Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 239
Скачиваний: 0
126 |
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ |
[ГЛ. 4 |
функций таких, что для каждого п = 1, 2, ..
ІХхАТ
{fl{s,<i>)ds< оо \ — 1,
о
и аппроксимирующих заданную функцию f в том смысле, что
. |
|
ХАТ |
Р-lim X(x/ST |
^ |
{ [/(s, с о ) - fn(s, <ö)pds = 0. |
САГ |
-I |
J |
J Р (s, в>) ds < оо > 0
0 J
Аргументы, приведенные выше при определении величин Гадгif), показывают, что и в рассматриваемом случае суще ствует
|
|
ТАГ |
Р ' 1Іт |
ХгхЛТ |
4 f fn{s,(ä)dWs, |
^ 00 |
I f Р(,.Ш)* < » } 0 |
|
который будем также обозначать Гтлг(/)- Важно отметить, что для заданных т и f это значение (с точностью до стохасти ческой эквивалентности) не зависит от специального вида аппро ксимирующих последовательностей {fn(s, со}, «== 1, 2, ..
Отметим |
Т |
f2(s, |
(a)ds < |
] |
также, что на множестве | со: J |
о о j |
|||
у процесса |
ГД/), рассматриваемого для t ^ . T A т, |
существует |
||
Р-п. н. непрерывная модификация. Только такие модификации
далее и будут рассматриваться. |
процесс |
0, |
|
10. Как уже |
отмечалось выше, |
||
в случае / е ^ м, |
вообще говоря, |
не является |
мартингалом. |
Однако этот процесс будет локальным мартингалом. Дей
ствительно, пусть т„ = inf |
J f2(s, |
со) d s ^ |
n j Д n. Тогда |
||
Р ( т „ < п )= 1 , |
Р(тга< т „ +1) = 1 |
и Р{1ішт„ = оо}= 1. |
|||
Рассмотрим |
для данного п — 1, |
П |
процесс |
||
2, ... |
|||||
|
|
|
t |
|
|
J t A x n ( f ) = 1 f ( s > * ) d W s = |
\ |
|
|
||
|
о |
|
о |
|
|
Поскольку |
|
п |
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
I М [/(s, |
a)x{s<Xn}f d S = |
I М [f(s, (0 )х |
Л2d s ^ n , |
||
0 |
|
о |
|
|
|
§ 2] |
с т о х а с т и ч е с к и е |
и н т е г р а л ы , п р о ц е с с ы Ит о |
127 |
то процесс |
t), t ^ O , является квадратичноинтегри- |
||
руемым мартингалом. При |
этом |
|
|
где М \Ixn(f)\ < оо. Из этого представления вытекает, что после довательность случайных величин {/гдт^Ш, 0} является
равномерно интегрируемой (см. доказательство теоремы 2.7). Согласно определению 6 (гл. 3, § 3) это доказывает, что
процесс |
(/<(/), & t), |
0, является локальным мартингалом. |
11. |
В дальнейшем при рассмотрении задач нелинейной |
|
фильтрации нам придется сталкиваться со стохастическими |
||
интегралами, где интегрирование производится не по винеровскому процессу, а по так называемым процессам Ито. Дадим необходимые определения.
Пусть |
(Q, |
Р) — вероятностное |
пространство, {8Гt), |
0 ^ |
||||||
— неубывающее |
семейство сг-подалгебр |
SF |
и |
W —■ |
||||||
= (Wt, @~t) — винеровский процесс. |
случайный |
процесс |
| = |
|||||||
О п р е д е л е н и е |
6. |
Непрерывный |
||||||||
= (£t, @~t), |
0 s C t^ . T , |
называется процессом |
Ито |
по |
отноше |
|||||
нию к винеровскому |
процессу W — {Wt, 3Tt), |
t ^ T , |
если суще |
|||||||
ствуют два неупреждающих процесса a = |
(at, 9~t) и b — (bt, |
t), |
||||||||
|
такие, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1, |
|
|
(4.76) |
|
|
|
|
|
dt < оо = 1 |
|
|
(4.77) |
|||
и с вероятностью |
1 для |
O ^ C t ^ T |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
■ t |
t |
|
|
|
|
(4.78) |
|
|
£f = |
io + |
J a(s>ü>)ds+ J b{s, &)dWs. |
|
||||||
|
|
|
о |
о |
|
|
|
|
|
|
(Для краткости говорят, |
что процесс |
|
имеет стохастический |
|||||||
дифференциал |
d%t = a(s, &)dt -j- b(s, to) dWt, |
|
(4.79) |
|||||||
|
|
|
||||||||
понимая при этом (4.79) как сокращенную запись представле ния (4.78).)
