Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 233
Скачиваний: 0
§ 2] |
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ. |
ПРОЦЕССЫ |
ИТО |
117 |
|
п-+оо. Следовательно, пределы по |
подпоследовательностям |
||||
lim IT(fn), |
lim /r (g„) |
будут совпадать. |
|
Ir (f) для |
|
Конструкция стохастических интегралов |
Шт. |
||||
в случае функций f |
осуществляется так же, |
как и для / е |
|||
А именно, мы определяем интегралы It (f) — J f(s, a>)dWs с по-
мощью равенств |
fl |
|
|
т |
|
/< (/)= J f(s,<*)Xt(s)dWs, О |
(4.61) |
о |
|
где Xt{s) — характеристическая функция |
множества |
Поскольку (с точностью до стохастической эквивалентности) |
|
значение стохастических интегралов It (f) |
не зависит от выбора |
аппроксимирующей последовательности, то при исследовании
свойств |
процесса |
It(f), |
|
|
можно использовать частные |
|||||
случаи |
таких |
последовательностей. |
|
|
||||||
В частности, |
возьмем в качестве такой последовательности |
|||||||||
функции f N(s, о) из (4.57). Поскольку Р | |
J |
f2{s, со) c/s < оо | = 1, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
оо |
QN, |
|
|
QN = |
то |
множество |
£У — (J |
где |
|
||||||
т |
|
|
|
|
л/=і |
|
|
|
|
|
^ J |
f2(s, |
to) ds < |
N I , отличается от Q на подмножество Р-меры |
|||||||
о |
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
нуль. Заметим |
теперь, что на множестве QN |
|||||||||
|
|
|
|
|
ü>)= |
fN+l(s, со)= . . . |
= |
/(s, со) |
||
для |
всех |
s, O |
^ s ^ r . |
Следовательно, |
на |
множестве |
||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
It (f)= J f(s, ®)dWs = \ |
fN{s, ®)dWs = It (fN). |
||||||
|
|
|
|
о |
|
|
0 |
|
|
|
Ho fN e |
|
Шт. Поэтому процесс It {fN) непрерывен no t, 0 < / ^ 7 , |
||||||||
с вероятностью 1 (точнее, |
имеет непрерывную модификацию). |
|||||||||
Отсюда |
|
вытекает, что |
на |
множестве ПдГ стохастические инте |
||||||
гралы It (f), |
|
|
|
образуют непрерывный процесс. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
Но, |
как |
уже |
отмечалось, |
Q' == [J Qw |
отличается от Q лишь |
|||||
на множестве P-меры, |
|
|
N=1 |
|
|
|||||
нуль, следовательно, Р-п. н. случайный |
||||||||||
процесс It (f), |
|
|
имеет непрерывные траектории. В силу |
|||||||
прогрессивной |
измеримости процессов It{fц), 0 ^ / ^ Г , это же |
|||||||||
118 |
|
|
|
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ |
[ГЛ. 4 |
|||
рассуждение показывает, что процесс |
0 ^ . t ^ . T , |
также |
||||||
является |
прогрессивно |
измеримым. |
|
замеча |
||||
З а м е ч а н и е |
6. |
Согласно сделанному выше |
||||||
нию 2, |
если |
f е |
Шт, то существует, такая последовательность |
|||||
[fn, п = |
1, |
2, |
...} |
простых |
функций, что |
равномерно |
по t, |
|
0 < г < 7 \ |
с вероятностью 1 |
| fn dWs —> J |
f dWs. |
|
||||
оо
Аналогичный результат сохраняет свою силу и для функций
(см- [ 123]).
З а м е ч а н и е 7. Полезно также отметить, что неравенства (4.59) и (4.60) сохраняются и для любой функции f е <РГ.
.Действительно, пусть {/„, п — 1, 2, . . . } — последовательность простых функций таких, что
I fn{s, |
со) |< | f (s, со) I, 0 < s < 7 \ a e Q , |
и |
T |
|
|
|
J [fn (s, со) — f (s, со)]2 ds -> 0 |
|
0 |
(по вероятности) |
при n-> oo. Тогда для любых N > 0, С > 0 |
и |
|
t
РЛЛ sup J
с<г 0
/ ( s , с о ) с Л Г 5 > C
t
|
< P M Л |
sup |
J M s, co)drs > C |
+ |
|
|
|
\ t < T |
0 |
|
|
- f - P f А Л ( sup |
J [f(s, CO) — fn(s, |
со)] dWs |
> 0 < |
||
|
\ t < T |
|
|
|
|
N |
л л ( { f^(s . co)fi?s>yv'j + P^ |
[f(s, w) |
fn(s, (O)]2ds>0 |
||
c2 + p |
|||||
Отсюда, переходя к пределу при п-^оо, получаем требуемое неравенство
§ 2] |
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ. ПРОЦЕССЫ ИТО |
119 |
|
Завершая |
конструкцию стохастических интегралов |
It (f) для |
|
функций |
f е ^ |
г> отметим их свойства. Свойства (4.45)—(4.47) |
|
остаются выполненными. Однако свойства (4.48), (4.49) могут
нарушаться (см. ниже замечание 9 в |
п. 8). |
Если в случае |
f ^ T t T стохастические интегралы (/*(/), |
^ ) , |
образо |
вали мартингал (притом квадратично интегрируемый), то для
функций |
это уже, вообще говоря, не так. Впрочем, |
||||
в случае f ^ S P T |
(It(f), 5Ft), t ^ T , |
образуют локальный мартин |
|||
гал (см. далее и. 10). |
|
|
|
|
|
7. Пусть |
и т = т((й) — конечный (Р(т < оо) = |
1) мар |
|||
ковский момент |
относительно системы |
(S^), |
t ^ 0. |
Наряду |
|
со стохастическими интегралами |
/Д/) = |
J f{s, |
(a)dWs |
введем |
|
|
|
|
о |
|
|
стохастический интеграл со случайным верхним пределом т.
Положим |
по определению |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1%(/) = |
/<(/) |
на |
{со: т (со) = t}. |
|
(4.62) |
|||||
Поскольку |
стохастический интеграл |
/*(/), |
0, |
является |
||||||||
прогрессивно |
измеримым |
процессом, |
то |
по лемме |
1.8 Ix(f) |
|||||||
является £Гт-измеримой |
случайной |
величиной. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
По |
аналогии с |
обозначением |
/Д/) = |
J f(s, |
&)dWs будем |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
использовать |
также |
обозначение |
/T(f)= |
j |
f(s, сo)dW5. |
|
||||||
При |
оперировании |
со |
|
|
|
о |
|
интегралами Ix(f) |
||||
стохастическими |
||||||||||||
со случайным |
верхним |
пределом |
т |
полезно |
следующее равен |
|||||||
ство: |
|
|
= |
|
|
(Р-п. и.), |
|
|
(4.63) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где X = X{t<t}— характеристическая функция множества {/^т}.
В иных обозначениях |
равенство |
(4.63) можно переписать сле |
|||
дующим образом: |
|
|
|
|
|
X |
|
оо |
|
|
|
{ f(s, с0 )dWs = \ |
X{s<x)f(s, СО)dWs (Р-п. н.). |
(4.64) |
|||
о |
|
о |
|
|
|
Докажем (4.63) (или (4.64)). |
равенство |
|
|||
Для простых |
функций |
f е |
|
||
|
X |
|
00 |
|
|
j |
f(s, (О) d W = \ |
X [ s < x ) f { s , со)dWs |
(4.65) |
||
о |
|
|
о |
|
|
очевидно. |
|
|
|
|
|
120 |
с т о х а с т и ч е с к и е и н т е г р а л ы |
[ГЛ. 4 |
|
Пусть |
f e S 3«, и |
/г = 1, 2, . . . . — последователь |
|
ность простых функций, участвующих в построении интегралов It (f), t > 0 . Поскольку (по вероятности)
СО
J |
If„(*. |
|
|
|
®)x(s<T)J2^S< |
|
|
|
|
|
|
|||||
О |
|
|
|
|
|
< Jсо [/„(s, со)—/(s, со)]2ds->0, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
п-* оо, |
|||||||||
то |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
со)X{S<T} dWs= |
|
со)x{s<t) dWs. |
|
||||||||
|
|
Р- lim |
f fn (s, |
f f (s, |
(4.66) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Заметим теперь, что на множестве |
(со: т(ео) = ?} |
|
|
||||||||||||
|
т |
|
|
|
t |
|
|
|
i |
J |
|
t |
|
|
|
со)dWa |
|
J fn{s, |
a)dWs — J fn(s, со)dWs, |
f(s, CO)dWs= J |
f(s, |
||||||||||||
и |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(s, со)d r , . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
CO)dWs = |
J |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Поэтому |
на множестве {ш; |
t (g>) = |
^} |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р- Нш |
fn(s, a>)dWs = |
J |
f(s, со)dWs. |
|
|
(4.67) |
||||||
|
|
|
|
П->оо J |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
Из |
(4.65) — (4.67) следует требуемое равенство |
(4.64). |
|||||||||||||
|
Следующий результат, |
часто используемый в дальнейшем, |
||||||||||||||
является обобщением |
леммы |
4.6. |
|
|
|
0, — неупреждающий |
||||||||||
|
Л е м м а |
4.7. |
Пусть f = |
f(t,a>), |
|
|||||||||||
(относительно системы F = |
(@~t), |
|
0) |
процесс. Пусть {оп, п = |
||||||||||||
= |
1, 2, |
— неубывающая |
|
последовательность |
марковских |
|||||||||||
моментов, 0 = |
1іша„, |
таких, |
что при каждом п = 1, |
2, . . . |
||||||||||||
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р ^ | f2(s, |
сo)ds < |
ooj = |
1. |
|
|
|
|||||
|
Тогда для |
любого события А е |
5Fа |
и |
N > 0, С > |
0 |
|
|||||||||
Р ) А П |
sup |
f(s, |
со) d r , |
> С |
< |
|
|
|
|
|
|
|||||
+ Р j Д п J f2(s, со)ds > N j .
