Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 228
Скачиваний: 0
§ 2] |
СТОХАСТИЧЕСКИЕ |
ИНТЕГРАЛЫ. ПРОЦЕССЫ |
ИТО |
|
|
103 |
|||||||||||
Из свойства (4.36), |
в |
частности, |
следует, что |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
е(и, a)dW u = 0. |
|
|
|
(4.38) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Отправляясь |
от |
|
интегралов It (e) |
от |
простых |
функций, |
||||||||||
определим теперь стохастические |
интегралы |
It {f), |
t ^ . T , |
для |
|||||||||||||
функций |
feäJ£ r . |
|
МJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Возможность такого определения основывается на следую |
|||||||||||||||||
щей лемме. |
|
Пусть функция |
/ е |
Шт. Тогда найдется после |
|||||||||||||
Л е м м а 4.4. |
|
||||||||||||||||
довательность простых |
функций |
fn, |
п — 1, |
2......... |
таких, |
|
что |
||||||||||
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
[f(t, |
со)— fn(t, |
в))]2 dt-* 0, |
|
п-> оо. |
|
(4.39) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о , |
а) Прежде |
всего |
заметим, что |
без |
|||||||||||||
ограничения общности |
можно |
считать функцию f(t, со) ограни |
|||||||||||||||
|
МJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ченной, |
I f (t, со) |<!С < |
оо, |
|
|
|
(ö g Q. |
(В |
противном |
|||||||||
случае |
можно |
|
перейти |
|
от |
f(t, |
со) |
к |
функции |
f(iV) (t, |
|
co) = |
|||||
= f(t, со)%N(t, со), где |
|
|
1, |
|
\f(t, |
со) К |
|
Ж, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
%N(#, со) = |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
0, |
|
\ f(t, |
со) I > |
N, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и использовать |
|
то, |
что |
|
М | | / ( ^ , с о ) — f(N) (t, |
&)\2d t-* 0 |
|
при |
|||||||||
N -> 00.) |
Далее, |
|
если |
Г = |
о |
|
го |
сразу |
можно считать, |
что |
|||||||
|
оо, |
|
|||||||||||||||
функция |
f (t, со) |
|
финитна, |
т. е. |
обращается в |
нуль |
вне |
неко |
|||||||||
торого конечного |
интервала. |
|
|
Т < оо. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Итак, |
пусть I / (/, |
со)) ^ |
|
С < |
оо, |
|
|
|
|
|
|
||||||
б) Если функция f{t, со) непрерывна по t (Р-п. н.), то после довательность простых функций строится просто. Например, можно положить
£ |
ч t (kT |
, |
\ |
kT |
„ ^ ( k + l ) T |
fn{t, |
= |
со], |
— |
< * < -----~---- . |
Тогда (4.39) выполнено по теореме Лебега о мажорируемой сходимости.
в) Если функция f(t, со), соей , прогрессивно из мерима, то построить последовательность аппроксимирующих
функций можно следующим образом. Пусть F(t, со)= J f(s, со)ds,
о
где интеграл понимается как интеграл Лебега. В силу про грессивной измеримости функций f ( s , со) процесс F( t , со),
104 |
СТОХАСТИЧЕСКИЕ |
ИНТЕГРАЛЫ |
[ГЛ. 4 |
измерим и при каждом t случайные величины /Д/, со) |
|||
^-измеримы . |
|
|
|
Положим |
|
|
|
fm(t, С0) = |
I |
CO) — F((t — -^) |
|
|
|
||
т |
I f (s, со) d s ( = [f(t, |
V о, c o )]/i). |
|
( - І ) VO
Случайный процесс )т (Дсо), ( Х Д ^ Г , coeQ , измерим, является неупреждающим и имеет Р-п. и. непрерывные траектории. По этому согласно пункту б) для каждого т существует последо
вательность |
неупреждающих ступенчатых |
функций |
f min(t, со), |
||||||||||
п = 1, 2, |
. . . , |
такая, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М J |
|
со)— |
со)]2 £#->(), |
|
П-> О О . |
|
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим |
теперь, |
что Р-п. н. для почти |
всех t ^ T |
суще |
|||||||||
ствует производная |
F'(t, со) и F'(t, |
— |
|
со). |
Но |
в тех точ |
|||||||
ках, где производная F'(t, со) существует, |
|
|
|
|
|
||||||||
F'(t, со)= lim m \F{t, со) — F ((?-----V 0, |
со) |
= |
lim f m{t, |
со). |
|||||||||
Поэтому |
для |
почти |
всех (t, со) |
(по |
мере |
dt dP) |
lim |
f m{t, co) = |
|||||
— f{t, со) |
и |
по |
теореме |
Лебега о |
|
|
|
|
m-> oo |
|
|||
мажорируемой |
сходимости |
||||||||||||
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М с |
о |
) |
— f(t, |
со)]2с^->0, |
m -> оо. |
|
|
|||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этим утверждение леммы доказано в случае, когда функции f(t, со), 0 < Л г ^ 7 \ со<=П, прогрессивно измеримы.
г) В общем случае доказательство проводится следующи образом. Доопределим функцию /(/, со) для отрицательных t, полагая f(t, co) = f(0, со). Будем считать функцию f(t, со) огра ниченной и финитной. Положим
' Ы 0 = |
-^г. -рг<*<"Цаг-. / = 0, ± 1 ......... |
и заметим, что |
функция fn(t, со) = /[фпД — s) + s, со] является |
при каждом фиксированном s простой. Лемма будет доказана, если показать, что можно так выбрать точку s, что будет выполнено (4.39).
