Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Тогда

при

п -> оо

А п )

п - і

7 + 1

г , I г 1 =

V

J м [Г

/=0

г(/г)

1

'

' '

J

t

.f M

K

W

t

=

e j y - J r f u -

s

s

Но

М[max I A/" j ]2—> 0

при

я ^ о о в силу непрерывности

с ве­

роятностью

1 процесса

xt,

0

^ .Т , и ограниченности

функ­

ции

f"(x),

а

п-і

7+1

= 2М [х\ — x ff + 8

J

Mx2t{n)gu du <

/= 0

t (n)

1

t

^ 8 K 2 + 8K2J Mg2u du < оо,

что и доказывает (4.9).

96

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ

[ГЛ. 4

Единственное

непрерывное

решение

у, этого

уравнения с на-

чальным условием у$ = е

iXW

s задается

,

«

—гг!*—s)

,

формулой

yt — yse 1

откуда получаем

М[е‘М » г » .) |з г ,|=

Д І,_".

(4.13)

Из этой формулы видно, что приращения Wt — Ws не зависят

от случайных

величин, измеримых относительно

сг-алгебры

s,

f ^ s , и являются

гауссовскими со средним М [Wt — ГД = 0 и

дисперсией

D [Wt — Ws] — t — s,

Теорема

Леви

доказана.

Т е о р е м а

4.2.

Пусть

W = {Wt, 9~t),

t ^ O ,

Wt = (WД/), .. .

. .. , r„(0 ), —n-мерный непрерывный мартингал с Р(Г;(0) =

0 )= 1

/ < я ,

М [Г , (/)| £■,] = №,(.?), / > s ,

Р-п. н. и

м l(Wt -

WS)(W, -

Wsy 13rs}= E - ( t -

s),

(4.14)

где E =

E ( n \ n ) — единичная

матрица

порядка

пу^п.

Тогда

W — {Wt, £Ft), /> 0 ,

является п-мерным процессом броуновского

движения с независимыми компонентами.

Д о к а з а т е л ь с т в о

мало

чем

отличается

от доказатель­

ства в одномерном случае. Полагая

aN =

inf { t <

Т: sup

2

I Г,- (s) | =

./V

5 < t

I—l

и <JN =

T на

множестве

{со: sup

| W, (s) | <

N [, сначала

тем же

путем

l

/=1

J

устанавливаем, что для любой

функции f —

— f (хь . . . , хп),

ограниченной и непрерывной вместе со своими

производными /' И / " х ,

М \f (Г ? (/), . . . ,

WNn (/)) I

<Fe л oN] =

f ( # f (s), . . . ,

W(nm (s)) +

г

n

•••> ^ n ( u ) )x A u ) \ ^ s A 0 N\du,

(4.15)

+ | J

I—l

s

где

1,

<yM> u,

%N(“) =

0,

aN ^ u.