Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

112

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ

[ГЛ. 4

6. Построим

теперь стохастические

интегралы

t ^ . T ,

для функций f из класса &т, удовлетворяющих условию

(4.55)

С этой целью установим сначала справедливость следующей

леммы.

Пусть f<=tPT, Г ^ о о . Тогда найдется последо­

Л е м м а 4.5.

вательность функций fn е Шт такая,

что по вероятности

т

[/(t, со) — fn(t, со)]2 dt ->0,

I

п->оо.

(4.56)

о

Существует

последовательность

простых функций

f n(t, со),

вероятности, так и с вероятностью 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

Положим

inf

J f2(s, со) d s ^ N

>

Иѵ (®) =

О

т

Т,

если

J f2(s, a>)ds < N,

и

о

fN(s, co) = /(s,

co)x{s<Xiv(a)}.

(4.57)

Поскольку предполагается, что ст-алгебры @~t,

попол­

нены

множествами из

нулевой

вероятности,

то, в соответ-

t

ствии

с замечанием к лемме 4.4,

процесс J f2(s,(a)ds, t ^ T ,

о

моменты

т ѵ (со) являются, марковскими (по отношению к семей­

ству

О

Г).

2, . . . , являются неупре­

Поэтому

функции fN(s, со), N = 1,

ждающими

и принадлежат классу Шт, поскольку

г

J M/^(.s, со) d s ^ N

< оо.

о

114

СТОХАСТИЧЕСКИЕ

ИНТЕГРАЛЫ

[ГЛ. 4

В частности, с вероятностью

1

г

lim

I

[f(t,

со) — fn(t, со)]2 eft =

0.

П-*00

Лемма доказана.

Если

неупреждающая

функция f — f(t,<c>)

З а м е ч а н и е

4.

такова,

что с вероятностью

1

т

J

I f (t, оо) \dt < оо,

о

то

найдется

такая

последовательность

простых

функций

со),

п = 1,

2,

что с

вероятностью

1

т

limП S I f (t, со) — fn(t, со) I dt =

0.

Доказательство аналогично случаю, когда

Р

I

f2(t,

со) dt <

о о J = 1.

о

/

В дальнейшем нам понадобится также следующее пред­

ложение.

4.6.

Пусть

f е

Шг и событие 4

e f r .

Тогда для

Л е м м а

любых N >

О,

С >

О

РІ

А (1

sup

f

(S,

со) d r s

> C j

,

/

T

<

^

+ p| Лn ( Jf2{s, CO) d s > N

(4.59)

и,

в частности,

t

P {

sup

f (S,

со) dWs

> C

<

I 0<C<7-

< - £Nr +

P \

\ f2( s , u ) d s > N

\. (4.60)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

функции fN (s, со)

определены

формулами (4.57). Тогда по свойству (4.49)

т

т

М

J U

*

<*)dWa

J

Mf^(s, c o ) f t s ^ A f <

о о .

о

§ 2]

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ. ПРОЦЕССЫ ИТО

В соответствии со свойствами стохастических интегралов

со: sup

J

[f(s, со)— M s , <a)]dWs

О

э

Поэтому

— I ®:

J

fI2(s, со) ds ^

N

А П 1 со:

sup

J

[f (s, ®) — f N (s, <o)] dW s

> 0

g

s

ЛЛ

a:

j

f2(s, co)ds> N

и,

значит,

в

силу неравенства

(4.53)

t

Р {

А Л

sup

f{s, со)dWs > C

=

\0</<Г

:P

ЛЛ

SUP

fN (s, c0)dWs +

I

\0<С=<Г

+ J [f (S, ©) — fN (S, ©)] dw s

> C

<

< P {

А Л

sup

h (s, ffl) dW s

> С

+

I

+ Р {

А л

sup

[f(s, со) - f N(s, со)}dWs

> 0

<

\о<г<г

^ P )

sup

fN(s, со)dWs

> С

+

0<С<Г

+ Р

j лл\ f s[j( s , <*)dWs\\2 + Р М Л

f 2(s,

a ) d s > N

<

f2(s,

со)ds > N

<

< J r

+

P{

Л fl I

I f2is><a) ds > N

о

Лемма доказана.

С л е д с т в и е .

Если f ^ . T t T, то

> С

<

N

с 2 •

/

З а м е ч а н и е

5. Утверждение леммы остается справедливым,

Перейдем

теперь непосредственно к конструкции интеграла

l T(f) для

f

Г < о о .

Пусть

fn =

fn{t, ю), п — 1, 2, . . . , — последовательность функ­

сходимости

(4.56).

Тогда,

очевидно, для

всякого е > 0

г

т

\

lim P i

[

<*>) — fm(t, а)]2 dt > е

= 0

п, т - > о о

\

J

I

и согласно лемме

4.6 для

любых е > 0,

б >

0

,

т

т

Л

Ііш Р

fn(U со)dWt — J* fm{t, ®)dWt > 6

<

п, т - > оо

о

4 r +

lim р (

Г [fn(t, ю) — fm(t, a ) f d i >

e ) = ~ .

u

ft,

m ->oo

у

J

J

u

Отсюда в силу произвольности

е > 0 получаем

Т

Ііш

fnit, ®)dWt -

$ fm(t, ®)dWt

> 6 = 0.

гг, m - > оо

0

Таким

образом,

последовательность

случайных

величин

т

h i f n ) — I fn{t> ®)dWt сходится

по вероятности к некоторой слу­

чайной величине, которую мы обозначаем Іт(/)

или J

f(t, со)dWt

о