§ 2} |
ПРОЦЕСС ДИФФУЗИОННОГО ТИПА |
645 |
|
|
|
|
и нетрудно подсчитать, |
что |
|
І ) = |
Je —x p J |
( 1 |
+ Y (Js ) ) r f s J |
|
i
- I
V, ( 0 = e x pj — J * (1 +
Поскольку D£0 =
exp |
(1 + |
y{u)) d u |
„ d u + |
|
-о |
|
|
|
|
|
|
+ |
J |
exp / |
(I +Y(«)) du Yu d%u г , |
|
|
J j |
о |
|
|
Y ( |
s ) d) s |
- j |
+ |
|
|
|
|
t |
- S |
|
|
+ 1exp |
LoV (1 + у (и)) du J d s |
Mr)^(O) = 1, то величина (см. (17.16)) DT =
= 1+ |
Tv\{t)dtJ |
> |
0 (в |
нашем |
|
случае gt ^ 0 ) |
и оценка макси- |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мального правдоподобия |
Ѳг (|) |
для |
среднего |
значения |
про |
цесса I, |
задается |
формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
І |
о |
+ |
J |
v , |
( 0 ( d |
S , - v o |
( U M O |
|
ѲгШ = ------ |
|
2--------- |
|
f------------------- |
|
. |
|
+v?(/)J dt
§2. Оценка параметра коэффициента сноса для процессов диффузионного типа
1. |
Пусть |
Ѳ— неизвестный параметр, — оо < Ѳ< оо, ^ | = |
=(£,, і), |
0 ^ t ^ |
Т, — процесс диффузионного типа |
с диффе |
ренциалом |
|
|
|
!о = 0, |
|
(17.22) |
|
d%t = Qat ( t ) d t + d W t, |
|
где W = {W t, ^ , ) |
— винеровский процесс, а a t (х) — неупрежда |
ющие функционалы, |
х е Сг. |
Ѳ, |
входящего |
Рассмотрим задачу |
оценивания |
параметра |
в коэффициент сноса Ѳа,(|), по наблюдениям |
== |
ss^T}. |
646 |
ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ И РАЗЛИЧЕНИЕ ГИПОТЕЗ |
[ГЛ. 17 |
Будем предполагать, что функционалы а,(х) удовлетворяют |
условиям |
|
|
|
|
|
|
|
|
Pe ( f a ] ( l ) d t < |
ooj = Pe ^ | a ] ( W ) d t < ooj = |
1, |
(17.23) |
где индекс Ѳ у Рѳ подчеркивает |
то, |
что распределение |
про |
цесса g рассматривается для данного значения Ѳ. |
Рѳ {со: g е |
|
Согласно теореме 7.7 |
меры |
и \ iw (pt| (^) = |
В}, |
В е &т), |
определенные на (Сг, 8$т), |
эквивалентны |
и |
|
|
|
|
|
т |
|
т |
|
|
|
|
m = exp j ѲJ a, (\) Ц , |
- |
J af (|) dt |
|
(17.24) |
Отсюда |
вытекает, |
что |
при условии |
Рѳ | J a |
2 dt( g>) |
0 j = 1, |
Ѳ е К 1, оценка максимального правдоподобия Ѳг (|) задается формулой
|
QT (l) |
|
j а] (I)dt |
|
(17.25) |
|
|
|
|
|
|
Изучим свойства этой оценки. |
|
|
|
Т е о р е м а |
17.2. Пусть |
выполнены следующие |
условия: |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
sup |
|
Mea>6(g )Ä < |
oo, |
(17.26) |
|
ѳ,<ѳ<ѳ2л |
|
|
|
|
|
/ |
Т |
|
, -16 |
|
|
|
sup Me |
f |
a )(l)d t |
< |
oo |
(17.27) |
|
Ѳ , < ѳ < ѳ г |
\ |
J |
|
|
|
|
для любых Ѳ,, Ѳ2 ( — oo < |
0j |
< |
Ѳ2 < oo). |
|
|
Тогда смещение bT (Ѳ) |
== Мѳ [Ѳг (g)— Ѳ] |
и среднеквадратиче |
ская ошибка |
Вт(Ѳ) = Мѳ [0Г (I) — Ѳ]2 |
определяются |
формулами |
|
|
|
|
|
|
|
(17.28) |
§ 2] |
ПРОЦЕСС ДИФФУЗИОННОГО ТИПА |
64? |
|
|
2. |
Предварительно установим справедливость |
следующи |
двух лемм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л е мм а |
