§ 4] |
|
ДВУМЕРНЫЙ ГАУССОВСКИЙ МАРКОВСКИЙ |
ПРОЦЕСС |
663 |
Отсюда |
по лемме 4.13 следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М^ л о „< (М *0 + |
27’) е2аГ( |
|
|
|
|
а значит (лемма |
Фату), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее, |
|
|
|
Мх, < (Мх0 + 2Т) е2аТ. |
|
|
|
(17.78) |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
tAoN |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f UP xt л о„ ^ |
хо + |
2 f 11 + |
axs\ ds + |
2 sup |
J |
|
|
dzt |
г < T |
N |
|
|
J |
|
|
|
|
* < Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t л а. |
|
|
Msupx,A(J |
< Mx0 + 2 |
|
aMxs]Gfs |
|
2M sup |
|
\ /x s dW, |
В силу |
неравенства |
Коши — Буняковского и (4.54) |
|
|
|
J [1-f |
|
|
|
-j- |
|
|
J |
|
|
і А aN |
|
< |
- |
|
t A oN |
|
|
21 1/2 |
|
|
|
М sup |
«/f |
ѴЧ |
|
M sup |
Jf |
V 4 |
dzs |
_ |
|
|
|
t < T 0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*Л о. |
|
|
|
|
|
1/2 |
|
|
|
|
|
Т |^МJ |
xsds^j |
|
|
J |
Xfds'j . |
Поэтому |
|
|
|
Г- т |
-1І/2 |
М sup x t , |
Мх„ + 2 Г[1 -f a |
|
ds -j- 4 |
f Mx,. ds |
|
t<,T |
a ° n |
|
u |
■> |
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
Применяя лемму Фату и используя оценку (17.78), получаем
требуемое неравенство M s u p x , < o o .
/<г
Покажем теперь, что Р {inf x t > 0} = 1.
г
Для доказательства этого положим
inf/f < Г: infxs < |
n j |
' |
s |
1+ n |
Тп = |
-r—r—. |
oo, если inf X, > |
*</ |
>+» |
|
Из формулы Ито нетрудно найти, что |
|
|
— 1п Хт д г —- — In х0 + 2а (т„ А Т ) — 2 Г |
" |
|
п*' К |
664 о ц е н к а п а р а м е т р о в и р а з л и ч е н и е г и п о т е з [ГЛ. 17
Поэтому для е > О _ Х {*о>Е} ІП\ д г =
Х{*0> Е} 1п *о + w е}2а (*„ А |
Т) - |
2 f х'<*•. |
|
dzs < |
> е) vTs |
|
|
|
dz. |
. (17.79) |
< - ^ 0>е}1п^О+ 2а:Г- |
2 |
X,'{Хо > е} VXs |
т„ Л Т
dz
— = 0, то
Ц Х о > Е} У xs
- |
M x N > е} l n |
Л т < М I х [Хо > е) In Х0 1 + 2 а Т . |
( 1 7 . 8 0 ) |
Но |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х{*о>Е)1п\ л г = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Цк0> |
Е } Х |х Т лтл< 1} ІП |
|
т„ л+ |
Х {*> 0e j X |
д^ Г 1>} І п \ |
л |
г < |
|
|
|
|
^ Х{х0> Е}Х{%лк '} |п\ л г + |
|
|
что вместе с (17.79) приводит к неравенству |
|
|
|
|
М х {*0 > е}Х|ХТп л Т < |
1} IІП |
Л 1 I^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
< М |
ХI {Хо > е) ln Х0 1+ |
2аТ + |
М sup X , |
( = |
с (в) < |
оо), |
|
|
|
|
|
|
|
f<г |
|
|
|
|
из которого в свою очередь |
следует |
неравенство |
|
|
|
|
МХ|*о> e}XjXß<7’}Х|Хх^ < Ij I ln Ххп I^ |
с (е) < |
оо. |
(17.81) |
Пусть |
т = lim |
т„. Тогда, |
переходя в (17.81) |
к пределу при |
|
/1 -> оо |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо, получаем, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На множествеМХ{{Хот<!>еГ}Х}{т11<пГ|ххХ!Хт[ =<1}|!оо. пПоэтомухх | < ^ ( ев) <силуо о . |
|
(17.82) |
(17.82) |
|
|
|
Р (х0 > е, т < 7, хт |
1} = 0. |
|
|
|
|
Но хх — 0 |
на множестве (т ^ Г ), следовательно, |
|
|
|
|
Наконец, |
|
|
Р{*0> |
е, |
т < 7} = 0. |
|
|
|
(17.83) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р {т ^ Г) — Р (т ^ Т, х0 > ej -f Р {т < Т, х0 < е }<