§ 2] |
С Т О Х А С Т И Ч Е С К И Е И Н Т Е Г Р А Л Ы . П Р О Ц Е С С Ы И Т О |
105 |
Для доказательства воспользуемся следующим замечанием: если f — 0, cosQ , — измеримая ограниченная фи нитная функция, то
00
lim М |
f [f(s + h, со) — f{s, ti>)fds = 0. |
(4.40) |
h-*0 |
J |
|
|
0 |
|
Действительно, согласно пункту в) для всякого е > 0 най дется такая Р-п. н. непрерывная функция fe(t, со), что
М J [fAs, <o) — f(s, о)]2 fifs < е2.
|
|
о |
|
|
|
|
|
Но тогда в силу неравенства Минковского |
|
|
|||||
00 |
|
|
|
-| 1/2 |
|
|
|
Пт М I [f(s + |
A, |
to) — f{s, (ö)]2ds |
|
|
|
||
h-*0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
lim |
|
|
|
|
-.1/2 |
|
M J [fzis + h, |
0 |
(ö)]2rfs |
+ 2e, |
|||
|
|
h-> О |
( ) — fAs, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда в силу |
произвольности |
е > 0 следует (4.40). |
|
||||
Из (4.40) вытекает также, |
что для |
любого |
О |
|
|||
и, в частности, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
М [ [/(5 + ф„(0, <o) — f(s + t, (o)]2ds = |
0 |
|
||||
|
п->°° |
о |
|
|
|
|
|
|
|
оо |
оо |
|
|
|
|
|
|
lim |
М Г |
f [/(s - f ф„(0. ©) — f(s + t, a>)]2dsdt = |
0. |
|
||||
п-boo |
* |
J |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Из последнего равенства следует, что существует такая |
||||||||
последовательность чисел пІУ г = 1 , 2, |
. . . , |
«г-> оо, |
что |
для |
||||
почти всех (s, t, со) (по мере dsdtdP) |
|
|
|
|
|
|||
[f{s + %.(t), öd) — f { s + t , |
öd)]2->0, |
nt -+oo. |
|
|
||||
Отсюда, переходя к новым переменным |
и — s, ѵ — s + |
t, |
полу |
|||||
для почти всех (и, v, |
со(п )]2о |
|
мере |
du dv dP) |
|
|
||
чаем, что[f (« + % t{v — и), 0 — öd) |
—> 0, |
nt -+O0 , |
|
|
||||
106 |
|
СТОХАСТИЧЕСКИЕ |
ИНТЕГРАЛЫ |
|
[ГЛ. 4 |
|||
и, |
значит, |
найдется такая |
точка |
ü — s, что |
|
|
|
|
lim М J [f(ü + \рПі(ѵ — й), |
— |
со)]2dv = |
|
|
|
|||
|
|
lim М J |
[f(s 4 - ^ (/ — s), ©) — /(/, |
(ü)fdt = |
0. |
|||
|
Лемма |
4.4 доказана. |
|
|
со), 0 ^ ^ ^ Г < |
оо, |
||
|
З а м е ч а н и е . Если случайный процесс f(t, |
|||||||
является прогрессивно измеримым и Р I J | f (t, |
со) \dt < оо I = |
1, |
||||||
|
|
|
t |
|
Vo |
|
/ |
|
то |
процесс |
F(t, со)= |
J f(s, |
at)ds, |
где интеграл пони- |
|||
мается как |
интеграл |
о |
|
|
|
и F -согла |
||
Лебега, является измеримым |
||||||||
сованным и, более того, прогрессивно измеримым (как имеющий Р-п. н. непрерывные траектории).
Если же измеримый случайный процесс
Т < оо, Р ^ J ) f(t, со) \dt < ooj = 1, является ^-измеримым
при каждом t, 0 < 4 7\ то у него существует (§ 2 гл. 1, п. 1) прогрессивно измеримая модификация f {t, со), и тогда процесс
F{t, co)= J f(s, co)ds |
также прогрессивно измерим. Покажем, |
|
о |
|
|
что F(t, со) является |
(прогрессивно измеримой) |
модификацией |
процесса F(t, со). |
|
|
Действительно, пусть х5(ю) = х{и: f(s ö)^ f (s ffl)r |
Тогда по тео- |
|
т |
т |
|
реме Фубини М J %s((ä)ds — | Mxs(со) ds = 0, и, следовательно,
т |
о |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р-п. н. J xs(a>)ds = 0, а значит, и P(F(/, со) = F(t, |
со))= |
1, t ^ T . |
||||
о |
|
|
|
|
|
предпо |
Как было отмечено в начале данного параграфа, |
||||||
лагается, что а-алгебры FTt пополнены множествами из |
||||||
имеющими P-меру нуль. |
Поэтому из того, что F(t, |
со) являются |
||||
при каждом t |
Т ^-измеримыми, вытекает, |
что и |
F{t, и) |
|||
также ^"(-измеримы для |
каждого t ^ . T . |
|
|
|
||
Учитывая также то, что процесс |
F{t, со), t ^ T , |
непрерывен, |
||||
|
|
|
t |
|
|
|
получаем,- что |
интеграл |
F{ t , со)= |
Г / ( 5 , a>)ds, |
/ < Г , |
от не- |
|
