Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 243
Скачиваний: 0
144 |
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ |
[ГЛ. 4 |
|||
Поэтому |
|
*л XN |
|
|
|
|
|
|
|
||
Mx2™xn = |
m (2m — 1) M |
J |
x2sm 2f ( s , |
со) d s ^ . |
|
|
|
о |
|
|
t |
|
fAT„ |
|
|
||
< A 2m(2m — 1) M |
I |
x\m~2ds < |
K2m (2m — 1) M J x2sm~2 ds. |
||
|
|
о |
|
|
0 |
Отсюда по лемме Фату получаем
t
M*2m< K2tn (2m — 1) M I x2m—2ds.
Положим в этом неравенстве m = |
1. Тогда из1него следует, |
что Мx2^ . K 2t. Аналогично при т = |
2 получаем оценку |
^ 3K4t2. Завершается доказательство требуемой оценки по ин
дукции: предполагая, что Мх2т^ K2mtm(2m — 1)!!, из приведен ного выше неравенства легко получаем, что
Mx2im+1)^ K Um+l)tm+1(2m + 1)!!.
Лемма доказана.
Откажемся теперь от предположения ограниченности функ
ции f(t, со), |
заменив его условием J Мf m(t, a)dt< oo, т > 1. |
||
Л е м м а |
4.12. Пусть W — (Wt, |
t), 0 ^ t ^ |
Т, — винерэвский |
процесс, f(t, |
со) — неупреждающая функция с |
|
|
|
Щ2т(і, cd) dt < оо. |
|
|
Тогда |
|
|
|
I! тТ |
\ 2 m |
t |
|
М ( { f(s, a)dWs j |
— 1 )}m f n~l f |
M/2m(s, <ü)ds. |
|
'o |
J |
о |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пользуясь обозначениями предыдущей леммы, находим, что
§ 3] ФОРМУЛА (ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННЫХ) ИТО 145
Из |
этой |
формулы следует, что Мх2тАХ |
— неубывающая Функ |
ция |
от |
ам |
|
t. Применение неравенства |
Гёльдера с р — т, q = |
||
=ml(m — 1) дает оценку thXN
МI %2™-2/2(s, ©)ö!s <
о
т —1 I
|
/ |
tAXN |
\ ~ |
I |
tA%N |
f2m(s, (o)äsj |
|
|
< М |
J |
x2md s \ |
(м |
J |
= |
|
|
t |
д т |
т - 1 |
tf\x |
|
1 |
|
|
|
|
|
т |
|||
= |
М |
Х*ДтМ У |
М |
I |
f2m(s, a)dsj |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
т—1 |
|
|
|
|
< |
( М J х 2™ т |
d s j |
j М J p m ( s , |
(o)ds j < |
|
||
Поэтому
Mx2™T < m { 2 m —
N
m-1 |
m—I [ I |
1 |
ЛТйГ |
||
t m |
{Mx2mAx j m |
J f2m(s,a )d s\ . |
m—1 |
m—1 . |
t |
, |
|
(Ш]тАХ )— |
(M J f2m(s, |
e>)ds |
|
|
0 |
|
Поскольку Мус2™ < oo, то это неравенство эквивалентно сле-
N
дующему:
m—I |
I |
т |
|
Мл:2™Т ) т ^ . т (2 т — 1 )t т [М J f2m(s, со) öfs J , |
|
или |
|
Mх )1 х < [ т ( 2 т - 1 ) Г Г _ІМ |
f f m(s, a>)ds. |
N |
J |
Применяя теперь лемму Фату, получаем требуемое неравен' ство. Лемма доказана.
116 |
|
|
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ |
[ГЛ. 4 |
||||
|
|
|
§ 4. Сильные и слабые решения |
|
||||
|
стохастических дифференциальных уравнений |
|
||||||
1. |
Пусть (Q, HF, Р) — некоторое вероятностное пространство, |
|||||||
Т = \ |
(для |
простоты), |
|
1, — неубывающее семейство |
||||
o-подалгебр |
|
и W = {Wt,9~t), |
t < 1, — винеровский процесс. |
|||||
Обозначим |
(С1; &t) измеримое |
пространство |
непрерывных |
на |
||||
[О, 1] функций x = (xt, 0 < / < 1) с а-алгеброй |
= о(х: xs, |
1). |
||||||
Положим также $ t = o{x: xs, s ^ t ) . |
неупреждающие (т. e. |
|||||||
Пусть a(t, |
x) и b(t, x) — измеримые |
|||||||
^-измеримые |
при каждом /, |
0 ^ / ^ 1 ) |
функционалы. |
|
||||
О п р е д е л е н и е 8. Будем |
говорить, |
что (Р-п. н. непрерыв |
||||||
ный) |
случайный процесс £ = (£г), |
|
есть сильное решение |
|||||
(или просто решение) стохастического дифференциального уравнения
d\t = a(t,l)dt + b{t,l)dWt |
(4.105) |
с ^-измеримым начальным условием £о = 1Ъ если ПРИ каждом t,
0 < / ^ 1 , величины l t |
являются ^-измеримыми, |
|
||||||
Р ( I |
I a{t, |
I ) \di < |
оо 'j = |
1, |
(4.106) |
|||
|
\ о |
|
|
|
|
' |
|
|
Р |
[ |
[ b2{t, l)dt < |
оо ) = |
1 |
(4.107) |
|||
|
\ о |
|
|
|
/ |
|
|
|
и с вероятностью 1 |
для |
каждого /, |
0 |
^ / ^ |
1, |
|
||
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|
It = 4 |
+ |
J |
a(s, |
l)ds + |
J |
b{s, l)dWs. |
(4.108) |
|
|
|
о |
|
|
0 |
|
|
|
Введем теперь понятие слабого решения стохастического дифференциального уравнения (4.105).
