Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 232
Скачиваний: 0
§ 2] |
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ПРОЦЕССЫ ИТО |
10? |
|||
|
|
|
|
||
упреждающего процесса |
f(s, со), |
является прогрессивно |
|||
измеримым случайным |
процессом. |
|
|
||
|
Приведенные рассуждения можно использовать (в случае, |
||||
когда 0 -алгебры |
t пополнены множествами из ЗГ, |
имеющими |
|||
P-меру нуль) для |
доказательства |
п. г) леммы 4.4 |
сведением |
||
к случаю, рассмотренному в п. в). Однако доказательство, приведенное в п. г), имеет ту ценность, что оно указывает способ построения простых функций fn(t, со) непосредственно по значениям самой функции f(t, со).
5. Итак, пусть /(=9№г. Согласно только что доказанной лемме существует последовательность простых функций fn(t, со), для которых выполнено (4.39). Но тогда, очевидно, и
|
lim |
М |
[ [fn(t, |
— |
со)]2dt — 0, |
||
|
Пя ~ > ООon |
|
j |
|
|
|
|
|
т~>оо |
|
|
|
|
|
|
а следовательно (по свойству (4.37)), |
|
||||||
lim М |
I fn(t, сü)dWt ~ |
\ |
fm(t, |
(0)dWt |
|
||
П-> оо |
о |
|
|
о |
|
|
|
т-> сю |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
= |
lim |
М |
Г [fn(t, со) — |
со)]2dt = 0. (4.41) |
||
|
|
« |
ОО |
|
V |
|
|
Таким образом, последовательность случайных величин IT(fn) фундаментальна в смысле сходимости в среднем квадратиче ском и, значит, сходится к некоторому пределу, который будем
|
т |
|
|
|
обозначать |
Іт(/) или J f(t, |
со)dWt: |
|
|
|
о |
|
|
|
|
IT(f) = |
U. m. l T(fn). |
(4.42) |
|
|
|
|
П |
|
Значение |
(с точностью |
до |
стохастической |
эквивалентности) |
этого предела, как нетрудно показать, не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности {/„, п = 1, 2, ...}. Следо вательно, данное определение стохастического интеграла lT{f) корректно.
З а м е ч а н и е 1. Поскольку значение стохастического интег рала Іт(f) определено с точностью до эквивалентности, усло вимся считать Ir (f) = 0 для всех тех со, для которых f(t, со) = 0
при |
всех |
(ср. со свойствами стохастических интегра |
лов |
от простых |
функций, п. 3). |
108 |
|
|
|
|
СТОХАСТИЧЕСКИЕ |
ИНТЕГРАЛЫ |
|
|
[ГЛ. 4 |
||||||||
Пусть |
снова |
f е |
Шт. Определим семейство стохастических |
||||||||||||||
интегралов It (f) |
при 0 ^ / ^ Т , |
полагая |
It (f) = Іт |
т. е. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
/,(/) = J |
/(*, |
®)%t(s)dWs. |
|
|
(4.43) |
|||||||
Для |
It (f) |
естественно пользоваться |
также |
записью |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со) dws. |
|
|
|
|
(4.44) |
|||
Остановимся на основных свойствах стохастических инте |
|||||||||||||||||
гралов It (f), |
|
|
|
от функций f, fi<=3RT, 1= 1, 2. |
|
||||||||||||
|
|
It{afi + bf2) = |
alt (fl) + |
blt (f2), |
a, b = |
const. |
|
(4.45) |
|||||||||
|
|
t |
|
|
u |
|
0j f |
|
t |
|
|
|
u |
f (s, со) dWs, |
|
(4.46) |
|
|
|
0j |
/ (s, со) dWs = |
(s, CO) dWs + |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
где |
|
t |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
J/ ( 5, |
a>)dWs = |
f/(5, co)x[Ui ,,(5) dWSi |
|
|
|
||||||||||
|
|
u |
|
|
|
|
Ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a X[„, t) (s) — характеристическая функция |
множества и ^ |
s ^ t |
|||||||||||||||
|
|
lt (f) — непрерывная функция |
