Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 242
Скачиваний: 0
§ 3] |
|
|
|
ФОРМУЛА |
(ЗАМЕНЫ |
ПЕРЕМЕННЫХ) |
ИТО |
|
139 |
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л» |
|
|
|
ß n < | ß „ |
V (AWf, |
|
|
||||
|
|
С. |
I V |
н' ((Л— 1). 2-", ^ . „ . ^ ( ( Д И ^ - А ) . |
|
||||||||||
|
|
2 - J |
|
||||||||||||
|
|
|
|
*</ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ясно, |
что |
с |
вероятностью |
I Л„->0. |
Точно |
так же и ß„->0, |
|||||||||
поскольку |
с |
вероятностью |
1 2 |
(AW f - ^ t |
(лемма 4.3). Пока- |
||||||||||
жем, что С„—> 0 |
(по |
|
|
k<i |
п —> оо. |
|
|
|
|||||||
вероятности) при |
|
|
|
||||||||||||
Пусть |
— Хі max I ((7 |
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|||||||
м |
|
|
|
|
|
|
|
1Т(1_ ||Л_ в) х»((ДГ)»-.Д)1! < |
|
||||||
|
< |
|
sup |
\u"x (t, |
х)\2 2 |
М((АГ)2 — А)2 = |
|
|
|||||||
|
|
t < t a. Н |
к |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
sup |
|
\u" |
(/, x)\2 2 |
(A)2-»0, |
n-+oo. |
(4.93) |
||||
|
|
|
|
K f0, U K a ' |
|
1*</ |
|
|
|
|
|
||||
Далее, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
p { Д |
|
- |
1} • 2~n’ « V |
.,.2-«) (1 - |
xl)((bwy- - |
A) ^ |
0 } < |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
< P {sup I Wt \ > |
N] -> 0, |
N->■ oo. |
(4.94) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f < f, |
|
|
|
|
|
|
Из (4.93) |
и (4.94) |
следует, |
что |
P-limC„ = |
0. |
Переходя теперь |
|||||||||
в (4.92) к |
пределу |
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
||||
при п-> оо, получаем, что Р-п. н. при всех t, |
|||||||||||||||
0 < |
t < |
t0, |
|
|
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
и (0, 0) ±= J |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и (/, |
Wt) - |
«; (s, |
r s) ds + J |
u'x (s, |
Wa) dWs + |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
u"xx(s, |
Ws)ds. |
(4.95) |
||
Чтобы |
перейти |
от |
функции |
u(t, |
Wt) к |
функции |
f(t, |Д |
||||||||
вспомним, |
что u(t, |
Wt)= f(t, at-i-bWt). Поэтому |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
«И5’ |
W s) = |
K i s> h ) + a fx (s> |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
w s)=bf'x (S, y , |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
« « (* |
Ws) - b X x{s, y . |
|
|
|
|
|
140 |
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ |
[ГЛ. 4 |
|
|
Подставляя эти значения в (4.95), |
получаем |
требуемый ре |
|
зультат: |
|
|
|
|
t |
|
|
f{t, |
= 0, 0 )+ J «(*■ y + “№ |
w + y ^ ," |
(*- W *> + |
|
о |
|
|
З а м е ч а н и е . |
Формула Ито |
(4.87) сохраняет свою |
силу |
с заменой t на марковский момент т = т(со) (относительно |
Д |
||
t^O ), если только |
Р ( т < о о ) = 1 |
и |
|
Р f J I a{s, со) \ds < |
с» j == 1, |
'0 |
■' |
p f [ b2(s, со) ds < °о j — 1. '6
2.Приведем теперь многомерный вариант формулы Ито.
