Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 250
Скачиваний: 0
§ і] |
|
|
СИЛЬНЫЕ И СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ |
|
153 |
||||
В силу условия Липшица (4.110) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
t |
S |
|
|
|
|
J |
[a(s,lin)) — a{s,l)]ds |
< L , J |
J |
Jtu— | („n>\2dK(u) ds + |
|
||||
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
M |
Г I g, - |
&<?>[2 ds < |
L sup |
I |
p. |
(4.123) |
|
|
|
|
J |
1 |
|
|
11 |
1 |
|
|
Точно так |
же |
согласно (4.60) |
и (4.110) |
для |
любых б > 0 и |
|||
е > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
J [Ms, l w) ~ b { s , l)]dWs |
|
|
|
|
|
|||
t s t
M J |
J |
\ l u- l f \ d K { u ) d s + L2 J | £ s - ^ |
)|2r f s > e k |
||||
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
> |
|
|
< - ^ |
+ P{L |
sup |gs - g w p > 6 } . |
(4.124) |
||
|
|
|
|
0 ^ s^ I |
|
|
|
Ho p { sup [ Is — isn) f > |
ö} -»• о, |
n-> oo; |
поэтому |
из |
(4.123) |
||
0 < s < l |
|
что величина (4.122) |
стремится |
по |
вероят |
||
и (4.124) следует, |
|||||||
ности к нулю при я —>оо. Этим доказано, |
что £ = (£,), О ^ ^ ^ І , |
||||||
является решением уравнения (4.121).
Из построения процесса | вытекает, что он является изме
римым по (t, со) и неупреждающим, |
т. е. |
^-измеримым |
|||||
при каждом |
t. |
оо существование сильного решения урав |
|||||
Итак, при |
Mr]2 < |
||||||
нения (4.112) |
доказано. |
что |
Мц2т < |
оо, m > |
1, и установим |
||
Предположим теперь, |
|||||||
оценку (4.113). Пусть |
|
|
|
|
|
||
|
|
Г 1, |
supI gs K l |
r\\ + N, |
|
||
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
Xjv(0 |
j o , |
|
sup| |> | |
tiI + JV, |
|
|
|
|
V |
|
s<i |
|
|
|
|
|
_ |
I |
l, |
I л IO > |
|
|
|
|
^ “ l o . |
I Ti I > Я. |
|
|||
154 |
СТОХАСТИЧЕСКИЕ |
ИНТЕГРАЛЫ |
[ГЛ. 4 |
По формуле Ито |
|
|
|
|
|
|
|
I?" = п2я + 2т J і Т 'a(s, I) ds + |
т {2т — 1) j fsm |
2b2{s ,l)d s + |
|
|
o |
о |
|
t
+ 2m f g m- lb(s, l)dWs.
Отсюда для |
учитывая равенство Xn ( 0 чі>п= Хіѵ(ОХн («)Фп, |
|||||
находим, |
что |
|
|
|
|
|
^ ( 0 % |
= XN( 0 % |
V l2m + I ^ X Ar(s) ^ m'"la (s’ |
l ) rfs + |
|||
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
+ |
т(2т — 1) J i>nXN(s)Z,2sm2b2(s, |
l) ds |
+ |
||
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
+ 2nt J %XM(s)^2sm- , b(s, l)dWs < |
|
|||
|
|
0 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<i|yi2m+ 2m J i)j„x/v(s)i2m- ,a(s, |
£)ds+ |
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
+ |
m{2m — 1) J 'ФДдДя)^-2^ |
, |
|)rfs + |
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
+ |
2m J |
l)dWs. |
(4.125) |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Заметим, |
что в силу |
определения %N(t) |
и |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
М J |
l)ds< оо. |
|
||
|
|
о |
|
|
|
|
Поэтому (см. (4.125) |
и (4.48)) |
|
|
|
||
|
|
|
t |
|
|
|
MltmXN{ t ) % ^ M r f m + 2m J MiJ)„xiV( 5 ) | | f - 1a(s, £)|ds +
0
t
+ m{2m — \) ^ M^nxN{s)l2sm2b2{s, l) ds.