по t, |
|
|
(4.47) |
|||||||||||
|
|
M |
' t |
|
|
|
|
I |
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J f ( u , |
a > ) d W u \ T S |
= |
J |
/ (и, |
со)d W a, |
|
|
(4.48) |
|||||||
|
|
|
Lo |
|
Г t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
j fi (и, со) |
|
J |
/г(«> ©) dWu, |
|
= |
M |
J fi(u, |
a) f2(u, |
a) du. |
|||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
J |
o |
|
|
|
|
(4.49) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
f (s, со)= 0 |
для |
всех |
s, |
0 ^ |
s ^ |
Г, |
и со e |
Л e |
$FT, то |
|||||||
|
|
|
J |
f{s, |
(äi)dWs = |
0, |
|
/ < 7 \ |
|
сое Л. |
|
(4.50) |
|||||
Процесс |
|
0 |
< f |
< |
7\ |
/ е З й г, |
прогрессивно измерим, и, |
||||||||||
в частности, |
It (f) STt-измеримы |
при |
каждом t, 0 ^ / ^ Г . |
|
|||||||||||||
Для доказательства (4.45) достаточно выбрать последова |
|||||||||||||||||
тельности простых |
функций |
f\n) |
и f(2n) |
такие, что |
|
|
|
||||||||||
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ. ПРОЦЕССЫ ИТО |
109 |
и затем совершить предельный переход в равенстве
It {af^ + bff) = alt (f^) + blt (ff).
Аналогично доказывается и свойство (4.46).
Свойства (4.48) и (4.49) следуют из свойств (4.36) и (4.37), поскольку из сходимости случайных величин в среднем квадра тическом вытекает сходимость их моментов первых двух по рядков.
Свойство (4.49) можно несколько обобщить:
Проверка этого свойства проводится обычным порядком: сна чала устанавливается его справедливость для простых функ ций, а затем совершается соответствующий предельный переход.
Свойство (4.50) |
вытекает из |
сделанного выше |
замечания 1. |
||
Покажем |
теперь, |
что |
процесс |
lt(f), 0 < ^ Г , |
прогрессивно |
измерим |
и, более того, |
имеет Р-п. н. непрерывные траектории |
|||
(точнее, имеет модификацию с этими двумя свойствами). |
|||||
Для доказательства |
заметим, что для простых функций /„ |
||||
процесс |
(It(fn), $~t), 0 < г < 7 \ |
образует непрерывный (Р-п. н.) |
|||
мартингал (по свойствам (4.35) и (4.36)). Поэтому по теореме 3.2
о
т
(4.51)
о
Выберем последовательность простых функций fn, сходящуюся
к І ^ Ш Г, так, чтобы |
fo^O , |
т |
|
М J [f{s, |
a ) ~f n ( s , ö)]2ds-*0, tt-н-оо, |
о |
|
и |
|
т |
(4.52) |
|
|
о |
|
н о |
|
СТОХАСТИЧЕСКИЕ |
ИНТЕГРАЛЫ |
[ГЛ. 4 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим |
теперь, |
что ряд |
|
|
|
|
|
t |
г |
t |
|
cd) ) dWs |
|
|
|
J f ! (s, со) dWs + |
J (f2 (5, cd) — fl (s, |
+ • • • |
|
||||
|
|
. . . + |
J (/„ +i (s, v>)-fn(s,®))dW8 + ..• |
||||
сходится |
в среднеквадратическом к |
оj f(s, cd) |
и члены этого |
||||
ряда Р-п. н. непрерывны по t, |
0 ^ t ^ . T . |
Далее, |
согласно (4.51) |
||||
и (4.52) |
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому в силу леммы Бореля — Кантелли с вероятностью, равной единице, найдется такой (случайный) номер N — N (ü>), начиная с которого
t
Следовательно, |
ряд из |
непрерывных |
функций |
J fi (s, c d) |
dWs + |
J (fn+i (s, |
cd) — fn (s, cd) ) dWs |
сходится равномерно с вероятностью 1 и определяет непре
рывную функцию |
(Р-п. н.), которая при |
каждом |
t является |
[^-измеримой *). |
Из этих двух свойств |
вытекает, |
что случай |
ный процесс, определяемый этим рядом, является прогрессивно измеримым (гл. 1, § 2, п. 1).
