Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Согласно теореме

7.19

меры

и

А^л

эквивалентны и

г

г

-du,ж^- (ifc) =

ехР { (Ѳ — А) JI) d l)

-

Ѳ- 2 — J(^)2dt

I

о

о

Поэтому

Поскольку

.

„

17.53)

.

т

т

т

ч

=

М exp

-

а

ф )2 dt +

(Ѳ-А)

I) dl)

-

(£))* dt

<Н----- =—

=

0,

(17.54)

то

Ь

(Ѳ. «) =

М exp

[Ѳ -

А] j

I) dl)

=

М exp { ^

f(^)2 -

Г| } =

=

exp (— = -^ Г) М exp {

( ^) 2 j .

Случайная

величина

I)

имеет

нормальное

распределение

ІѴ

( о ,

(а—2*-7 l

J)

j, и,

значит (леммаj

1 1 .6 ) ,

М « Ф І - ^ ( Г г )2

2А

1/2

(Л -

0) {е2ХТ -

1) + 2А

3 месте с (17.53)

это приводит к

следующему

представлению:

я-ѳ

2А

1/2

(17.55)

Фг(Ѳ,

а ) — е 2

(А -

Ѳ) (еш ' -

I) + 2А .

где согласно (17.54) А=Ѵ/ 2а + Ѳ2.

После

простых преобразо­

ваний из (17.55) получаем требуемое представление (17.52).

З а ме ч а н и е .

Если Ѳ=

0,

а = 1 /2 ,

то

т

л

1

Ф г(°,{

Мe x p { - j / r ? Ä j « p r ( 0 , i ) =

/

(

т

(Сс И Г

ет -\-е

/Ср. с примером из § 7 гл. 7.)

Завершим доказательство теоремы 17.3. Анализируя пред­

ставление (17.52),

находим,

что неравенства (17.50) выполнены

для любого

6 = 1 , 2,

...

Поэтому

формулы

(17.47)

и (17.48)

ледуют из представлений

(17.28), (17.29),

(17.51) и (17.52).

656

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ

И РАЗЛИЧЕНИЕ ГИПОТЕЗ

[ГЛ. 17

Тогда

случайный процесс

z — (zs,

$ s),

О,

с zs =

J f t d W t,

$ s =

T %s,

где

ts — inf

j*fl

du — s^j

,

является винеровским

и с

вероятностью единица *)

dW„

(17.59)

lim

-2-

• =

0.

t->ОО

du

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если ft > 0

(Р-п.

н.)

для всех t > О,

то с вероятностью единица xs будет монотонно

возрастающей

непрерывной функцией от s. Отсюда следует,

что случайный

процесс 2^ =

ft dW t

также имеет (Р-п. и.)

непрерывные тра-

ектории.

о

то по свойствам

стохастических

Далее, если s2^ s t,

интегралов

Следовательно, процесс z = (zs, &s),

0, является

квадра­

тично

интегрируемым мартингалом со свойством (17.60). Зна­

чит,

по определению (§ 1 гл. 4) этот процесс является вине­

ровским.

t

*)

Под J /„ dWa подразумевается непрерывная модификация

стохасти*

о

zs = J fu dWa имеет (Р-п. н.)

непрерывные траектории.

о

0, является монотонно неубывающим, и,

Процесс t s ,

его

следовательно,

разрывы

имеют вид скачков.

Разрывы же

процесса z s, s^ O ,

могут происходить только в моменты раз-

Т5+

рыва процесса

t s ,

s^ O . Пусть xs~ < xs+. Тогда

J f2u du — 0

и, следовательно,

Zs+ — Z,

= 0.