Пусть теперь f = |
ю), Т ^ ) —~некоторая неупреждающая |
|
t |
функция. Стохастический интеграл /<(f)= j f(s, co)rf|s от фуик-
о
ции f = f(s, о) по процессу с дифференциалом (4.79) будет
128 |
с т о х а с т и ч е с к и е и н т е г р а л ы |
[ГЛ. 4 |
пониматься как |
|
|
t |
t |
|
J f (s, со) а (s, (o)ds + J f(s,<ü)b (s, a) dWs |
(4.80) |
|
о |
0 |
|
при условии, что оба этих интеграла существуют, для чего достаточно, чтобы
Данное определение |
интеграла |
J f(s, |
w)d%s как величины |
(4.80) не совсем удобно, |
поскольку |
о |
не дает эффективного |
оно |
способа вычисления It (f) непосредственно по процессу |= ( |s, @~s),
0 < s < t.
Можно, однако, получить так определенный интеграл как предел интегральных сумм вида
|
|
+ / , Й Ѵ . . “ ) ф |
- І , й | ] |
(4.81) |
||
(ср. с (4.21)), |
где fn(t, со) — простые функции, |
аппроксимирую |
||||
щие f(t, со) в том смысле, что |
|
|
|
|
||
т |
|
|
|
|
|
|
J (I a(t, |
ю) Иf{t, a) — fn(t, ю)| + |
|
|
|
|
|
О |
+ №(t, и))I /( t, (о) ~ fn (t, w) р) dt —> 0, |
п -> оо. |
(4.82) |
|||
|
||||||
Для |
справедливости (4.82) достаточно, например, |
потребо |
||||
вать, чтобы |
|
oo J |
|
|
|
|
|
Р j J |
f2(f, <а)( I a (t, co)| + 62(*, © ))Л < |
= l. |
|
(4.83) |
|
Если |
условие (4.83) не выполнено, то возьмем простые |
|||||
функции |
fW(tt о) такие, что при каждом N — 1, |
2, ... |
|
|||
т |
|
|
|
|
|
|
J [fw V. ©) - |
fW (t, (О)]2 ( I a (t, со) I + ЬЦі, ш)) di -і> |
о, |
п -> оо, |
|||
§ 2] |
СТОХАСТИЧЕСКИЕ |
ИНТЕГРАЛЫ. ПРОЦЕССЫ |
ИТО |
129 |
||
где |
|
|
\f{t, «d)|<JV , |
|
||
|
( |
f{t, ®). |
|
|||
|
Г ( і , *)■■ I |
О, |
\f(t, |
со) I > |
|
|
Тогда из последовательности |
а) (п, |
N = 1, |
. . . ) |
можно вы |
||
брать подпоследовательность f n{t, со), аппроксимирующую f(t, со) таким образом, что
т |
|
|
|
|
оJ |
I f(t, со) — |
ю) II a(t, |
со) I ât “1 |
|
|
+ Jт[f(t, |
(£>) — fn(t, |
со)]2 b2(t, (ü)dt —>0, п —> оо. |
|
|
Доказательство существования аппроксимирующей последо |
|||
вательности |
(при условии (4.83)) и существования предела |
|||
P-lim/ г (/„) |
проводится |
так же, |
как и в случае построения |
|
П
интегралов но винеровскому процессу. Интегралы /Д/),
г
определяемые как J f(s, ®)%{s<*}dgs, образуют, как и в случае
о
интегрирования по винеровскому процессу, непрерывный слу
чайный |
процесс (Р-п. н.). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
12. |
Важным частным случаем процессов Ито являются про |
|||||||||||
цессы диффузионного типа. |
|
Ито | = |
(%и |
t), |
0 ^ |
t ^ Т, |
|||||||
|
О п р е д е л е н и е |
7. |
Процесс |
||||||||||
называется |
процессом |
диффузионного |
типа (по |
отношению |
|||||||||
к винеровскому процессу W = (Wt, £Гt), |
|
|
|
если |
функ |
||||||||
ционалы a(s, со) и b{s, со), входящие в (4.78), являются £Г|-из- |
|||||||||||||
меримыми для |
почти всех s, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
на |
Обозначим |
(Ст, $ т) |
измеримое |
пространство |
непрерывных |
||||||||
[0, |
Т\ |
функций |
x — (xt), |
Q ^ t ^ T , |
с |
а-алгеброй |
— |
||||||
= |
er{х: xt, tk^T). Пусть $t — a{x: |
xs, s ^ . t ) |
и 3$\o,t\ — наимень |
||||||||||
шая cr-алгебра |
множеств на |
[0, |
Т], содержащая |
все борелев- |
|||||||||
ские подмножества отрезка [0, /].
Приводимая далее лемма 4.9 показывает, что если | является процессом диффузионного типа с коэффициентами
a(s, со) и b(s, со), то |
найдутся измеримые по паре переменных |
|||||||
(s, х) функционалы |
/l(s, х) и B(s, х), |
являющиеся |
^ +-изме- |
|||||
римыми при |
каждом |
s, |
такие, |
что |
Р-п. н. |
для |
почти всех |
|
0 < s < r |
|
|
|
|
|
|
|
|
A (s, |
g (со)) = |
a (s, |
со), |
В (s, |
g(со)) = |
b (s, со). |
||
б Р. ш. Липцер, А. Н. Ширяев