Таким образом, мы видим, что можно так выбрать последова тельность простых функций f'n, удовлетворяющих свойству (4.52),
что построенные с их помощью интегралы |
O^t sS^T, будут |
|
непрерывны по t, 0 ^ . t ^ . T , |
с вероятностью 1. |
Поскольку с точ |
ностью до стохастической |
эквивалентности |
значения l t (f) не |
зависят от выбора аппроксимирующей последовательности, то отсюда следует, что у интегралов I t (f) существует непрерывная модификация. В дальнейшем при рассмотрении интегралов /*(/),
*) НапЬмним, что сг-алгебры t предполагаются пополненными множе ствами из нулевой вероятности.
§2] СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ. ПРОЦЕССЫ ИТО
/е Шт, будет предполагаться, что It {f) имеют непрерывные Р-п. н. траектории.
З а м е ч а н и е |
2. Отметим, |
что из построения аппроксими |
|||||
рующей последовательности {/„, п = 1,2, ...} |
со свойством (4.52) |
||||||
вытекает, в |
частности, что с вероятностью |
1 |
|
||||
|
t |
|
t |
|
|
|
|
sup |
j |
/ (s, ®) dWs — j |
fn (S, со) dWs |
|
0, |
oo. |
|
0 < С < Г |
о |
|
0 |
|
|
|
|
Иначе говоря, |
равномерно no |
t, |
с вероятностью I |
||||
|
t |
|
t |
|
|
■е |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
J fn(s, ®)dWs -± J f(s, со) dWs, |
|
n-* oo. |
|
|||
|
о |
|
0 |
|
|
|
|
Отметим еще два полезных свойства |
стохастических инте |
||||||
гралов lt (f), |
f е |
Шт, непосредственно вытекающих из теоремы 3.2 |
|||||
и того замечания, |
что (/r (f), £Tt), |
|
является |
квадра |
|||
тично интегрируемым мартингалом с непрерывными траекто риями:
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
< -р - j |
M/2(s, <o)ds, |
(4.53) |
||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
т |
|
|
|
|
М sup |
J f(s , |
a )d W s |
< 4 |
J |
Mf2(s, (S))ds. |
(4.54) |
||
|
о<г<г |
о |
|
|
|
|
|
|
|
Из |
последнего |
свойства, |
в частности, |
вытекает, |
что |
если |
|||
f ^ M T и последовательность |
функций {fn, п — 1,2, ...} такова, |
||||||||
что fn е= ЗЯТ и |
г |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
м / |
[/ (t, со) — fn (t, |
со)]2 dt ->0, |
|
|
||||
то |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
l.i.m. Гfn (s, со) dW s |
j f(s, со)dW s. |
|
|
|||||
|
П |
V |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З а м е ч а н и е |
3. |
Проведенная выше |
конструкция |
стохасти |
|||||
ческих |
интегралов |
O ^ t ^ T , |
и |
их |
основные |
свойства |
|||
остаются в силе и в случае |
Т = оо. |
Нужно |
лишь потребовать, |
||||||
чтобы |
/ е |
где |
371^ — класс |
неупреждающих |
функций |
||||
f = / (s, со) со свойством |
|
|
|
|
|
|
|||
J M/2(s, со) ds < оо.
о
