Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 204

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

658

 

 

 

о ц е н к а

п а р а м е т р о в и

р а з л и ч е н и е г и п о т е з

[ГЛ. 17

 

 

§

4.

Двумерный гауссовский

марковский процесс.

 

 

 

 

 

 

 

Оценка параметров

 

 

1.

 

Предположим, что

на интервале

 

наблюдается

двумерный

гауссовский

марковский

стационарный процесс

h = (h(t), hit))

с

нулевыми

средними

Mg, (t) =

Mg2(f) = О,

— оо < t <

оо, допускающий дифференциал

 

 

 

 

 

 

 

 

d l t =

A l,d t +

d W t.

 

(17.61)

Здесь

Wt — (Wi(t),

W2(t)) — винеровский

процесс с

независи­

мыми компонентами, не зависящий от £0,

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ — Ѳ, — Ѳ2\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А=( ѳ2-в,)

 

<17-62>

— матрица,

составленная

 

из

координат

вектора

Ѳ= (0,, Ѳ2)

с 0! >

0, — оо<Ѳ2<оо,

подлежащего

оцениванию по наблю­

дениям

=

 

0 < s < r } .

 

 

 

 

 

 

Построим

оценки максимального правдоподобия

0( (Т, |) и

02 (Т, І) неизвестных параметров 0, и Ѳ2.

 

 

Т е о р е м а

17.5.

1°. Оценка

максимального правдоподобия

0, (Т,

I)

является

решением,

уравнения

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і

 

 

 

 

 

20!(Т,

I)

Й(0) + :

( ° ) +

| | [ т е + ш о ] л

б, (Г,

I)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

== J [і,

 

+

 

(17.63)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

2°.

 

Оценка

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

[h(t)dh(t)-h(t)dh(t)}

 

 

 

 

 

 

Ѳ2(Г,

о______________________

(17.64)

 

 

 

 

 

,)

 

т

 

 

 

 

о

3°. Условные распределения*)

PQ(Q2{ T ,l) < a \l] ( t ) + lt(t), t ^ T )

*) Рѳ обозначает распределение вероятностей, отвечающее фиксирован­ ному Ѳ= (Ѳх, Ѳг).

§ 4]

ДВУМЕРНЫЙ ГАУССОВСКИЙ МАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС

659

 

 

являются Рѳ-п. н. гауссовскими с параметрами

 

 

 

 

Мѳ[Ѳ2(Г,

 

 

/< Т ’| =

Ѳ2,

 

 

(17.65)

Мѳ^Ѳ2(/, |) - Ѳ ) 2| | 2(г) +

і2(0,

t ^ T \

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■т

 

 

 

-1-1

 

 

 

 

 

 

 

J Оm

+ l \ ( t ) ) d t

 

(17.66)

В

частности, распределение случайной величины

 

 

 

 

[Ѳ2(7 и ) - Ѳ ]

у

 

/[ ^ ( 0 + 1 1 ( 0 ] dt

 

 

 

не зависит

от Ѳ= (Ѳ,,

Ѳ2)

и

является

в

точности

нормальным,

N (0,

1).

 

 

этой

теоремы

предпошлем два вспомо­

2.

Доказательству

гательных утверждения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л е мм а

17.5. Д л я

каждого

t,

0

 

гауссовский

век­

тор (!і (t), g2(/)) имеет независимые

компоненты с 0|Д£) =

-Ц -,

7 =1 ,

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2иj

 

 

 

 

 

прежде всего,

что предпо­

Д о к а з а т е л ь с т в о . Отметим

ложение стационарности процесса

 

— о о < / < о

о

, автомати­

чески влечет за собой ограничение éj > 0, поскольку собствен­ ные числа матрицы А должны лежать в левой полуплоскости.

Пусть Г = Тогда по теореме 15.4 матрица

является единственным решением уравнения ЛГ +

ГЛ‘ + Д = 0

или, что то же

— 20^,! — 2Ѳ2Г12 + 1 = 0 ,

 

 

 

 

2ѲіГ[2 +

Ѳ2 (Гц Г22) = 0,

 

 

2Ѳ,Г12 — 20^22 + 1 = 0 .