17.1. |
Пусть |
б = 6(х) |
—измеримая |
функция |
с |
sup Меб4(Ю< оо для |
любых |
Ѳь |
Ѳ2 |
(— оо < Ѳ, < Ѳо < оо) |
|
ѳ,<ѳ<ѳ2 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
> |
Если |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,<SöU<02 / |
a* ® dt < °°’ |
— 00 < |
Ѳ, < Ѳ2 < оо, |
|
(17.30) |
|
> функция |
Мѳб(|) |
дифференцируема |
по В и |
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
^ -М ѳ0(£) = |
М0 б(£) \ a |
t { l ) d W , |
|
(17.31) |
Lо
До к а з а т е л ь с т в о . Обозначим
о |
( |
|
т |
т |
|
) |
ф(Ѳ, ^ ) = ^ Г - ( ^ ) = |
|
ѲJ at (W) d W t - ^ |
Т |
|
ех р |
^ ^J |
a]{W)dt . |
w |
I |
о |
X |
‘ ' |
J |
І |
|
б |
|
|
Функция ф(Ѳ, |
W) дифференцируема по Ѳ, и (Р-п. н.) |
|
ду (Ѳ, W) |
|
г т |
|
|
|
|
|
|
|
|
at (W )d W t — B \ |
а] (W)dt |
Ф(Ѳ, |
W). |
(17.32) |
|
<ЗѲ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть — оо < |
Ѳ, < |
Ѳ2 < |
оо. Тогда в силу (17.32) |
|
|
М ѳ 26 ( I ) — |
М ѳ , 6 ( I ) = |
M è ( W ) [ ф (Ѳ 2, Г ) - ф ( Ѳ ; , W ) ] = |
|
|
|
|
|
|
ѳ2~ г |
|
|
|
|
|
|
|
= |
Мб (W) J |
^ at (W) — B ^ a](W)dt |
ф(Ѳ, |
W)dB. |
|
|
|
|
Ѳі |
L о |
|
о |
|
|
|
Заметим, что согласно предположениям леммы |
|
|
ѳ2 |
т |
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
М б(ІГ) |
at (W )dW t — d j a){W)dt |
Ф(Ѳ, W ) d B ^ |
|
|
ѳJ, |
L.оJ/ м . |
0(g) |
J at (о& d l t - B |
J a](l)dt |
dB = |
|
U2 |
* |
|
|
■ |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
02 |
Г |
Т |
|
1/2 |
|
= |М Ѳö (|)J at (l) d W t |
d B ^ j |
Мѳ02(£)Ме{ а 2(|)Л |
dB < оо. |
о* L
648 ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ И РАЗЛИЧЕНИЕ ГИПОТЕЗ [ГЛ. 1?
Поэтому |
по теореме Фубини |
|
|
|
|
0, г г |
т |
|
|
Ф (Ѳ, |
W) dB = |
М б (Г )| |
j a t ( W ) d W t — b j |
a){W)dt |
Ѳ, |
L0 |
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= j M eö(i) l a t {l ) dl t - % \ a ] ( l ) d t |
dB = |
|
ѳ, |
Lo |
|
|
о |
- |
|
|
|
|
|
|
Öj |
6 ( l ) \ a t { l)d W t dB, |
|
|
|
|
= |
J Mg |
и, значит, |
ѳ. Г |
/ |
г |
|
\ |
|
|
|
МѲаб (|) - |
М«,б ( 6 ) = J |
Мѳ |
б Ш J а, (I) d W t |
dB. (17.33) |
Отсюда следует, что Мѳб(|) является абсолютно непрерывной функцией. Покажем теперь, что в (17.33) подынтегральная функция
Мѳб(6) J а,&) d W t = Мѳб(і) |
j at (t) d l t - e j a * ß ) dt |
о |
|
является непрерывной по Ѳ. |
|
Обозначим |
|
т |
б, (I) = б (l) J a? (g) dt. |
б, (6) = б (g) J a, (I) d l t, |
Тогда |
|
Мѳб(|) j at (l) d W t = |
Мѳб, (I) — ѲМѳб2 (l), |
-о |
|
и для доказательства непрерывности достаточно лишь устанО' вить, что
sup Мѳбг(£)<оо, |
і = 1 , 2 , |
(17.34) |
й,<Ѳ<Ѳг
для любых Ѳ, < Ѳ2. Действительно, при выполнении этих условий функции МѲ6Д£), г — 1, 2, как было показано, будут абсолютно непрерывными, а следовательно, и непрерывными. Имеем
4 \ 1/2
м0а д < маб д і)м ѳ f at ß ) d l t
