Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

(ß , 2-п , £Г

г),

/ =

0,1, . . . .

и образуем мартингал (с непрерыв­

ным временем) У =

(//*,

t),

0, полагая yt =

2- n, / • 2

< ( / + l ) ' 2 ~ ' \

Тогда из

(3.31) вытекает, что

00

м 2 У(і-\).2 - п [ В і . 2 - п ~ В ( і - І).2- /г| =

(3.32)

В теореме

2.14

было

показано, что из

(3.32) вытекает

П і-2~п =

^ [ A J n ) I

А іш2- п (fi),

Я(.2-я =

M [ß00(«)| ^,.2-я] — В ІЛ-„(П),

видим, что в силу единственности разложения Дуба

Аіѣ2-п(п) = В 1ѣ2- п ( п ) ,

і = 0,

1,

. . .

(Р-п. н.).

Следовательно,

Ах (п) =

В00(п)

и

А00 =

В0о (Р-п. н.). Но

(Р-п. н.)

для всех / ^ 0 .

доказательства

надо еще

устано­

Для

полного завершения

вить, что для

равномерной

интегрируемости

последователь­

ности {А^іп),

п — 0, 1, ...}

необходимо и

достаточно,

чтобы

потенциал я =

(я*, /7Д),

0, принадлежал классу О.

Если семейство (Л^Дя),

п = 0,

1,

. . .} равномерно интегри­

руемо, то, как

было установлено,

nt — М [Л ^ \SFt\ — At. Следо­

вательно, ят < М [Лс)0\&"х].

т е ! )

равномерно

интегрируемо

Но семейство {М[Л00|^ ‘Т],

ство {ят, т е

Т},

т.

е. потенциал

я

принадлежит классу D.

Обратно,

пусть

л е й

Тогда

согласно

разложению Дуба

для каждого

п — 0,

1, ...

Р-п. и.

Пі.2~п“

М [

I

i-2~n)

^ і-2~п(rt)-

(3.33)

Поскольку Л(/+)).2-„(п)

/УС.^„-измеримы,

то

для

каждого

К > 0 момент

^ =

inf Ь ' 2 :

Л(г.+1^2_га(ц) > я}

(3.34)

(т„,я = °о, если множество

{•}

в (3.34) пусто)

будет

марков­

ским относительно семейства {/УС.2_„,

/ = 0,

1,

...J.

Ясно, что (со:

Ао0(п)>К} — {со: т„іЯ<оо},

и в силу

(3.33)

л “ М К » ІЗД„, J - К ,, («)

(Р-п. к.). (3.35)

78

МАРТИНГАЛЫ (НЕПРЕРЫВНОЕ ВРЕМЯ)

[ГЛ. 3

Пусть ifit — непрерывная

справа

модификация

мартингала

= (яі; SFt),

t ^ O .

Тогда,

если

яt =

xt — tnt,

то процесс

11 =

О, будет образовывать

непрерывный

справа

по­

тенциал, принадлежащий классу D,

поскольку Л е і ) и мар­

тингал М =

(М (я,*, I @~t)> &~t)>

t ^

0. также принадлежит классу D

(теорема 3.7). Применяя

теперь

разложение Дуба — Мейера

к потенциалу П =

(я,, З71),

0,

находим, что

М =

М {х„ 13Tt) +

М (

I Srt) _

At,

(3.41)

где At,

0 ,— некоторый

интегрируемый

натуральный

воз­

растающий

процесс.

3.8 и следствие из нее остаются

З а м е ч а н и е .

Теорема

справедливыми

и

для непрерывных

справа

супермартингалов

X = (xt, 3~t),

0,

принадлежащих

классу DL, с тем лишь

отличием,

что

натуральный

возрастающий

процесс At, i ^ 0,

таков, что,

вообще говоря,

М Л ^^ о о (см. [126]).

супермартингал

H =

O ^ . t ^ . T ^ . 0 0 , принадлежит

классу D или DL. Остановимся теперь на аналоге разложения

Д уба—Мейера,

отказавшись

от

предположения, что

П е О

или II е DL.

процесс М — (mt, 3~t),

0,

О п р е д е л е н и е 6. Случайный

стающая последовательность

марковских моментов т„,

п — 1,

2, ...

(относительно

F = (3~t),

0),

такая, что

1)

Р ( т „ < п ) = 1 ,

Р (lim хп=

оо) =

1;

2)

для каждого

П

... последовательности [пи ЛТ(і,

п = 1, 2,

3~t,

0) являются равномерно интегрируемыми мартингалами.

В связи с данным определением

отметим, что всякий

мар­

ным

мартингалом.

Вытекает это из следующего

предложения

(ср. с теоремой 2.15).

с не­

Л е м м а

3.3. Пусть X — (xt, SFt), 1 ^ 0 , — мартингал

прерывными

справа

траекториями

и

х — т (со) — марковский

момент относительно

системы

F =

{3~t),

0. 'Іогда процесс

{xt/\x,&~t),

0, также является мартингалом.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим

xn= k/2n

на

|со:

считая т „ = о о

на

(со: т =

оо}.

Зафиксируем

два

числа s

и t,

s ^ t ,

и пусть

tn — k/2n,

если

- ^

-

,

и

sn =

k!2n,

если

k _]

s

£

При

достаточно

большом

п,

очевидно,

^

< -уг.