 

Отсюда находим Гп = Г22 =

-ggy,

Г12 = 0.

 

Лемма доказана.

 

 

 

 

Сл е д с т в и е . Функция

распределения

 

F${Xi,

Arg) = Р ѳ (^1 (0)

ATj, Іг (0) ^ *2)

 

имеет плотность

д2Рѳ(хi, xt)

 

 

*2)'

ЭХ-ехр{— Ѳ2(х2 +

X 2) } . (17.67)

дхі дх3

660

 

 

ОЦЕНКА

ПАРАМЕТРОВ И РАЗЛИЧЕНИЕ

ГИПОТЕЗ

[ГЛ, 17

Для формулировки следующего утверждения введем некото­

рые обозначения.

 

(СтX Сг, &т X Я т) — измеримое простран­

Пусть (Ст, &т) =

ство функций c=={(cl (t), c2{t)),

0

где каждая из функ­

ций

Ci (t),

i = 1,

2,

 

является

непрерывной.Через

сх , где

х =

(хи

х 2),

будем

 

обозначать

функции

изCf

с

с, (0) — х 1>

с2(0) =

л:2.

Пусть

 

— мера в

(С?т, Щ), отвечающая

процессу

£ =

(£,),

O

^ t ^ T ,

с

заданным Ѳ = (Ѳ,, Ѳ2),

а

и

— меры

в (Cr, $т), соответствующие процессу W* — х +

(т.

е. W*(t) —

= xi -\-'Wi {t), i = 1,

2)

и процессу \ х

с дифференциалом

 

 

 

d f t =

At* dt +

d W t,

to =

дс.

 

(17.68)

Если множество

В е &т, то

 

 

 

 

 

 

 

 

(Г) =

 

 

I

(В) f9 ( х 1, х2) d x x dx2.

(17.69)

{х е R 2 : сХ 6 ß}

Всамом деле, решения уравнений (17.61) и (17.68) задаются соответственно формулами

 

l, =

eAt

І0 +

/

e~A*dW8

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

x +

l

e~As dW s

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

Поэтому из независимости

случайных величин | 0

и | e~As dW s

следует

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

Рѳ { g e

В I

=

x) =

Рѳ {t* e ß ) = ix\x (В),

что, очевидно, и доказывает (17.69).

 

 

Введем в (Ст,

$т)

новую

меру *) ѵ,

полагая

для В <=

ѵ( Г)=

 

J*

 

n wx(B) d x x dx2.

(17.70)

 

{ л е в 2: c x e

ß}

 

 

 

(Для краткости

вместо

(17.70)

будем

писать

dv(x, у х) =

~ d \ L wx (у х) d x x dx2,

у х <= Cf..)

 

 

 

 

*) Отметим, что вводимая мера ѵ неотрицательная и ст-конечная.

§ 4]

ДВУМЕРНЫЙ ГАУССОВСКИЙ МАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС

661

 

 

По теореме 7.19

меры

и p wx эквивалентны

 

г

Т

 

 

 

 

dv-\x

I О О* А* dWt — \ J (Wf)' А*AW* dt

(17.71)

g - i - ( i n = exp

Поэтому по теореме

Фубини из (17.69) и (17.70) получаем, что

»*1(0=

I

d]£x

 

j ~ - { y x)fb{xb x2)dv{x, у х),

 

 

 

*

г1

/X

 

 

 

 

 

WЛ

 

где /е(х,, х 2) определяется формулой (17.67). Отсюда следует

абсолютная непрерывность меры р| по ѵ и формула

±

!

 

 

 

 

 

 

 

г

 

 

 

( І ) =

■ехр

-9?(S?(0) + S1(0))+ J ІИ* d l t

 

dv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l_

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ІИ*Л£( dt

(17.72)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

о

 

 

 

Итак,

доказана

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л е мм а 17.6. Мера

абсолютно непрерывна относительно

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

леры V,

а ее плотность -J^-(g)

определяется

формулой

(17.72).

