Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

ФОРМУЛА (ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННЫХ) ИТО

135

Р -lim { fn (t,

g) dl t = \ f (t, g) d l = Ф (g),

" 0

0

P-Iini JT fn (t,

I) d l = TJ f (t, l) d\t = ф(I).

" о

о

функций и равенства

Р {| <= Г} =

Р {| <= Г},

Г е

J r ,

г

> е

==

lim Р

Ф (і)-

l) d l

П

= limP

ф (І)-

J

fn(t,

1)4,

> е :0.

Тогда

П

о

т

Р { | Ф ( І ) - Ф ( ! ) І > е } < Р

Ф(Ю-

l)dl

> е/2

+

т

О

+ Р

Ф(Ю — J fn(t, I) d l

> е/2

1 ->0,

п-+ оо.

§ 3. Формула (замены переменных) Ито

1.

Пусть g =

(g„

ZT/),

— случайный процесс,

имею­

щий стохастический

дифференциал

d l = а (t, ®)dt + b(t,

w) dWt,

(4.84)

где

W — {W„

STt) — винеровский

процесс,

а неупреждающие

функции a(t,

со),

b(t,

а») таковы,

что

j

1,

т

Рj J

I a(t,

со) I dt <

(4.85)

Р

о

оо \ =

т

j J

b2(t,

со) dt <

оо j =

1.

(4.86)

ІЗ б

СТОХАСТИЧЕСКИЕ

ИНТЕГРАЛЫ

[ГЛ. 4

f — f(t,x) — измеримая

Пусть теперь

функция,

определен­

ная на

[О, Т] X

R1- Приводимая

ниже

теорема

дает условия,

при которых случайный процесс f(t, g,)

также

допускает сто­

хастический

дифференциал.

f(t,

х)

непрерывна

и

имеет

Т е о р е м а 4.4. Пусть функция

непрерывные

производные

х),

f'x{t,

х) и

f"x{t,

х).

Предпо­

ложим,

что

случайный

процесс

g =

(g„

,),

O

^ t ^ T ,

имеет

стохастический дифференциал (4.84).

диф­

Тогда процесс f(t, g,) также имеет стохастический

ференциал и

df(t,

Ъ) + ГЛ*> h)a(t,

*) + \ r xx{U l t)bP(t, сü)jÄ +

+ f'x(t>

h)b(t,

a)dWr

(4.87)

Формула (4.87), полученная К. Ито, далее будет называться

формулой (замены переменных) Ито.

всего,

что

для до­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Покажем

прежде

пусть an{s,

со),

bn(s, со),

п =

1, 2......... — последовательности

простых функций такие,

что с вероятностью 1

т

I a(s,

со) — an(s,

со)

0,

п-> оо,

о

JJт[b(s,

со) — bn{s,

со)]2ds —►0,

п -* оо

о

(см. лемму

4.5

и замечание 3

к ней).

Согласно замечанию 4

выбрана так, что равномерно

по t ^ . T

с вероятностью

1

t

t

о

bn(s, <£>)dWs ->

b(s,

a>)dWs.

0

Тогда

последовательность

процессов

J

t

J

t

g? =

g0+ J an(s, w )ds+

j

bn(s, со)dWs

о

0

с вероятностью 1

равномерно

no

t,

0 <

t < T, сходится

к про­

цессу I,.

§ 3]

ФОРМУЛА (ЗАМЕНЫ

ПЕРЕМЕННЫХ) ИТО

1 3 7

Предположим теперь,

что

формула

(4.87)

установлена для

процессов

l {tn). Иначе говоря, пусть для

0 ^ s ^

Т Р-п. н.

fl?.

^о)+

щ и

ѵ п + г л и т « л и

® )+

+ Т % Л и W W U

0»)]dt + j r x (U lf) b a(U о>)dWf .

(4.88)

Тогда, поскольку

sup

| l(rt>— g, I —> 0, п-> оо,

с вероятностью 1,

а функции /,

0</<71'

1

f"x непрерывны, совершая в (4.88) предель­

ный переход, получим, что

f(s, У =

/(0 , у +

J

Щ и h) + rx(U h)a(U *) +

о

s

+ т fZc (U

It) b2(U 0))] dt + I rx {U lt) ь(t, со)dWt .

(4.89)

I Стохастические интегралы

J

f'x (t, g(tn)) bn(t, со) dWt-+ J f'x (t, g,) X

\

n->oo

o

o

из

предшествую­

y,b(t, со)dWt при

в силу

замечания 4

щего параграфа.]

Итак,

достаточно

доказать

формулу (4.89),

предполагая,

что функции a(t,

со)

и b{t,

со)

являются

простыми. При

этом

рассмотреть лишь такие

0, для

которых

l, = to + a t + bWt,

(4.90)

где а = а(со),

b = Ь(со) — некоторые

случайные

величины (не

зависящие от t).

t ^ . t 0, и пусть

Пусть представление (4.90) выполнено для

для простоты

g0 — 0. Тогда,

очевидно, найдется такая функция

ции и = u(t,

W,),

t ^ t 0.

Положим

/ =

[2nt], bW = Wk'2_n- W {k_ i)'2_n, Ь = J r . л = 1,

2, . ... Тогда

по формуле Тейлора после ряда преобразований.

138

С Т О Х А С Т И Ч Е С К И Е

И Н Т Е Г Р А Л Ы

[ГЛ . 4

найдем,

что

u(t, Wt) — u{0,

0) =

-

У

[а {к- 2 - \ Г А,_ „) - u ( { k -

1) • 2~п, Wk'2- n)\

+

k<i

k< I

--

1)‘ 2

>^ft.2-«)

u({k — l) - 2

>^(fe_l).2-«)] +

+

[n(f,

W i ) - u ( t -

2~n, r

;.2-„)] =

=

S

K ( ( Ä - D ' 2 " 1, r ft.2_„) A + K

( ( ( Ä - D +Ѳ*) • 2 - rt, r

fe.2_ „ ) -

й</

-И [ ((* -1 ) • 2-". w

,

A ] + S [ < ( ( * - 0 • 2 -“, «

V

,

A,r +

fe<;

+

T

( ( * - ! > • 2 -“, V ».,,.,-») (A*T +

+

у W

K «

((*— !)• 2 -“. IT ,,.,,,-» + ѳ[ ДГ) -

- <

, ( ( *

- D

- Z - “ ,

« Ѵ „ . г-

. )

) ] +

6 » .

(4.91)

где

0fe,

0 '— случайные

величины

такие,

что O ^ 0 fe< n ,

< 0 ' <

1, а lim ört (со) = 0

(Р-п. н.).

П

Заметим теперь, что случайные величины

„„ =

s^|«;(((* - i ) + e,).

2 - ,

w

-■»;(<*- о - 2“”, « ѵ г_„)|

И

f t , - f “P,I< ( ( * — •)■ 2 - ,

+ ѳ; а г ) -

- < ( ( * - ! ) ■ 2-", » V , ,.! - ) |

при п->оо стремятся к нулю с вероятностью

1 в

силу

непре­

и (/, Wt) -

и (0, 0) = 2

((Ä - 1) • 2-", r

fe.2_„) А +

+ S ( » [ ( ( * - 1 ) 2-", « Ѵ „ . г_ „)дГ +

*</

+ І с ( ( *

- D • 2“ n-

«Ѵ „.2г») А) + л . +

ß n + c „ + s,?(ö). (4-92)