Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

148

с т о х а с т и ч е с к и е и н т е г р а л ы

[ГЛ. 4

Т е о р е м а

4.6. Пусть неупреждающие функционалы a(t, х),

b(t,

х),

t е

[0,

1], x e C j ,

удовлетворяют условию Липшица

I a{t, х) — а {t, у) I2 + 1b (f, х) — b {t, у) |2 <

t

< L S^ \ x s - y

s fdK(s) +

L2\ x t -

y

t \2

(4.110)

и

о

t

а2(/, X) +

ь2(/, X) <

Lx

(1 +

4 ) ^ ( s )

+

L2{\ +

X2),

(4.111)

о

где

Lu

L2— константы,

K(s) — неубывающая

непрерывная

справа функция,

0 ^ / ( ( s )J^ l , х, г /е

случайная

величина,

Пусть

rj = гі(со) — 2Г0-измеримая

Р ( I Л (ю ) I < ° ° ) = 1 •

Тогда:

1)

уравнение

dxt — a(t,x)dt-\-b(t,x)dW l,

х0 = гі,

(4.112)

имеет,

и

притом

единственное,

сильное

решение

g =

(g„ ZTt),

1;

оо, щ ^ 1, то существует такая константа cmr

2) если Mifm <

что

M^m< ( l

+

Mr)2m) é V

- l .

(4.113)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Начнем с доказательства

единствен­

ности. Если g = Ц[,

3F,) и І —(І„ ^ ,) — два непрерывных (Р-п. н.)

сильных решения

с

=

т],

| 0 =

г],

то

t

t

l t - l , ^ \ [ a { s ,

l ) - a ( s ,

I)]

+

j > ( s ,

% )-b(s,

i)]dWs.

о

0

Обозначим xf = X |SUp ^ 2+| ^ <7V|.

Тогда,

поскольку

xf = xf • X.

ДЛЯ

S,

TO

'/ *

f

( a

V

f x

(È)s -, a(s,I))dsj +

Из

определения + (jx"[&(s>£)-&(*, I)]

dWs

(4.114)

%t

следует,

что величины

X? ß - і ] 2>

%?[а (t,

l) -

а (і, Ш ,

X? [Ь (t, I) -

Ь (t,

f)]2

§ 4]

СИЛЬНЫЕ И СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ

149

« 2

I

Mx? I ( Е . - у Ы Х М Л + і,

о

<

l

o

o

’

< 2| і і I м* ."/х Ж ~ У !« М ^ + /Д

МхД І ,-у м Л <

< 2

ji, / I

М X? ( 1 , - 1 / < «(«)* + £ , /

M x ?G ,- I,T *}.

l o

o

о

>

(4.115)

Для

последующих рассуждений нужна

Л е м м а

4.13. Пусть с0, с,, с2— неотрицательные константы,

u(t) неотрицательная ограниченная,

а ѵ(і) — неотрицательная

интегрируемая

функции,

такие, что

u ( t ) ^ c 0-\- cl J

v{s)u(s)ds + с2 J o(s)

J

«(s,)0?/C(s,) ds,

(4.116)

где K{s) — неубывающая

непрерывная

справа

функция, 0

< /C (s )< 1.

Тогда

и (t) ^ с0exp I(с, ф- с2) j

V(s) ds | .

(4.117)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Подставим

в

правую

часть

(4.116)

вместо

функции u(s) ее мажоранту, определяемую правой же

П

+ с2);

Ы(0 < ^0

J t y d s j

+qpn{t),

(4.118)

—

і—0

где ф „ ( / ) - * 0 , п —> о о ,

в силу

ограниченности функции u( t ) .

Переходя в (4.118) к пределу по п-*оо,

получаем

требуемую

оценку (4.117).

150

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ

[ГЛ. 4

Применим

эту лемму к неравенству (4.115),

полагая с0 = 0,

с, =

2L,,

с2 =

2L2,

v{t)^= 1 и и {t) —

[I; — і,]2-

Тогда найдем,

что

для

всех

t, O

s ^ ^ l ,

Но вероятность Р{ sup

( |2 +

І2) >

N\ —►0, N -+ оо, в силу

не-

l0<s<l 4

J

]

прерывности процессов

£

и I.

Поэтому для любого t,

1,

Р

{ І

І / —

І<1>0) = 0,

Р{ sup

II, — I, |> 0} = P{sup| £, — |,|> 0 } ,

0<(<1

(es

t

t

If) =

т| +

j

a (s, £<«-») d s + j b (s, l«"-») ДГ5.

(4.119)

о

0

Покажем, что

M (£(re))2 ^

e?, где константа

d не зависит ни

от п, ни от t

1.

Действительно, в силу условия (4.111)

М (i^ +,))2 < 3 j Mrf +

( М [а2(s, £<»>) + b2(s, |<я>)] ds J<

<

ЗМг)2 + 3L, j

t

j s

[1 +

M (If))2] dK (s,) ds + 3L2 Jt

[1 + M ($*)*] d s <

0

0

Js

о

3L2 Jt

<

3 (M rf+ Lj +

L2) + 31, Jt

M (£<«>)2 dK (Sj) ds +

M (£<“>)2 ds.

0

0

0

§ 'll

СИЛЬНЫЕ И СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ

15 ]

Отсюда, учитывая, что

М ( |f ) 2 =

Мт]2 < оо,

по индукции

полу­

чаем

оценку

М ( l f +1))2 <

3 (L +

Мл2)

<

3 (L +

Мл2) e3L

(4.120)

с L =

Ll -\-L2- Иначе говоря, можно

взять

d — 3 (L -f- Мл2) e3L.

В силу (4.119) и условия

Липшица (4.110)

t

М [If+1>-

I f f

<

2 J М [(a(s, |<">) -

a (s,

+

0

+ (ö(s, £<»>)-6 (s, £<»-i>)2)]d s <

< 2

fL, J*Js M

(|<f -

If"» )2 d K (s,) ds +

L 2 J*M (|f> -

|f-'> )2 ds I .

l - o o

0

>

Поскольку

M

sup

fl*/) — | f l 2< c ,

где

c — некоторая

кон-

станта,

то

0<<<11

1

(L = L , + L 2)

М [If -

I f f <

2Let,

М [I f -

I f f

<

t

S

< 2 L c

2Lt

2

I

s ds [ ^

о

о

t

< 2 L c \2Ll

s ds \ *Cc (2Lt)2

И вообще,

M [|f+I) — | f f <

t

S

J

<

c(2L)n- ‘

J

j

s n - i d K ( s ^ ds + 2 L 2

( n - 1)1

о

0

t

t

c (2Lt)2

^ ^ T j T

2L, J s ^

K {s)ds + 2L2 \

s - ' d s

(4.120')

nl

( n -

1)!

Далее,

l

o sup

J

| f +I) — I f

I <

j

I a(s,

| w) — a{s, l {n- l)) |rfs +

t

+

sup

J

[6 (5 , l ^ ) - b ( s ,

| <rt_1))] d W s \.

0<*<1