 

3.

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е мы

17.5. Формулы (17.63)

и (17.64)

для оценок

максимального

правдоподобия b,{t, £) и

Ѳ2(7\ I) следуют из (17.72), поскольку они доставляют минимум

 

d\i\

что проверяется непосредственным подсчетом.

 

1п-^р(£),

 

 

Перейдем к доказательству заключительного пункта теоремы.

 

Обозначим іф =

^(/) +

Ц(0-

С помощью формулы Ито вы­

числяется, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

йЧ = 2|, (/) dl, (t) +

2g2 (t) d%2 (t) +

2 dt =

 

 

 

 

=

2£, (О I - BiSi (t) -

d2l 2 (t)] di + 21, (/) d W , (t) +

 

 

+

2|2 (t) [ѲгІ, (t) -

Ѳ.І2(t)] dt + 2^2 01) dW 2 (t) + 2 dt =

 

=

-

2Ѳ, [І? (t) +

il (/)] dt +

2 dt +

2 [I, (/)

 

(/) + l 2 (t) dW 2(0] =

 

 

 

 

 

 

=

2 [1 — Ѳ,гіД dt +

2

dW,(t),

(17.73)

где

(в предположении, что % > 0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

t

 

 

 

 

 

 

W , ( t ) =

f l L & - d W l( s ) + f ^ Ü - d W 2(s).

(17.74)

 

 

 

 

 

$

V 4s

J

Ms

 

 

662

ОЦЕНКА

ПАРАМЕТРОВ И

РАЗЛИЧЕНИЕ

ГИПОТЕЗ

(ГЛ. 17

Из

теоремы

4.1 вытекает,

что

STt), О

Г,

является винеровским процессом. Следовательно, для задан­

ного Ѳ= (0!, Ѳ2) совокупность

объектов

М =

(Q,

&, SFt, Р, тр,

Wi (t))

образует

 

слабое

решение *) стохастического дифферен­

циального уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr], =

2 [1 -

Ѳ,тр] dt +

2 Y %

d W x{t).

 

 

(17.75)

Покажем сейчас, что для

каждого t, O ^ i t ^ T ,

величины гр

являются

 

w' -измеримыми

и

Р {inf

> 0} =

1.

Иначе го-

воря, процесс т),=

 

(0 +

(0

 

« г

 

 

 

решением

 

является сильным

уравнения (17.75), где

винеровский процесс (# , (t), &~t), 0sS^<T,

определен в (17.74).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С этой целью изучим некоторые свойства слабых решений

уравнения типа (17.75). Пусть

s& = (Q,

SFt, Р,

x t,

z t) есть

слабое решение уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dxt ~ 2[1— axt]dt + 2 У xt d z t,

 

0,

 

(17.76)

где х0 таково,

 

что Р(х0> 0 ) =

1,

Мх0< оо .

 

 

 

 

Докажем,

что М sup xt < o o .

Для этого положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

inf {7 ^

7': supxs ^iV},

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ол/ —

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T,

если

supxs < N.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s < V

 

 

 

 

 

Тогда в силу (17.76)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t А oN

 

 

t A oN

 

 

 

 

 

X, . „

 

— хп

+

2

I

[1— axs]ds +

I

V x s dzs,

(17.77)

 

t А Од1

 

0

 

 

о

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* А ° Л ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и поскольку

М

I

\ /x s d z s = 0, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

t A oN

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M ^ Aa^ =

Mxo + 2M

J

[1—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

t A oN

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< M x 0 + 2M J

+ fa l x s A O i V ]

r

f s

<

 

 

 

 

 

t

 

 

 

о

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

Mx0 +

2M

 

f [1 +

aXsAoN\ d s <

Mx0 +

2 T +

2a J

Mx* A oN ds.

*)

См. определение 8

в §

4 гл. 4.

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы