Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

80

МАРТИНГАЛЫ (НЕПРЕРЫВНОЕ ВРЕМЯ)

[ГЛ. 3

В силу единственности

разложений

Дуба — Мейера

tT^n+ I ( Д 0

б,

An+l(rn A t ) = A n(t),

t > 0.

Поэтому определены

процессы ( m ^ t ^

0)

и (At,

t^ O ), где

mt — mn(t)

для

t

т„,

Л, = Л„(0

для

Ясно,

что процесс

M — (mt,3Ft), і ^ О ,

является локальным

мартингалом, а Л„

0, — возрастающим процессом.

Поскольку для

= At А N

МЛ* =

lim М(Л*;

тn> t ) =

Пт М(Л*(/);

т

оо

П->оо

<

lim

МЛ ^ ( 0 < lim [М.ѵ„(0)— M x„(0]<lim Мх„(0) — М*0 < °°>

П -> оо

П -> оо

П->оо

то

величины Л^,

t ^ O ,

интегрируемы,

и по

лемме Фату

МЛ, < оо и МЛ^ < оо.

Пусть теперь

Y = (yt,3Tt),

0, — положительный ограни­

ченный мартингал, имеющий пределы слева г/,_ =

lim ys (Р-п. н.).

s+t

0, п — 1,

2,

. . . , получим

М [ ys dAs =

lim М

ys dAs, xn

t

■lim M J

Hs dAn(s),

xn^zt

lim

M

J z/s_ dAn(s), Xn^zt

tl-> oo

n->00

=

lim M

ys- dAs\ xn > t

M J ys_ dAs

П->оо

Lo

Из полученного

равенства

t

t

?/s_ СІЛ5

M J

ys dAs = M J

о

0

§ 4]

с в о й с т в а н а т у р а л ь н ы х п р о ц е с с о в

81

§ 4. Некоторые свойства

натуральных возрастающих процессов

1.

В

случае дискретного

времени

п — О, 1,

. . . возрастаю­

щий процесс

А — (Ап, SF„), п = О,

1, . . . ,

назывался

натураль­

ным,

если величины Ап+І были ^„-измеримы. Естественно было

щего

процесса А = (А1, 3F(),

О (см. 3.17),

приводит к тому,

что

при каждом t > 0 случайные величины

At являются на

так.

Пусть A = {At,@~l),

0, — непрерывный

Т е о р е м а 3.10.

справа

интегрируемый возрастающий процесс, @~t = @~t+, t^ O .

Тогда

для каждого

t > 0 величины

А,

являются SFt~-измери­

мыми.

потенциал

Д о к а з а т е л ь с т в о . Образуем

Щ ^ Щ А ^ А - А »

(3.45)

беря в качестве

непрерывную

справа модификацию.

П (і + \)'2~п = = М [^oo(n) I&~( і + 1).2~п ]

А ; +

(3. 46)

Зафиксируем

некоторое

^ > 0

и

положим

tn — (i +

1) • 2~п,

если

і ■

<

t

(i +

1) • T~n. Тогда

из (3.46) в силу £Г(. 2_л-из-

меримости величины А(г+І) 2_п(л) получаем

М [я(г+1, 2_„ I Зг(\ =

М [Аю(п) 13Tt] -

Л(£+1).2-п (л).

(3.47)

Подставляя

сюда значения

я(.+|).2_„

из (3.45),

находим

м И» (л) I ТА =

м [

-

AtnI grt] -

Atn (П),

tn= (i + 1) • 2-".

(3.48)

Поскольку

разложение

(3.45)

с

натуральным

процессом

A = {At,STt),

0, единственно, то,

в соответствии

с доказа­

тельством

теоремы

3.8,

существует

подпоследовательность

{nh

/ — 1,

2,

. . .} такая,

что

Л^Длу)

сходятся слабо

к Ам.

Тогда, очевидно,

и М И^Дл/)!

t] слабо сходятся к ІѴ^Л^І ЯГД

Заметим также,

что в силу

непрерывности

справа процесса At,

t > 0 ,

М м ІА. \ Г Л - А А - + 0 ,

Л,- -> оо.

Учитывая все это, из (3.48) получаем,

что

(л/) сходятся

слабо к А(, лу—>оо,

82

МАРТИНГАЛЫ (НЕПРЕРЫВНОЕ ВРЕМЯ)

ІГЛ. 3

Величины Аіп (nt) являются

2_П/-измеримыми, и

по-

скольку

і -2

<

t ^ t n.,

то они

и ^--изм ерим ы .

Покажем теперь, что и слабый предел At этих величин

также

будет

^--измеримы м .

Вытекает

это

из

следующего

общего предложения.

вероятностном

пространстве

Л е м м а 3.4. Пусть на полном

(Q, У , Р)

задана

последовательность случайных

величин

\ t,

і = \ ,

2,

. . . ,

с M \ h \ < оо, слабо сходящаяся к

случайной

ве­

личине I, т. е. пусть для любой

ограниченной ST-измеримой

величины

т}

і —>оо.

(3.49)

Предположим, что случайные величины

являются S-из­

меримыми, где S — (полная) о-подалгебра ёГ. Тогда случайная

величина £ также S -измерима.

теореме

1.7

последователь­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно

ность случайных

величин

| 2>• •

• равномерно

интегрируема.

Эта последовательность останется

равномерно

интегрируемой,

если ее

рассматривать на новом вероятностном пространстве

(Q, S, Р).

Следовательно, еще раз применив теорему

1.7, по­

лучаем,

что найдется такая подпоследовательность %п ,

\ ѣ, ...

и ^-измеримая

случайная величина f, что для

любой

ограни­

ченной ^-измеримой величины ц

M£njfj-* МІт),

г-*оо.

(3.50)

Согласно (3.49)

ІѴЦц, и, с другой стороны, в силу (3.50)

МЦт, =

М {І„м (г, \Щ -> М {ІМ (Л m

=

Mlл-

Следовательно,

М|г| = М|т],

откуда

1 — 1 (Р-п.

н.),

а

значит, |

^-измерима.

З а м е ч а н и е .

Если т — марковский

момент, то

случайная

величина

Ах — Ах м (со) является

£Гт_-измеримой. Напомним,

что

есть

а-алгебра,

порожденная

множествами вида

{т>*}ЛЛ „ где

ëTt,

0.

2.

В следующей теореме даются условия, при

которых на

Предварительно

введем такое

О п р е д е л е н и е

7. Потенциал nt,

0,

является

регуляр­

ным, если для любой последовательности

{тп, п =

1, 2, . . .}

марковских моментов таких, что тп f т,

Р ( т < о о ) = 1

,

84

МАРТИНГАЛЫ (НЕПРЕРЫВНОЕ ВРЕМЯ)

[ГЛ. 3

со

M j

mt_ dAt = М т^Л ^ =

М Л^.

(3.55)

0

Заметим еще, что

М j

(Л, + AtJ)dA t =

lim M

шЛ

А i+1

+ A

^JL+i — л

È-» OO

L(=0

к

к

lim М

Лi±l

А)

= МЛ; (3.56)

fe->co

І = 0 L

k

Из (3.54) — (3.56) получаем

оо

оо

оо

М J

(я^ -|- я^_) dAt — М J (mt -j- mf_) dAt — М J

(At -j- Лг_) <іЛг =

О

о

.!

= 2 М А І— М Л ^= М Л І.

б) Предположим

теперь,

что

М J [яг +

Щ-] dAt <

оо.

(3.57)

о

В свою очередь для доказательства неравенства

МЛІ, < оо

достаточно

установить,

что

для всех п,

больших некоторого

іѴ0 < оо,

М Л І ( я ) < С < о о .

(3.58)

Вытекает это из того, что Л^

является

слабым

пределом

некоторой

последовательности

(Лоо(яг), і — 1,

2, ... )

и следую­

щего предложения.

і = I,

2, . . . ,

— последовательность

Л е м м а 3.6. Пусть

| <

случайных

величин М|

оо,

/ — 1, 2, . . . ,

слабо сходящаяся

к некоторой величине |, т.

е.

пусть для

любой ограниченной

случайной

величины т)

—> М|,ті,

г-»оо.

(3.59)

Предположим, что sup М |2 ^

С < оо. Тогда М |2<ІС.

І

Обозначим

Д о к а з а т е л ь с т в о .

%,(п)

I,

если

11 |< п ,

О,

если

111 > п.