О п р е д е л е н и е 9. Говорят, что стохастическое дифферен циальное уравнение (4.105) с начальным условием ц, имеющим
заданную |
функцию распределения |
F (х), обладает |
слабым |
ре |
|||
шением |
(или решением в слабом смысле), если найдутся: веро |
||||||
ятностное |
пространство |
(Q, FF, Р), |
неубывающее |
семейство |
|||
0 -подалгебр |
[STt), /< П , |
непрерывный случайный процесс £ = |
|||||
— (£*. |
t) |
и |
винеровский |
процесс |
W = {Wt, ёГ,) |
такие, |
что |
выполнены условия (4.106), (4.107), (4.108) и Р{со: l0^.x} = F (х).
Отметим, в чем основная разница между понятиями силь ных и слабых решений, предполагая для простоты т] = 0.
Когда говорится о решении в сильном смысле, то подразу мевается, что уже заданы некоторое вероятностное простран
ство (о, ёГ, Р), система |
(,9",), |
/ < П , и |
винеровский |
процесс |
W —-{Wt,(Ft). Если при |
этом |
STt =STY, |
то искомый |
процесс |
§ 41 |
СИЛЬНЫЕ И СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ |
147 |
|
таков, что при каждом t величины |
|
£ = (^), f ^ l , |
являются |
<гГ-измеримыми (т. е. определяется по «прошлым» значе ниям винеровского процесса). Таким образом, для сильнаго решения
ѳ-\<=тТ, 0 < * < 1 .
Когда же речь идет о слабом решении уравнения (4.105) с заданными неупреждающими функционалами a(t, х) и b(t, х), то предполагается, что должны найтись вероятностное про
странство (Q, £Г, Р), система (&~,), |
^ |
1, процесс | = |
(1/, &~t) |
и винеровский процесс W — (Wt, 3~\), |
для которых |
(4.108) |
|
выполнено Р-п. н. Во многих случаях, где слабое решение
существует, |
= |
и, |
следовательно, процесс W = {Wt, &~\) |
||||
является винеровским по отношению к системе сг-подалгебр |
), |
||||||
f ^ l . |
Поэтому |
в случае |
слабых |
решений |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < / < 1 . |
|
|
Из определения 9 следует, что слабое решение — это, в сущ |
|||||||
ности, |
совокупность |
объектов |
s4 = (Q, $F, |
,, Р, Wt, |,), |
где |
||
для краткости |
процесс |
| = (|г), |
0 ^ /^ С 1 , |
также будет |
назы |
||
ваться |
слабым |
решением. |
говорить, |
что стохастическое |
|||
О п р е д е л е н и е |
10. |
Будем |
|||||
дифференциальное уравнение (4.105) имеет единственное реше ние в слабом смысле, если для любых его двух решений s&—
= (□, Т , Т t, Р, |
W„ |
It) |
и |
.s£ = (Q, |
§Гt, Р, Wt, It) совпадают |
|
распределения |
процессов |
£ = (£,) |
и | |
= (§,), O ^ f s ^ l, т. е. |
||
где |
|
ң (Л ) = Д| (-4), |
|
Л е І , |
||
|
|
|
|
|
|
|
Р5(Л) = Р{ш: |
|
|
Д| (Л) = P {б: § <= А). |
|||
О п р е д е л е н и е |
11. |
Говорят, |
что стохастическое дифферен |
|||
циальное уравнение (4.105) имеет единственное сильное решение,
если для любых его двух |
сильных решений | = (|(, |
t) и | = |
|
= (Іь $~t), 0 < / < 1 , |
|
|
|
Р{ |
sup |
U , - I j > 0 } = 0. |
(4.109) |
0 |
< f < |
l |
|
В пп. 2—6 настоящего параграфа будут приведены основ ные теоремы существования и единственности сильных решений стохастических дифференциальных уравнений (4.105). Вопросы, связанные со слабыми решениями, рассматриваются в п. 7.
2. Простейшие условия, гарантирующие существование и единственность сильных решений уравнения (4.105), содержатся в следующей теореме.