Пусть |
£ = (£„ SF,), t ^ . T , — векторный |
случайный |
процесс |
|||||
|, = |
( |і(0> |
Èm(0). |
имеющий |
стохастический |
дифференциал |
|||
|
|
|
dl, = |
a[t, (*)dt + b{t, <a)dW„ |
|
(4.97) |
||
где |
W = {Wt, @~t), |
0, — (векторный) винеровский процесс *)_ |
||||||
Wt = (Wt{t), . . . , |
Wm(t)). Вектор |
a(t, w) = (al (t, |
со), . . . , |
am(t, со)) |
||||
и матрица |
b(t, |
со) = || bit{t, со))|, |
i, j — 1, ... , |
m, |
состоят из не. |
|||
упреждающих функций, удовлетворяющих |
условиям |
|
В развернутом |
виде |
(4.97) записывается |
следующим |
об |
||||
разом: |
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
äh (t) = at (t, со) dt + |
S b„ (t, со) dW, (t), |
i = |
1, |
. . . , m. |
|
|||
Т е о р е м а 4.5. |
Пусть функция |
f(t, |
xu |
. . . , |
xm) |
непрерывна |
||
и имеет непрерывные производные |
f', |
f' , |
f" . |
Тогда с вероят- |
||||
|
|
|
|
І |
і / |
|
|
|
*) То есть векторный процесс, компоненты |
которого — независимые |
вк |
||||||
неровские процессы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 3] ФОРМУЛА (ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННЫХ) ИТО 141
ностью 1 процесс f(t, £,(/), .... |
\m(t)) имеет стохастический диф |
||||||
ференциал |
|
|
|
|
|
|
|
df(i, 6,(0. . . .Ь»(0)= |
|
|
|
|
|
|
|
r,(t. 1,(0 .........U O ) |
+ I X |
( 0 |
M ') ...........(О)«,«, |
»> + |
|
||
|
|
*= |
1 |
« о ѵ * . ®) dt + |
|||
|
|
|
(0 ) У |
||||
|
|
|
k=i |
|
|
|
|
+ Уі |
rx\t, |
U t), |
. . . , |
l m(t))btl(t, |
ü))dWj (t). |
(4.98) |
|
(, /=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство |
этой |
теоремы |
проводится |
так |
же, |
как и |
вслучае m — 1.
3.Рассмотрим ряд примеров на применение формулы Ито
(4.98).
П р и м е р |
1. |
Пусть Xl = { x i {t), ЗГt), г = 1, 2 ,— два случай |
ных процесса |
с |
дифференциалами |
dXi (/) = at (t, со)dt + bi (t, со)dWt.
Предполагается, |
что |
x, (t) = (xu (t), |
. . . , |
x ln(t)), |
x2{t) = |
|||||||
= (x2l(t), |
x2m{t)\ - |
вектор-функции a{(f) = |
{an (/), . . . , |
aln{t)), |
||||||||
a2(t) = (a2l{t), |
. . . . a2m(t)), |
матрицы MO = |
1^,(0!. M 0 = |
l6?/(0| |
||||||||
имеют |
соответственно |
порядок |
п X k, |
m X |
а винеровский |
|||||||
процесс |
W = {Wt, |
і) |
имеет k независимых компонент. |
|
||||||||
Рассмотрим |
матрицу |
Y {t) = |
x x(t)x\{t). |
Применяя |
формулу |
|||||||
Ито к элементам |
матрицы Y (t), |
найдем, |
что |
|
|
|
||||||
dY {t) = |
[xl {t)d‘2{t) + at(t) x2(t) + bx{t)b*2{t)\dt + |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
+ bx(t) dWtx\{t) + |
x, (t) dW\b\{f). |
(4.99) |
||||
В частности, |
если |
n = m — k — 1, |
|
|
|
|
|
|||||
d (x, (t) x2 (t)) = |
[x, (t) a2 (t) + а, (0 x2 (t) -f bi (t) b2(/)] dt + |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
+ \bi (t)x2(t) + |
X, (/) b2{t)] dWt. |
(4.100) |
||||
П р и м е р |
2. |
|
Пусть |
функция f(t, хь |
|
xm) — (x, |
B(t)x), |
|||||
где x = |
(x,, . . . , |
xm), а B(t) — матрица |
(неслучайная) |
порядка |
||||||||
m X m с дифференцируемыми элементами. Пусть X = {xt, |
t),— |
|||||||||||
процесс с дифференциалом |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
dxt = |
a(t)dt + b (t) dWt, |
|
|
|
||||
где xt = |
{xi (t), |
|
xm(t)), |
Wt = (Wi (t), |
|
|
(/)) — винеровский |
|||||
процесс. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
142 |
|
|
|
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ |
[ГЛ. 4 |
|||||
Найдем дифференциал |
процесса (xt, B(t)xt). Применяя фор |
|||||||||
мулу (4.98) к yt = B{t)xt, |
находим |
|
|
|||||||
|
|
|
dyt = [ß (t) X, + |
ß (t) а (t)j dt + B (t) b (t) dWt. |
