Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 226
Скачиваний: 0
98 СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4
поскольку Ws измеримо относительно &~s+- Следовательно,
М [eizWt IF f ] = М [eizWt I P j + l |
(4.21) |
Отсюда вытекает, что для любой измеримой ограниченной функции
М [/ (Wt) \ r f ] |
= М \f (Wf ) I F j + l |
(4.22) |
|
Пусть теперь s < t l < t 2 |
и /, (х), |
f2(x) — две |
ограниченные |
измеримые, функции. Тогда |
согласно |
предыдущему равенству |
|
М \ h (IT,.) /, (IT,,) I * 7 ] = M [M (f„ (W, j |
T f ] = |
|
= |
M [M (h (« Щ I IT,,) f, (У,,) I<Fjy = M [f (IT,,) / (ІІЩ I S ™ ] (4.23) |
|
и |
аналогично |
|
|
|
м |
|
|
|
= м Ц Ч Д О Д Д |
(4-24) |
||||
где |
s < tx < . . . |
< 4 . a fj(x) — измеримые |
ограниченные функ |
||||||||
ции, |
/ = 1 , . . . , |
п. |
Отсюда |
следует, |
что |
для |
t > s |
и любой |
|||
^Г-измеримой |
ограниченной |
случайной* величины rj = г] (со) |
|||||||||
|
|
|
|
M h l ^ f ] |
= Mlril |
<^7+]. |
|
|
(4.25) |
||
Беря, |
в частности, £Г7.-измеримую случайную |
величину |
|||||||||
Т] = |
г](со), |
находим, что М (г|| |
&~J) = ц (Р-п. |
н.). |
В силу полноты |
||||||
o-алгебр |
1W |
1W |
отсюда |
|
вытекает, |
что т) |
|
1W |
|||
£TS, |
@~s+ |
|
является £TS -из |
||||||||
меримой. |
Следовательно, |
3~Y ^3?~Y+. |
Обратное |
включение |
|||||||
s |
|
очевидно. Поэтому @~s =@~s+- |
Теорема |
доказана. |
|||||||
|
§ 2. Стохастические интегралы. Процессы Ито |
||||||||||
1. |
Будем считать |
заданным |
|
вероятностное |
пространст |
||||||
(£2, &~,.Р) с выделенным в нем неубывающим семейством о-под-
алгебр F = {&~t), |
0. Далее всюду будет предполагаться, что |
||||
каждая а-алгебра $Ft, t ^ O , |
пополнена*) множествами |
из 9~, |
|||
имеющими нулевую Р-меру. |
0 ,— винеровский |
процесс. |
В на |
||
Пусть |
W = (Wt, @'і), |
||||
стоящем |
параграфе |
будет приведена конструкция и даны свой- |
|||
|
|
|
t |
|
|
ства стохастических |
интегралов It (f) вида J |
/ (s, со) |
для |
||
некоторого класса функций |
о |
всего отметим, |
|||
/ = f(s, со). Прежде |
|||||
*) Такое предположение дает возможность выбрать у рассматриваемых на (Q, W , Р) случайных процессов модификации с нужными свойствами из меримости (см., например, замечание к лемме 4.4).
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ. ПРОЦЕССЫ ИТО |
99 |
что интегралы такого типа нельзя определить как интегралы Лебега — Стилтьеса или Римана — Стилтьеса, поскольку реали зации винеровского процесса имеют неограниченную вариацию на сколь угодно малом интервале времени (гл. 1, § 4). Однако винеровские траектории обладают все же некоторыми свойст вами, которые в каком-то смысле аналогичны конечности ва риации.
Л е м м а 4.3. |
Пусть 0 = t{0n) < t\n} < |
. . . < t ^ = t-разбиение |
отрезка [0, і], причем max[^+i — |
0, гг-> оо. Тогда |
|
|
|
(4.26) |
и с вероятностью |
1 |
|
|
|
(4.27) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку при любом п
п- 1
то для доказательства (4.26) достаточно проверить, что
гауссовости приращений винеровского процесса
Доказательство равенства (4.27) проведем в предположении,
что 4га>= — t (в общем случае доказательство несколько слож
нее). Для этого воспользуемся следующим общим фактом.