§ 4] |
ДВУМЕРНЫЙ |
ГАУССОВСКИЙ МАРКОВСКИЙ |
ПРОЦЕСС |
665 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что вместе с (17.83) |
приводит к искомому соотношению |
|
|
|
Р {inf *, = 0} = |
Р { т < |
Л = 0. |
|
|
Итак, |
процесс |
|
= |
S? (*) + |
W. |
|
таков, |
что для |
любого Ѳ= |
(Ѳ,, Ѳ2), Ѳ, > |
0, — оо < ѳ2 < |
оо, |
|
|
|
|
|
|
Pefinf т|<>0}=1. |
|
(17.84) |
Используем |
этот |
результат для |
доказательства того, |
что при |
каждом t, |
0 |
|
|
случайные |
величины тр |
являются ^ 0' Гі- |
измеримыми. Введем функции
и
|
|
|
|
1+ |
X |
|
|
|
Ь п (х)= |
J ёп (у) dy. |
|
|
|
|
|
|
I |
|
Ясно, |
что 0 |
< g n(y) ^ — |
у п |
и |
lim bn(x)= У~х- Для |
каждого |
п = 1, |
2, ... |
2 |
|
о |
|
рассмотрим уравнение |
|
|
|
t |
|
|
t |
|
|
f - |
Ц0 + 2 { [1 - |
0,Tf>] ds + 2 J bn ( if ) dW x(s). |
(17.85) |
|
|
ö |
|
|
о |
|
Коэффициенты этого уравнения удовлетворяют предположе ниям теоремы 4.6, и поэтому у него существует единственное
сильное решение i f , 0 |
t ^ |
Т. Обозначим |
|
[ inf{ t ^ T : |
|
|
|
Оп (л) = I |
Т, |
если |
|
1 |
|
( |
inf г)5 > —*. |
|
|
|
5 < Г |
п |
|
Тогда ясно, что для всех |
t ^ |
o n (r\) |
r f |
= г)г(Рѳ-п. н.) |
и <т„(ті) — |
= ап {ціп)). Следовательно, |
Л(лов („<»>) = |
f Ѵт)Г Но |
величины |
2 2 Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев
666 ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ И РАЗЛИЧЕНИЕ ГИПОТЕЗ [ГЛ. 17
Члст (т)(п)) |
ЯВЛЯІ0ТСЯ |
|
^"'-измеримыми. Поэтому таковы же *) |
и величины т)/Ла . |
Но в силу (17.84) |
\[топ {ц) = Т |
(Рѳ-п. и.). |
|
|
П |
|
|
|
|
~ |
|
t t - > оо |
|
|
Отсюда вытекает, что тр |
|
«"■-измеримы для каждого t. |
Преобразуя |
выражение |
(17.64) для |
ѳ2(7\ |), |
находим, что |
|
|
т |
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
і ,{t)dwt(t)- |
|
It (t) dWx (t) |
|
|
Ѳ2 ( T , І ) = |
Ѳ2 - | - |
- -------------- =--------------------- 2------------------------------ - = |
|
|
|
|
J |
|
J |
|
|
,{t)]dt |
|
|
|
|
|
|
|
[l\(t) + £J |
|
J- |
\~\TidЩИ (0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
ѳ2+ |
(17.86) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W t |
|
|
где |
w. > . (Q = - |
T |
|
|
|
|
J |
|
|
|
[ ^ ß r d w . i t ) 1+ |
[ l i ß - d W 2(t). |
(17.87) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0J |
>/r lt |
|
|
Из теоремы 4.2 следует, |
что [(ИР, (t), |
W2{t)), |
|
Ö < / < 7 \ |
является |
винеровским |
процессом. |
Поскольку |
rj0 == (О) — |
+ U (0) > 0 |
(Р -п . |
н.) и М ѳ% = |
|
< |
о« для всех Ѳ= |
(Ѳ,, Ѳ2) с Ѳ, > 0, |
— оо < ѳ 2<оо, то согласно доказанному выше тр при каждом t
^7°' ^'-измеримо. Но процесс W2 (t) |
не зависит от |
г)0 |
и # , (f). |
Поэтому независимы между собой и процессы |
ті = |
(тр, &~t), |
W2~ { W 2(t), t). Отсюда вытекает, |
что Р-п. н. условное распре |
деление |
|
|
|
|
|
Рѳ{ J V ^ d W A t X y |
|
|
является нормальным, N ^O, |
J |
rpn^j. В частности, |
это доказы |
вает формулы (17.65), (17.66). |
|
|
|
|
Теорема доказана. |
|
|
|
|
*) а-алгебры S2"?0’ |
0 |
считаются пополненными множествами |
I g-меры нуль для всех допустимых |
значений Ѳ= (Ѳь Ѳ2). |
