Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

130

С Т О Х А С Т И Ч Е С К И Е

И Н Т Е Г Р А Л Ы

[ГЛ . 4

Отсюда следует,

что

для

процессов диффузионного типа на­

ряду с равенствами (Р-п. н.

для

каждого О г^Н ^Т )

t

t

It =

Іо +

j a(s, со) ds + J b (s, со) dWs

справедливы также (Р-п. н.

для

каждого О ^ Д ^ Г )

равенства

t

t

lt = l о + J A(s,

Qds +

j B{s,

QdWs,

о

0

где (измеримые)

функционалы

Л(«,

х)

и

B(s,

х)

являются

^-измеримыми

для каждого $,

O ^ s ^ T ,

$ т+— $ т.

Л е м м а

4.9.

Пусть £ = (£*),

полном

— непрерывный слу­

чайный процесс, определенный на

вероятностном про­

странстве (Q,

Р). Пусть, далее,

измеримый процесс £ = (£f),

O ^ t ^ i T ,

согласован с семейством

а-алгебр

=

|).

Тогда существует измеримый

функционал ср = ср(^, л:), опре­

деленный на ([0,

Т] X Сг, % п Х ^ г ) і

который $ {+-измерим при

каждом

и такой, что

X X Р {{t, со): It (со) ф Ф (t, £ (со))) = 0,

где X— лебеговская мера

на

[0, Г],

а Х Х Р — прямое произве­

дение мер

Х и Р.

0 ^ t ^ Т,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Поскольку

процесс £ =

(£,),

измерим и f^-согласован,

то (см. гл.

1,

§

2) у него существует

для каждого 0

функция £<Ла(со), рассматриваемая как

функция от (t, со), где

с о е й , является

измеримой

относительно XX P-пополнения ст-алгебры 35l0, ui X

Поэтому

для каждого 0 < ц < Г

на ([0, Г] X Сг,

% , и \ Х $ и ) существует

измеримый функционал ср„(^, х), такой, что

ЯХР{(^, со): £*д„(ю) ф <pu(t,

g(со))} = 0.

Пусть uk,n — -^T’ k,

k = l , 2, . . 2 " ,

n =

1, 2, . . .

Положим

фИ( t - х) “ Ъ (0' х> *»><*>+1, Ч .. " ■

ѵ.-„.. ■ „] «

Функционалы

<p(rt) (/, х) измеримы

по (t, х) при каждом п,

и, следовательно,

функционал ср(/, х)

также измерим. Из кон-

(Заметим, что при

каждом

s

величины B(s, |) и B(s,

|)

являются

+-измеримыми и существование стохастических

ин-

t

t

тегралов

j ß(s, %)dWs, J B{s,

l ) d W s вытекает из предшествую-

fl

о

что процесс Wt = {Wt,

t+),

щего неравенства и

того факта,

как и W = (Wt, £Tt), является также винеровским.)

Пусть теперь g =

(g(t, х), $ t+),

0

Т, — неупреждающий

функционал с

/ т

=

Р ( j l g ( f ,

1)1 d t<

\0

т

т

J g(*.

l)dt,

J g(t, l)dt.

0

о

Поскольку они являются

и ^|-измеримыми соответственно,

то найдутся ^-измеримые

функционалы ф(л:) и ф(х)

такие,

что Р-п. н.

т

т

Ф(І) =

/ g(t> l)dt,

Ф(І) = J g(t, l)dt.

о

0

Эти равенства

могут

задавать функционалы ф(х)

и ф(х)

не единственным образом.

Поэтому, вообще говоря,

Р(Ф(І) Ф Ф(І)} >

0,

Р{ф(|) -т^'ф(|)}> 0.

Рассмотрим теперь стохастические

интегралы

г

т

о

j f ( t ,

1)4/,

о

для существования которых

потребуем,

чтобы

и [Xg-почти

наверное *)

т

j l\f(t, х ) \(\A{t, х)\ + \ Ä(t,

*)|) +

о

+ f2(t, x)(B2(t,

x) + B2(t,

x))]dt< оо.

5 2]

СТОХАСТИЧЕСКИЕ

ИНТЕГРАЛЫ.

ПРОЦЕССЫ ИТО

133

Стохастические

интегралы

т

т

о

о

являются

и ^~|-измеримыми соответственно. Поэтому най­

дутся

^-измеримые

функционалы

Ф(л:) и

Ф(х)

такие, что

Р-п. н.

Т

т

Ф( ! ) = { W, ■!)<&, ф(1) = Jf(/,

1)4/.

о

о

Для функционалов Ф(х)

и Ф(х) также не обязательно спра­

ведливы Р-п. н.

следующие равенства: Ф (|) = Ф (|), Ф (|) = Ф (|).

В

самом

деле,

пусть f{t,x) = xt, lt = Wt, lt = 2Wt. Тогда

tГ Wt dWt

W T

T

(2Wt) d (2Wt) =

■(2Ulr)

- 2T.

T '

*)

o

"

о

Следовательно,

T

и

T ’

Р (Ф (І)> Ф (І))= 1 .

Заметим,

что

в

рассмотренном

примере

меры

и Ц|

равенство

(Р-п. н.)

функционалов

Ф (|) и Ф(|), Ф (|)

и Ф(£),

а также

функционалов

ф (|) и ф(|),

ф(£) и ф(£)

определяется

свойствами

абсолютной

непрерывности мер

и Ц|.

Л е м м а

4.10.

1)

Если

мера

абсолютно непрерывна от­

носительно

меры

Ц|

(р,£ <

Ц|),

то

ф (|) =

ф(£),

Ф(£) = Ф (|)

(Р-п. н.).

2) Если

Ц| <

то ф (І) = ф (I),

Ф (I) =

Ф (І) (Р-п. н.).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Установим

справедливость

равенства

Ф(І)==ФШ-

Пусть gei =

(gn(t, х), &t+), 0

7\ / 2 = 1 , 2 , . . . , —

последовательность (простых) функционалов таких, что

П-*OOd

gn(t, i)dt-

J g (t, I)

dt,

Р- lim

f