Пусть {£„, п — 1, 2, ...} — последовательность случайных ве личин и для каждого в > О
|
ОО |
|
|
(4.28) |
|
S Р{1 І я | > е } < |
°°- |
|
|
Тогда | п—>-0 |
с вероятностью 1 при п —>оо. |
|
|
|
Действительно, пусть Агп — [а>: | І „ | > 8} и |
ß e = |
lim sup А® — |
||
ОО оо |
|
|
|
П |
= П U |
Тогда {“ : i«(ö))T4 0}= |
( J ß I/^. |
Но |
в силу (4.28) |
k
4*
100 |
|
СТОХАСТИЧЕСКИЕ |
ИНТЕГРАЛЫ |
|
|
по лемме |
Бореля — Кантелли (гл. |
1, § 1) |
P (ß 8) — 0. |
||
Р{ю: S»7*0} = |
0. |
|
^ |
. |
|
Возвратясь |
к доказательству (4.27), где |
t\n) — — t, |
|||
|
|
E» = £ V j ± i , - « Ч , ] 2 - т ) - |
|
||
|
|
і=о I L n |
n J |
> |
|
В силу неравенства Чебышева |
|
|
|
||
|
|
P { I I J > e } < |
Mill. I |
|
|
[ГЛ. 4
Поэтому
положим
Используя независимость приращений винеровского процесса на непересекающихся интервалах и формулы
m W t - W sf m = { 2r n - !)!!(* — s f , т = 1, 2, ....
нетрудно подсчитать, что
где С — константа.
оо
Поэтому ряд S P { U J > 8 } < ° ° , и согласно сделанному
П — \
выше замечанию g„—>0 (Р-п. и.), п-> оо, что и доказывает (4.27)
в предположении tf'1= ~ t.
З а м е ч а н и е . Утверждения (4.26) и (4.27) символически часто записывают в следующей форме:
Jt (dWsf = Jt ds.
оо
2.Определим класс случайных функций f = f(t, со), для ко-
|
|
|
t |
f(s, |
|
|
торых будет построен |
стохастический интеграл |
о |
<o)dfl7s. |
|||
О п р е д е л е н и е |
2. |
|
|
|
||
Измеримая (по паре переменных (t, со)) |
||||||
функция f = f(t, со), |
|
0, со ей , называется неупреждающей |
||||
(по отношению к семейству F = (STt), t^ O ), если |
J |
|
|
|||
она ^-изм ерим а. |
|
|
при каждом t |
|||
3. |
Неупреждающая функция f — |
со) |
||||
О п р е д е л е н и е |
||||||
называется функцией класса 2РТ, если |
|
|
|
|||
|
J f2(t, а ) dt < оо j= 1. |
|
|
(4.29) |
||
§ 2] |
СТОХАСТИЧЕСКИЕ |
ИНТЕГРАЛЫ. |
|
ПРОЦЕССЫ ИТО |
|
|
101 |
|||
О п р е д е л е н и е 4. Неупреждающая функция |
/ = |
/(/, ш) |
||||||||
называется функцией класса |
Шт, если |
|
|
|
|
|||||
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М J f2(t, u)dt < |
оо. |
|
|
(4.30) |
||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
З а м е ч а н и е . |
Неупреждающие |
функции часто |
называют |
|||||||
также функциями, не зависящими от «будущего». |
|
|
|
|||||||
В соответствии |
с определениями § |
2 гл. |
1 неупреждающие |
|||||||
функции |
f = |
— это |
измеримые |
случайные процессы, |
со |
|||||
гласованные с семейством |
F — |
t ^ T . |
Очевидно, что |
при |
||||||
любом Т > 0 ZPT Э Шт. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По аналогии с обычной теорией интегрирования естественно |
||||||||||
сначала определить стохастический интеграл It{f) |
для |
неко |
||||||||
торого множества «элементарных» функций. |
следующим |
двум |
||||||||
Это |
множество |
должно |
удовлетворять |
|||||||
свойствам: с одной стороны, оно должно быть достаточно «бо гатым», чтобы функциями из него можно было «аппроксими ровать» любые функции из классов Шт и SPT, и, с другой сто роны, таким, чтобы можно было просто описать свойства сто хастических интегралов от его представителей.
Такой класс «элементарных» функций составляют вводимые
в определении 5 простые функции. |
e(t, ю), |
назы |
|||||||
|
О п р е д е л е н и е |
5. Функция |
e = |
||||||
вается |
простой, |
если |
существует |
конечное |
разбиение 0 = t0< |
||||
< |
/] < |
. . . < t n — T |
отрезка [0, |
Т], |
случайные |
величины |
а, |
||
а0, |
. . . , |
<*„_!, где |
а |
^-изм ерим а, а |
at- |
^F^.-измеримы, |
і — |
||
= 0, 1, . . . , п — 1, |
такие, что |
|
|
п—I |
|
е (*> |
®) = а*{о) (0 + 2 ^ x (t[ и+і] (t) |
|
(%{о}(0 — характеристическая функция «точки» |
{0}, а 1(ti,ti+l\ ~ |
|
характеристическая функция полуинтервала (tt, |
^ + 1]) и е ^ Ш т). |
|
З а м е ч а н и е . |
Простые функции e — e{t, со) |
определены как |
функции, непрерывные слева. Этот выбор мотивируется анало гией с обычным интегралом Стилтьеса, определяемым так, что если a = a{t) — неубывающая непрерывная справа функция, то
оо
J Х(в. ѵ\ (0 da (0 = а (ѵ) — а (и).
о
То обстоятельство, что при построении стохастического интеграла по винеровскому процессу мы отправляемся от «эле ментарных» функций, непрерывных слева, не является суще ственным. Можно было бы в качестве «элементарных» взять
102 |
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ |
[ГЛ. 4 |
ступенчатые функции, непрерывные справа. |
Однако это обстоя |
|
тельство становится существенным при построении стохасти ческих интегралов по квадратично интегрируемым мартингалам
(см. § 4 гл. 5). |
функций |
e — e(t,i о), |
стохасти |
||
3. Для простых |
|||||
ческий интеграл /Де) по определению полагается равным |
|||||
It{e) = aW0 + |
2 |
|
|
||
|
|
JO< i< m, |
' m + l <*} |
|
|
или, так |
как |
P(1F0 = |
0 ) = 1 , |
|
|
< |
2 |
im+1с I) |
+ |
(4.31) |
|
|
|
|
|
||
Для краткости вместо сумм в (4.31) будем использовать |
|||||
следующую (интегральную) запись: |
|
||||
|
|
|
It(e)= |
e(s, со) dWs. |
(4.32) |
Под интегралом |
)dWu будет пониматься |
интеграл |
|||
J е(и, соJ |
|
|
|||
/ tie), где |
ё(и, |
со) — е{и, со)%(и > s). |
|
||
Отметим основные свойства стохастических интегралов от простых функций, непосредственно вытекающие из (4.31).
/<(аех+ |
be2) — alt{ex) + blx(е2), |
|
a, b — const. |
|
(4.33) |
||||||||||
*• |
|
|
|
|
и |
|
|
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
e(s, со)dWs = |
|
e(s, со)dWs + |
|
e(s, |
со)dWs |
(Р-п. н.). |
(4.34) |
|||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
« |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
/Де) — |
непрерывная функция по t, 0 |
|
|
(4.35) |
|||||||||
|
|
J |
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ММ е(и, |
(ü)dWu \ |
j = j |
e{u, |
a)dW u |
(Р-п. h.). |
|
(4.36) |
||||||
М Ц et(u, d))dWaJ |
e2(u, |
a>)dWuJ = |
M |
J |
e{(«, co)e2(w, |
co)du. |
|||||||||
Если e(s, co) = |
|
для всех s, |
|
|
|
и |
|
|
(4.37) |
||||||
0 |
|
|
|
соg A s |
J |
j., го |
|||||||||
I е (s, |
®)dWs = 0, |
/ < Г . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Процесс |
/Де), |
|
|
прогрессивно измерим, и, в част |
|||||||||||
ности, |
/ Д |
е ) t-u3меримы при каждом t, 0 |
|
^ Г. |
|
|
|||||||||
