Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 207
Скачиваний: 0
652 |
ОЦЕНКА |
ПАРАМЕТРОВ И |
РАЗЛИЧЕНИЕ |
ГИПОТЕЗ |
[ГЛ 17 |
||||||
Согласно (17.25) |
оценка |
максимального правдоподобия |
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1« ät, |
|
Іт- |
|
|
|
|
|
|
в, (к |
|
|
|
|
(17.45) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
J |
%tdt |
|
dt2 |
J |
I ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
поскольку в силу формулы Ито |
J* \ t d l t = |
— Г]. |
|
||||||||
Найдем для |
|
|
|
|
о |
случая |
смещение |
bT (ß) = |
|||
рассматриваемого |
|||||||||||
= Мѳ(Ѳг ( |) — Ѳ) |
и |
среднеквадратическую |
ошибку |
б г (Ѳ) = |
|||||||
==Мѳ[Ѳг (£)— Ѳ]2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Введем в рассмотрение вспомогательную функцию |
|
||||||||||
Pr (Ѳ, а) = |
|
|
|
|
2 |
Ѵ^Ѳ2 + 2а |
|
|
1/2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2а + Ѳ) е- Ѵѳ2+2а т+ |
(У Ѳ2 + |
2а - |
Ѳ) еѴд2+2а т |
||||||
|
(У Ѳ2 + |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17.46) |
Т е о р е м а |
17.3. |
Смещение |
ЬТ (Ѳ) и среднеквадратическая |
||||||||
ошибка В Т (Ѳ) |
задаются формулами |
|
|
|
|
||||||
М в) = |
ОО |
|
|
—ехру-()Рг (ѳ>a)^da, |
|
|
|
|
|||
J |
|
|
|
|
|
(17.47) |
|||||
Вг(Ѳ) = |
е х р ( ~ ) | |
|
рг (Ѳ, а) d a + J а |
{ exp (— -^ ) рт(Ѳ, а)} da. |
|||||||
|
|
|
о |
|
|
о |
|
|
|
(17.48) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Для отыскания величин Ьт (Ѳ) и В т (Ѳ) |
|||||||||||
воспользуемся |
представлениями |
(17.28), (17.29), |
полученными |
||||||||
в теореме 17.2. Предварительно проверим выполнение пред положений этой теоремы.
Процесс ! = (!„ Ѳ~і), 0 |
с |
дифференциалом (17.44) |
является гауссовским с Мѳ£, = 0 |
и |
дисперсией Г, (Ѳ) = Мѳ|*, |
удовлетворяющей уравнению (см. теорему 15.1) |
||
==2ѲГДѲ) + |
1, |
Г0(Ѳ) = 0. |
Отсюда находим |
|
|
Г/ (Ѳ) |
— 1)> |
|
что влечет за собой условие (17.26) теоремы 17.2.
§ 3] |
ГАУССОВСКИЙ |
МАРКОВСКИЙ |
ПРОЦЕСС |
653 |
||
|
|
|
|
|
|
|
Для проверки условия (17.27) |
и вычисления математических |
|||||
ожиданий Мр |
Т |
- I |
г Т |
-,-2 |
|
|
[ l ] d t |
, Мѳ |
\ l ) d t |
используемых при оты |
|||
скании Ьт(Ѳ) и В т(Ѳ), поступим следующим образом. |
|
|||||
Пусть а > 0 и |
|
|
|
г |
|
|
|
(Ѳ, |
а) = Мѳехр |
|
|
||
|
— a |
j l 2( dt |
(17.49) |
|||
Если предположить, что
оо
J й‘-% (Ѳ , ß)ä!fl< ОО, ~ о о < Ѳ < о о , 4 = 1, 2, ... . (17.50)
о
Тn - k
то тогда моменты Мр |
J |
l \ d t |
, |
4 = |
1, 2........ |
можно |
найти, |
|||||||
используя функцию фг (Ѳ, |
а), по |
формулам |
|
|
|
|||||||||
|
|
' |
т |
-,-k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М£ |
Jl \ d t |
|
|
( k - |
1)1 |
а*"Чг (Ѳ, а) da. |
(17.51) |
|||||
|
|
Lo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В самом деле, если |
для |
некоторого 4 = |
1, 2, |
... выполнено |
||||||||||
условие (17.50), то тогда по теореме Фубини |
|
|
||||||||||||
оо |
|
|
|
оо |
|
|
|
|
/ |
Т |
\ |
|
|
|
J а4_Іфг.(Ѳ, а) d a = |
J |
а6-ІМѳехр( — а J |
%]dt\da = |
|
||||||||||
о |
|
Мѳ J |
|
о |
|
|
|
|
V |
о |
|
/ |
|
|
|
= |
а6-1 exp |
|
а J l]d t^ da = |
(k — 1)! Me^J | 2, d/j , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
4 = 1, |
2, ... |
|
|
|
|
|
||
Итак, найдем функцию фг (Ѳ, |
а) и проверим справедливость |
|||||||||||||
неравенств (17.50). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
Л е м м а |
17.3. |
Функция |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Фг(Ѳ, |
<з) = |
ехр( — - ~ ] р г (Ѳ, а), |
|
(17.52) |
|||||||
где рг (Ѳ, а) определено в (17.46). |
|
______ |
|
|
||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть Я = У Ѳ2 -j- 2 а , 0 ^ а < оо. Обо |
|||||||||||||
значим |
и |
меры |
на (Cr , J r), |
отвечающие процессам | ѳ |
||||||||||
и | \ |
имеющим соответственно дифференциалы |
|
|
|||||||||||
|
|
|
d $ = Q $ d t + d W t, |
|° = 0, |
|
|
||||||||
|
|
|
dl) = Xl)di + |
d W t, |
|£ = |
0. |
|
|
||||||
