Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 235
Скачиваний: 0
§ 2] |
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ. ПРОЦЕССЫ ИТО |
121 |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть
inf |
f<o: |
J f2{s, v> )ds^N |
|
|
0 |
|
|
a |
a, |
если |
j f2(s, (o)ds < N, |
и fN(s, a) = f{s, ©)x^s<T j. Тогда, как и при доказательстве леммы 4.6, получаем, что
p j ЛЛ ^sup |
J f(s, a)dWs >С |
[ |
sup |
и |
|
J fN{s, &)dWs >С |
+ |
||||
+ Р |
ЛЛ sup j (f(s, |
a>)-fN(s,(ü))dWs > 0 < |
|
||
;р j sup |
J M s , ® )d r4 > C |
+ P ЛЛ |
J/ 2(S, <o)ds>AM . |
||
Из теоремы 2.3 и свойств |
стохастических интегралов |
сле |
|||
дует, что |
|
|
|
|
|
Р т sup |
/ fN(s, <o)dWs |
|
J fl(s, ©)ds<-^-, |
|
|
|
|
|
о |
|
|
что вместе с предшествующим неравенством и доказывает утверждение леммы.
С л е д с т в и е . |
Пусть |
Л = 1 ю : |
J* |
f2(s, ®)ds < tx> | . |
Тогда |
|
и |
|
|
|
|
|
|
Р | Л Л ^sup I f(s, со)dWs |
= oo |
[ = |
0. |
Иначе говоря, на |
мно- |
|
жестве А |
|
|
|
|
|
|
sup |
I f{s, |
<a)dWs |
< |
О О , |
Р-П. Н. |
|
8. В качестве следствия равенства (4.64) выведем следую щие формулы, известные как тождества Вальда.
122 |
|
|
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ |
|
|
[ГЛ. 4 |
|||||
Л е м м а |
4.8. |
Пусть |
W = {Wt, @~t), |
|
О,— винеровский |
||||||
процесс |
и т = т((о) — марковский |
момент |
(относительно |
{£Tt), |
|||||||
t ^ O) с |
Мт < |
оо. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М Гт= |
0, |
|
|
|
|
(4.68) |
|
|
|
|
|
= |
Мт. |
|
|
|
(4.69) |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Рассмотрим неупреждающую |
функ |
|||||||||
цию f(s, |
a>) = |
X{s<z((0)y |
Ясно, что |
|
|
|
|
|
|||
РІ J |
f2{s, (d)ds < оо |
Р |
4 < x m ds |
|
= Р { т < о о } = і , |
||||||
т. е. эта |
функция |
принадлежит |
классу |
|
Покажем, что для |
||||||
|
|
К |
с |
Л |
“ ”7« , |
(Р-п-Я-). |
|
(4.70) |
|||
С этой целью |
введем |
для каждого п — 1, 2, |
.. марковские |
||||||||
моменты |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|<а: ~ 2 п~ ^ т (со) < |
I , |
|
|||||
|
|
2п ^^ |
|
||||||||
|
т„(ю) = оо |
на |
{со: т (со) |
- оо} |
|
|
|
|
|||
и рассмотрим |
интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
t |
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если t принимает одно из значений вида kl2п, то тогда |
|||||||||||
очевидно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
dw |
= W |
|
(4.71) |
|
|
о |
|
|
|
X'{s<xnA t } u w s |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу непрерывности стохастических интегралов и траекто рий винеровского процесса по і равенство (4.71) остается спра ведливым и для всех ^ > 0 .
Заметим теперь, |
что |
ОО |
оо |
/ |
/ [ P ( s < T j - P ( s < T ) I r f s = |
о |
о |
|
= Мт„ — Mt < “ ->0, п —>оо. |
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ. ПРОЦЕССЫ ИТО |
123 |
Поэтому
Сравнивая (4.72) |
с (4.71) |
и учитывая, что для всех « е £ 1 |
т„((о)|т, приходим к требуемому равенству (4.70). |
||
Из (4.70) и (4.64) |
находим, |
что Р-п. н. |
|
X |
оо |
|
О |
о |
поскольку l l <x) = X[s<xy
Воспользуемся теперь свойствами (4.47) и (4.48), при
менимость которых законна, поскольку в условиях леммы
оо
Q
о
и
Лемма доказана. |
Равенство |
Mtt^T= 0 остается справедли |
|
З а м е ч а н и е |
8. |
||
вым и при условии |
М j / r < o o |
(см. [130], [132]). |
|
З а м е ч а н и е |
9. Условие М т< оо, обеспечивающее равенства |
||
М1^т=Мт, ослабить, вообще говоря, нельзя, что показывает
такой пример. |
Пусть т = |
inf (t ^ 0: Wt = |
1). Тогда Р (т < оо)= 1, |
||||
Мт = |
оо (см. |
гл. |
1, § |
4, |
п. 3) и 1 = М1У? ф Мт = оо. |
функ |
|
9. |
Пусть |
f — |
|
со)— произвольная |
неупреждающая |
||
|
|
|
|
|
|
f2(s, w )ds= oo |
\ |
ция, |
т. е. такая, |
что, |
вообще говоря, Р |
I > 0 |
|||
Положим |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
124 |
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ |
[ГЛ. 4 |
|
|
считая |
ап = оо, если |
[ f2(s, <o)ds < п, |
и пусть о = |
|
lim ст„. |
Ясно, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что |
на |
множестве {а ^ |
Т) |
| |
f2{s, со) ds = |
оо. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
/ОпАТ |
|
о |
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Поскольку Р I |
I |
|
f2(s, |
со) ds < °о I = 1, |
то определены стоха- |
||||||||||||
стические |
\ О |
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
||||||
интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
оплт |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІапАТ(f) = |
J |
f(s, CO) dWs = |
J fn(s, co) dWs, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
где fra(s, co)= f(s, |
cö)Xjs<(J у Стохастический же интеграл IaAT(f), |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
вообще |
говоря, |
не |
|
определен, |
поскольку J f2(s, со) ds = |
оо |
на |
||||||||||||
множестве |
{со: а ^ Т} |
Р-п. |
н., |
|
а |
|
о |
|
выше |
кон |
|||||||||
|
приведенные |
||||||||||||||||||
струкции |
стохастических |
интегралов |
Ia{f) предполагали, |
что |
|||||||||||||||
Р |
|
|
Р (s, со)ds < |
с» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
При |
нарушении |
|
условия |
Р |
|
f2(s, со) ds < оо |
|
= 1 можно |
|||||||||
|
jJ |
|
|
|
|
j= 1. |
|
|
| J |
|
|
|
j |
|
|
|
|||
было бы пытаться определить интеграл Ia(f) как предел (в том
или ином |
смысле) |
интегралов Ian(f) при |
оо. Но нетрудно |
привести |
примеры, |
когда на множестве {ст^Г} Р-п. н. |
|
lim /оп(/) —° ° , |
Пт Ід„(/)= — оо- |
П |
П |
(Достаточно положить Т — оо, |
f = 1.) Поэтому lim / ст (/), вообще |
говоря, не существует.
Покажем, однако, |
что существует *) |
|
Р-1іпі X гстлг |
(4.73) |
|
“ |
J «-С.<й) ds < ОО |
|
|
Іо |
|
который мы будем обозначать ГаЛг(/).
) Этот факт будет существенно использован в гл. 6 и 7.
§2] |
|
|
|
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ. |
ПРОЦЕССЫ ИТО |
|
|
125 |
|||||||||||
Для |
доказательства |
заметим, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Р-Нпз X |
|
|
|
|
олт |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4,74) |
||||
|
|
|
|
1 |
[f{s,(i>) — fn{s,(£>)]2d s — 0. |
||||||||||||||
|
|
|
* |
f ( T |
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
^ J |
f2(s, со) ds < oo) |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначая i aAT = % |
|
|
|
|
, по |
лемме |
4.6 |
(см. |
заме- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
к(оЛТ |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
I j |
|
f2(s, to) ds < oof |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
чание к ней) находим, что для |
любых е > 0, |
ö > |
О |
|
|
|
|||||||||||||
Р I %аДГ |
J |
(fn(s, со)— fm(s, со))dWs |
> б |
|
< |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
, |
|
аАі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
< - |г |
+ |
р |
|
J |
[fn(s, (ö)— fm(s, ®)]2rfs > |
ej |
||||||||
Отсюда |
в силу (4.74) |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
олт |
|
|
|
|
|
ОЛТ |
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
P |
|
w |
j |
|
fn(S’ a) dWs - X o AT ! |
fm(s, G>)dWs |
> ö j = |
0. |
||||||||||
m»n~>oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.75) |
|
Следовательно, |
последовательность |
случайных |
величин |
||||||||||||||||
Х ддг |
ОЛТ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jfn(s,a)dWs сходится по вероятности к некоторой |
|
слу- |
|||||||||||||||||
чайной величине, которая обозначается ГаЛг(/). |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Заметим, |
что согласно проведенным построениям | Г0дг (f) |< |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОЛТ |
|
|
|
j |
|
|
|
|
||
< оо Р-п. |
н. |
на множестве |
со: |
nJ |
f2(s, |
со) ds = |
oo I , |
A |
если |
||||||||||
Pj олтj f2(s, ©) ds < |
oo 1 = 1, |
то |
олт |
|
|
|
' |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Голт(!) = Іолт(!)= |
J |
f (s, (ö) dWs. |
|
|
|
|
|||||||||
Пусть |
теперь |
т — произвольный |
|
марковский |
момент |
||||||||||||||
(не обязательно |
равный limo^, |
где |
ап |
определены |
выше) и |
||||||||||||||
{fn{s, |
со), |
|
п = 1, |
2, |
...} |
П |
|
|
|
|
|
неупреждающих |
|||||||
|
— последовательность |
||||||||||||||||||
