t)						удовлетворяет		равенству
получаем,		что процесс А = (Аи &~t)						удовлетворяет		равенству
(3.17).							Тогда, поскольку
Обратно, пусть выполнено (3.19).							Тогда, поскольку
	ОО					ОО			00
	М j	ys dAs — ЬАА^у^,			то.	М j	yadAa =		М [ ys. d A s.
	о					о		б
Пусть	теперь		у] =	ys_%{s<T] +		УтТц>ту Процесс Y* — (y*s, ^ ) ,
s ^ O ,	как	нетрудно проверить*),					является		мартингалом		(не
прерывным		справа,		ограниченным),			и равенство

мI у ; < М , = М

оо

превращается в равенство (3.18), что и требовалось доказать. Сформулируем теперь аналог теоремы 2.13 (разложение Дуба), ограничившись сначала лишь неотрицательными супер

мартингалами, являющимися потенциалами.


Т е о р е м а 3.8 (разложение				Дуба — Мейера). Пусть непре
рывный справа	потенциал П =			(щ, @~t),		0 ^ t < o o ,	принадле
жит классу D.	Тогда существует интегрируемый возрастающий
процесс А — (At,		@~t)>	такой,		что
^ =	М ( т и ^ ) - Д „				0	(Р-п. н.).	(3.20)
В разложении		(3.20)	процесс		At,	0, моокет	быть взят

натуральным.

Разложение (3.20) с натуральным возрастающим процессом

единственно.	Для		каждого	п = 0,	1, ...	последо
Д о к а з а т е л ь с т в о .
вательность (яг.2-л, У^-гТ),		і =	О, Г, . . . ,	образует		потенциал
(с дискретным временем	0,	2~п, 2 -2 ~ п, ...) .			Согласно след
ствию 1 теоремы 2.13 для	каждого п
к і.2~п = М[Аоо(п)\3-і'2- п } - А і,2-п(п),				г = 0 , 1 , . . . ,		(3.200

*) Более общий результат такого характера содержится в лемме 3.3.

МАРТИНГАЛЫ (НЕПРЕРЫВНОЕ ВРЕМЯ)

[ГЛ. 3

где величины Л/-2-л(я) являются ^ (._1) 2-я-измеримыми обра зуют возрастающий процесс и

Лоо (п) = Пт Л..2_л(я).	(3.21)
і->оо

Предположим сейчас, что величины {Л0О(«), о = 0, 1, .. .} равномерно интегрируемы (ниже будет показано, что для этого необходимо и достаточно, чтобы потенциал я принадлежал классу D). Тогда, согласно тео-реме 1.7, можно найти такую последовательность целых чисел пь я2, . . . —> оо и интегрируе мую функцию Лм, что для всякой ограниченной случайной величины I

lim МЛ,* (я,) £=N14*1.

(3.22)

t-> оо

Обозначим /Л; непрерывную справа модификацию М(Л00 \3?~t),

существующую в силу следствия 2 теоремы 3.2.

Пусть

r ^ s

являются

числами

вида

і-2 ~ п, і — 0,

1, ...

Тогда Лг (я)

Л5 (я), что вместе

с (3.20) дает

М [Л , (я) \ Т Г\ -

яг <

М [А,, (я) I .Г8] - ns.

(3.23)

Отсюда при

я =

я(-—>оо получаем,

что

тг — nr ^ . m s — я5.

(3.24)

Положим

At = mt — nt.

Эта

функция

Р-п. н. непрерывна

справа, и поскольку

согласно (3.24)

она не убывает на двоично

рациональной последовательности, то At

является

возрастаю

щим

процессом.

(Р-п. н.), t->oо,

mt = М (Л |

t) ->

Далее,

я*->0

-> М(Лте |£Г00) =

Л00,

t —> оо.

Поэтому

Р-п. н. lim Л*

совпадает

с ранее введенной величиной Лте.

t оо

Покажем

теперь,

что процесс

Лг, ^ ^ 0 ,

является

натураль

ным.

Пусть

Y = {уи

0 ,— ограниченный неотрицатель

ный

мартингал,

имеющий

Р-п.

н.

пределы

слева yt_ = \\m ys

в каждой

точке

t >

s^t

Поскольку процесс At,

непрерывен

справа,

то по тео

реме Лебега о мажорируемой сходимости

(теорема

1.4)

оо

I ysdAs =

lim V

М [г/Ь2-«(Л

~ ' ~

— Л ,2-„)1.

(3.25)

rt-»oo

‘ '

§ 3]

РАЗЛОЖЕНИЕ ДУБА — МЕЙЕРА ДЛЯ СУПЕРМАРТИНГАЛОВ

Я’і.2-”' измеримы,

поэтому

'~п(Аг +!)-2~п - Л |.2 - )] =

|9і.г- "^

(А/ +1)-2 -

•2~" 1

2_и)_

ОО

М |9і •2“" ^

((/?г(і+1)>2~п — Я(і+1)-2-я) ~

—

і=0

— (jn ,.2_«

я г,2-

2 -)] =

= І м

\Уі-2-

п М

9—я —

(=0

' Я(і+І)-

' ^ ^ [ у і-2~п(А^ +\).2-п(П)

А і2-п (л))].

(3.26)

Заметим

теперь,

что А(.+^ 2- п&~1-2~п-измеримы,

значит,

М [уі-2~п/^{і+\)-2-'г(ПЦ= ^

[^(і+І)-2_п^(і +1)-2_/г]-

(3.27)

Из (3.25) — (3.27)

находим,

что

оо

( ys_ dAs = lim М [Лю(я) уJ .

(3.28)

Согласно (3.22)

Hm m

A M y J - m

A ^ y J .

(3.29)

П--> оо

Из

сопоставления (3.28) и (3.29) заключаем, что

оо

М j

ys- d A ^ M A ^ y ^ ,

(3.30)

At,

т. е. построенный процесс

натуральный.

Предположим

теперь,

что есть

еще одно

разложение щ =

= М (В^ I &-t) — Bt

натуральным

возрастающим

процессом

(Bt,

t^ O ) .

Тогда

ПІ'2~П~

М {Вдд j

В і 2~П

ОО

М j

ysdBs = M B 00y00,

(3.31)

где

Y — {уt,

@~t),

t ^ 0, — неотрицательный

ограниченный

мартингал

существующими пределами

слева yt_ — l\mys.

Возьмем,

частности,

некоторый

ограниченный

S ^ t

мартинга

Смотрите также файлы

Матлин Г.М. Проектирование оптимальных систем производственной связи.pdf

Месенжник Я.З. Кабели для нефтегазовой промышленности.pdf

Методы анализа лакокрасочных материалов..pdf

Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Нестеров Ю.Ф. Теория и расчет судовой тепловой изоляции.pdf

Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно