Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

где

мы

воспользовались тем, что

с»

М 2

-^і+ірг- " (А і'+і)'2_

я

=

i=о

oo

^

M

_2 M {л(г+1).2-и [^(( +l)-2~n

A i-2~n

I ^i.2-»} =

CO

=

M

2 M (Я({+]).2-п I

i.2~n) ІА(І+l)-2_n

^l-2~n(tt)) ^

OO

M 2

Я;-2—f! (у4((+1).2— (^)

n(^)) ^ C.

t=0

Итак,

M [Л^(п)]2 < 2C <

oo, и по лемме Фату М [Лте (я)]2<ДС

для

всех

n i ^ N 0.

двух вспомогательных предло

4.

Для формулировки еще

некоторые

обозначения.

At,

0, и

построим по

нему суб­

Рассмотрим процесс

мартингал (An(t), £Гt),

0,

полагая

4 ( 0 = М [ И ф|г(О| ^ ] ,

(3.62)

где q>n(t) — (k + 1) 2—",

если

kT~n ^

t < (6 +

1) 2“ ".

Согласно

теореме 3.1 можно считать, что траектории An(t),

0,

непре­

рывны справа Р-п. н. и имеют пределы слева

в каждой

точке t^ O .

0). Тогда из леммы 1.9

Пусть т — м. м. (относительно (5^),

и определения условного

математического ожидания

нетрудно

вывести,

что

= М[Лф|г(т)|<Гт].

(3.63)

Л„(г)

Для

каждого е > 0 определим

Ѵ Е=

inf {t: An{t) — At >e},

(3.64)

полагая

т„,е = + оо,

если

множество

{•} в (3.64) пусто.

Ясно,

что т„,е < т „ +ЬЕ (Р-п. н.).

Положим те = lim хп<е.

Л е м м а

3.7. Для

П-> ОО

всех п = 1, 2, ...

М [А%в — Ахп J

^

еР (тЕ< оо) -|- М [Лте

A<f,n (тЕ)].

(3.65)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Имеем

И

А х г ~ А х п, е =

И Д ~

A<fn (Д)] +

И<Д (Д) — А х п, J

М\ ы

ММ1 Д ( . . , І Г Ѵ .1 >

> м м 1 \ л ѵ . ) ! г ѵ . ] = м л » (ѵ .>

§ 4]

СВОЙСТВА НАТУРАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ

87

Поэтому, учитывая,

что An( t ) ^ A t (Р-п.

н.), ^ > 0 ,

получаем

М1\

,] > МI '4 - Л»„ Ң)I + МI ■4.(V.)- Л,

1>

5* М М .

л « „ (О І+

.1

К

К

, , ) - ' 4.„,,]<гр:

е

ѵл І ‘еЛ '

{хе < °°}

> м м .

фп (те)

+ еР (Те < °°)>

где мы воспользовались тем,

что в силу непрерывности справа

процессов An(t)

и At,

0,

на множестве

{те <

оо}

(Лі, е)

е ^

Л е м м а 3.8.

Пусть

At, t ^ O ,

— натуральный

процесс,

отве­

чающий регулярному

потенциалу

П =

(я,,

5^(),

и МЛ^ < оо.

Тогда для всех п = 1,

2, . . .

и любого е >

0

оо

М J [ Л ,- Л ,_ Ы Л ,< Н т {еМЛТге_е +

М [Л^Л*, -

Лт„.е)1}. (3.66)

0

П-> ОО

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим

Д„_

= {/: k ■2~" < t <

<

(/г +

1) 2-гг}. Поскольку для

t <= Д„. *,

процесс (Л„ (/), 5^)

обра­

зует мартингал, а процесс (Л;, #",),

/ > 0 , натуральный,

то из

леммы 3.2 нетрудно вывести, что

М

J

An(t)dAt = M

I

Л„(/ —) dAt.

&п, к

Ап, k

Следовательно,

оо

оо

M j

Aa( t - ) d A t =

М |

An{t)dAt.

(3.67)

о

о

С другой стороны (ср. с (3.54)),

М

J

Л>(/)^ , = Іігп М и Д № + І)-2 -“ -е )[Л ,і+ м _ „_ ,-Л і .г_я]).

дя.*

£ѵ°

(3.68)

Но при е j 0

Ап((^ + П • 2

б) = М [24(ä+1).2_« I ^"(fc+i).2-n-e]

—> М[Л(й+1).2_п j ^"(fe+|).2-»-| ^

Ай+1)-2-,г’

так как величина Л(й+І).2_п

является

iF"(ft+1),2- л-измеримой со­

гласно

теореме

3.10.

(я<1

t),

С^О, является

регуляр­

Поскольку потенциал П =

ным, то МЛ; =

МЛ^ — Мл; является

непрерывной функцией и