||||||
Для |
вычисления |
дифференциала |
d(xt, B(t)xt) |
воспользуемся |
||||||
формулой (4.99), |
согласно |
которой |
|
|
||||||
d (.Kty;) = [а (0 у; + |
xtx]B' (t) + |
Xta |
(t) ß* (t) + b (t) b' (t) В (t)) dt + |
|||||||
откуда |
|
|
|
+ |
xt dW]b* (t) B' (t) + |
b (t) dWtx]B* (t), |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
d (xt, |
В (t) xt) = Sp d [xty]) = |
|
|
|
|
|||||
= |
[Sp а (^) xjß* (0 + Sp xtx\B* (t) + |
Sp xta (t) ß* (t) + |
||||||||
+ |
Sp b (t) b' (t) В (/)] dt -f Sp xt dW]b* (/) ß* (t) + Sp b(t) dWtx)B*(t)= |
|||||||||
= |
[(*„ ß*(0 а(0Ж */> ß (0 а (0)+(*<> ß (0 xt)+ Sp b (t) b* (t) В (/)] dt + |
|||||||||
Итак, |
|
|
+ (b'(t)B’(t)xt, dWt) + (b'(t)B(t)xt, dWt). |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
d{xt, B{t)x,) = {{xt, B{t)xt) + {xt, |
[ ß ( 0 + ß * ( 0 a ( 0 ] ) + |
|||||||||
|
|
+ |
Sp b(t)b*(t) В (t)} d t + (b*(t)[B(t) + B, {i)]x„ dWt). (4.101) |
|||||||
|
В |
частности, |
если |
xt = Wt, |
a |
B(t) — симметрическая ма |
||||
трица, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
||
d(W„ |
B(i)Wt) = [(Wt, |
В (t) Wt) + |
Sp В (t)] d t + 2 (В (t)Wt, dWt). |
1о |
0 |
|
t |
t |
|
Обозначая x,t = J a(s)rflFа dWs — -yj Jj* a2(s) ds, находим (из (4.87)), |
||
о |
0 |
|
что ^ = ехрлу имеет дифференциал |
|
|
d$t = $ta (t) dWt. |
(4.103) |
|
Точно так же |
|
|
|
|
(4.104) |
( Заметим, что P {m fj, > |
0}= 1, т. к. Р I |
J а2 (t)dt < оо |
§ 3] |
|
|
|
|
|
ФОРМУЛА |
(ЗАМЕНЫ |
ПЕРЕМЕННЫХ) |
ИТО |
|
|
143 |
||||||
П р и м е р |
4. |
Пусть |
a(t), |
b(t), |
0 |
|
Т, — неслучайные |
|||||||||||
функции |
с |
J I а (0 \ dt < |
оо, J b2(t)dt < оо. |
|
|
|
|
|||||||||||
Используя |
формулу |
Ито, находим, что |
случайный |
процесс |
||||||||||||||
|
xt— exp I |
J a (s) ds | j | + J exp |
— J a(u) du |
b (s) dWs |
||||||||||||||
имеет стохастический |
дифференциал |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
dxt = a (t) xt dt + b (t) dWt, |
x0 — |. |
|
|
|
|||||||||
4. |
Применим |
формулу |
Ито |
для |
вывода полезных |
оценок |
||||||||||||
для |
математических |
ожиданий |
М |
/ |
* |
|
|
\ 2m |
четных сте |
|||||||||
\ |
f(s, |
со)dWs \ |
||||||||||||||||
пеней |
стохастических |
интегралов. |
|
|
|
|
— винеровский |
|||||||||||
|
Л е м м а |
4.11. Пусть |
W = {Wt, &~t), 0 ^ / ^ Г , |
|||||||||||||||
процесс, |
f(t, |
со) — ограниченная |
неупреждающая |
функция, |
||||||||||||||
I f(t, со)К /С , |
0 < * < 7 \ |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
f t |
|
|
|
, 2 m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М ^ J |
f(s,a)dW sj |
^ K 2mtm(2tn— l)U. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
xf — J / (s, со)dWs. Положим |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xN = |
inf (t: sup I xs [> |
N), |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 < t |
|
|
|
|
|
|
|
|
считая |
xN = |
T, |
если sup|xs |<fV. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
По формуле |
|
s < T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ито |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
t А Тдг |
|
|
|
|
|
|
|
|
t A iff |
|
|
|
|||
^ |
tjv= 2 m |
f |
|
J r ' f ( s , » ) d W ' + m ( 2 m - \ ) |
J |
x f " 2/2 (s, со) ds. |
||||||||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
Из определения xN, предположения | / (s, |
со) | ^ К, |
0 ^ |
s T, |
||||||||||||||
и свойства |
(4.48) |
вытекает, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
Л Хдг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М j |
xlm~lf(s, |
u>)dW? = |
Q, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|