Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

циал П = (яг, &~(),

і ^ О ,

регулярный, то

МИхе~

^ еі(1] =

М[я,Яіе- я , е]->0,

п-> оо.

(3.75)

В силу

непрерывности

справа процесса Аи

О,

м І ' Ч

- \ , ч . ) 1 ' * 0’

(3-76)

так как

ф„(те) I те>

П-> оо.

Из (3.75), (3.76)

и

неравенства (3.65) леммы 3.7 получаем,

что Р (те < оо) = 0

для

любого е > 0. Но тогда (см. (3.66))

lim |еМАхп е

М IЛоо(Л«, — Лтя Е)]} =

еМЛоо,

П-¥оо

скольку же траектории Лг, t ^ O,

также непрерывны и справа,

то

процесс

А1г

0,

непрерывен

с вероятностью 1.

Освободимся теперь от предположения

М ЛІ><°°.

Пусть П = (л;,

t),

0, — непрерывный справа регулярный

потенциал

класса

D и

“ М ( Ах \ @~t) — A t,

(3.77)

где

Af,

0, — натуральный возрастающий

процесс. Положим

для п — 1,

2, ...

и

A (tn) =

At А п,

= А\п+1) — А\п)

п\п) =

М [ß("' 10 -J — B f .

(3.78)

90

МАРТИНГАЛЫ

(НЕПРЕРЫВНОЕ

ВРЕМЯ)

[ГЛ. 3

Ясно, что для каждого t ^

0

•IXі

2 Я(п)

(3.79)

і ^ О ,

п=1

где потенциалы

ограничены

и непрерывны

справа.

лярен

потенциал П = (яь &~t).

каждого п = 1, 2, ...

Из

(3.77) и (3.78) следует, что для

nt = П(п) + г ѵ

где потенциал

zt = M [Лоо -

В™ I P t\ -

(At -

В\п)).

Пусть

последовательность

марковских моментов хт \ х .

Тогда

по теореме 3.5 Мл*"1^ М я ^ , Мгх

Л3 Мгт,

и, следовательно,

lim Мп(тп) ^ Мл'"*,

lim

Mz

Мгг

(3.80)

lim Млт = Мят.

т ->ѵоо

тт

1

Итак, каждый из потенциалов

л\п), п = 1, 2, . . . , является

процессы

B f \

0, непрерывны

с вероятностью 1.

Для

потенциала

я(/!)

соответствующим

натуральным про-

П= I

оо

цессом

является

процесс

Bt = ^ B [ n\

где

каждый

из процес-

сов В[п),

П= I

0, непрерывен.

Этот процесс

также является не­

прерывным.

Действительно,

о < в, -

N

вТ <

N

(Р-п. н.),

I]

ßoo -

2 В™

(3.81)

п—I

п= 1

N

где

с

вероятностью

1 В^ — 2

ß » ->0,

JV—>оо,

поскольку

оо

п—I

M ß 0O= M

2

в « =

м л

оо< о о .

п—\

что

процесс Bt,

t^zO,

непрерывен

с ве­

Из (3.81)

следует,

роятностью

1.

что

Для завершения доказательства осталось лишь заметить,

из

единственности

разложения (3.77) с натуральным про­

цессом

At, t ^ O ,

вытекает,

что

Р(Л / = Д<) — 1,

0. Отсюда

следует,

что в разложении (3.77)

натуральный процесс At,

О,

можно

выбрать непрерывным с вероятностью 1.

Г Л А В А

4

ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС.

СТОХАСТИЧЕСКИЙ

ИНТЕГРАЛ ПО ВИНЕРОВСКОМУ ПРОЦЕССУ.

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

§ 1. Винеровский процесс

как квадратично интегрируемый мартингал

1.

Пусть

(Q,

Р) — некоторое

вероятностное пространство

и ß =

(ß,),

О,— процесс броуновского

движения (в смысле

определения

§ 4 гл. 1). Обозначим

5 ^ =

о {со: ß5, s^^}-

Тогда

согласно (1.30)

и (1.31) Р-п. н.

M(ß,|£FP) =

ßs

< > s,

(4.1)

Mf(ß/ - ß s)2|^11 =

^ - s ,

t > s .

(4:2)

квадратично

интегрируемым (Mß? < оо,

о)

мартингалом (от­

носительно

системы

o-алгебр Fß = (^Ff), t ^O )

с непрерывными

(Р-п. н.) траекториями.

справедлив

и обратный результат,

В определенном

смысле

для формулировки которого введем следующее

про­

О п р е д е л е н и е

1.

Пусть (Q, ЗГ, Р) — вероятностное

странство

и

F — {8Tt),

0, — неубывающее

семейство о-под-

алгебр

Случайный

процесс W = {Wt, 3Ft),

t^z 0, называется

винеровским

{по

отношению к семейству F — {^~f) , t ^ 0),

если

1)

траектории

Wt,

0,

непрерывны

по t

Р-п. н.;

2)

W = {Wt,

t),

0, является квадратично интегрируемым

мартингалом с WQ= 0 и

М [{Wt — Wsf \ &~s] = t — s,

t > s .

Т е о р е м а

4.1 (Леви).

Всякий винеровский процесс

W —

= {Wt, 3Tt),

0,

является процессом броуновского движения.