о
Для оценки величин |^ OT-1|! a(s, |) | и l sm~2b2{s, £) восполь зуемся неравенством
al>Pbll<l^ ~ + —, |
(4.126) |
p я
§ 4] СИЛЬНЫЕ И СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ 155
справедливым |
(см. [16]) |
для |
любых |
а > 0, |
|
О, |
|
р > 1, |
|||||||
\ / p + \ / q = l . |
|
Полагая |
в |
(4.126) |
р = 2т/(2т — 1), |
q = 2т, |
|||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ! , Г - '!<.(*, |
і>1 = (? ? " ) % “ (*. і ) Г < |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, — |
2 т — |
1 о 2 т I |
1 2Ш/ |
(s, |
I). |
||
|
|
|
р = т/{т— 1), |
q = m |
2m |
+2^7 я |
|
||||||||
Аналогично при |
|
|
I |
) . |
|
|
|
||||||||
|
і \ т- Ѣ Ц 8 , |
I ) ^ |
J H ^ |
l ^ |
. + |
± |
b2m{s> |
|
|
|
|||||
Поэтому |
для |
каждого |
т существует |
такая |
константа |
ап |
|||||||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м (ftmt N(0 % ) < |
щ ы + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+ flmIи М j |
|
(s) % ( е |
|
+ |
(1 + Е2) + J (1 + E2,) |
|
(S.) |
|
1 öfs, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.127) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ « + J O |
+ |
? y « ( S]) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 + E 2m+ |
J ( l + C ) rf* ( si) |
(4.128) |
||||||||
с некоторой |
константой |
bm. |
(ст— константа) |
|
|
|
|
||||||||
Из (4.127) |
|
и (4.128) |
находим |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
t- |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
М (l2tmXN (t) я[з„) < |
Мл»« + |
|
/ |
M (^mXjv(s)^n)rfs + |
|
|
|
||||||||
|
+ |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
t |
S |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+ |
f |
{ |
м (i|,mx^(s) Ч>„) |
(«О rfs |
|
(4.129) |
||||||
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прежде чем идти дальше, установим следующее предло
жение. |
4.14. |
Пусть с, |
d — положительные постоянные |
||
Л е м м а |
|||||
и u(t), |
0, — неотрицательная ограниченная функция |
такая, |
|||
что |
|
І |
t |
S |
|
|
|
|
|||
u (t)^ .d - \- с |
+ j и (s)ds-\- J |
J u i s ^ d Ki s ^ d s , |
(4.130) |
||
|
|
|
о |
0 |
|
где K(s) — неубывающая непрерывная справа функция, 0-
156 СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4
Тогда |
и ( 0 < ( 1 |
+ d ) e ^ |
— 1. |
|
(4.131) |
||
|
|
||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Из |
(4.130) |
следует, |
что |
|
||
1 + « ( / ) < |
|
|
|
t |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
< ( 1 + d) + c |
j" (1 -j- it(s))ds + |
J |
J (1 + |
« (s1))rf/;C(s1) ds |
|||
|
|
|
|
о |
0 |
|
|
Применяя лемму 4.13 с c0 — (1 -f d), c, = |
c2 — c, v (t) s= 1 к функ |
||||||
ции 1-\-u{t), получаем требуемое неравенство (4.131). |
u(t) — |
||||||
Воспользуемся |
этой |
леммой, |
беря в |
(4.129) |
|||
Тогда |
согласно (4.131) |
|
|
||||
М [l]ml N{t)*„] < (1 + М л * " ) - |
1. |
(4.132) |
|||||
Отсюда, по лемме Фату, вытекает |
|
|
|
|
|||
< Hm М |
[||* Х д г ( 0 |
Ф„1 < (:1+ М л 2" * ) |
е'т* - 1. |
|
|||
N - > СО |
|
|
|
|
|
|
|
П->00 |
|
|
|
|
|
|
|
Для завершения |
доказательства |
теоремы |
осталось |
прове |
|||
рить, что решение уравнения (4.112) существует и без предпо
ложения |
Mr)2 < оо. |
|
|
|
Пусть |
Лга = ФІѴ где |
= |
Х{,„ ,< я}, и gft = (5n(0), |
1 ,- |
решения |
уравнения (4.112), |
отвечающие начальным |
условиям |
|
So = 4 * ’ М т і 2 < « 2.
Пусть т > п . Тогда так же, как и при доказательстве единственности решения уравнения (4.112) (в предположении Мц2 < оо), устанавливается неравенство
t S
M[|m(0 - U 0 ]2^<2L, I J M[tm( u ) - t n ( u ) ] 4 n d K ( u ) d s +
О о
t
+ 2L2J M[lm{u) — l n{ u ) f ^ ndu,
о
из которого в силу леммы 4 . 1 3 следует М [gm(0 — %п(ОРФя = 0. Значит,
Р { І Ы * ) - 6 „ ( 0 і > 0 } < Р { | т і | > п } . |
( 4 . 1 3 3 ) |
Поскольку по |
предположению |
Р { |
| ц I < |
о о } = 1, |
то |
из |
( 4 . 1 3 3 ) |
следует, что Р{ | \ m(t) — ln{t) | > |
0}->0, |
т, п-> о о , т. |
е. |
после |
|||
довательность |
{£„(/), п — 1, 2, ...} |
фундаментальна |
по вероят |
||||
ности. Следовательно, для каждого |
t, |
1, |
существует |
||||
|
P - l i m U ( ) = |
l ( t ) - |
|
|
|
|
|
|
/г -> оо |
|
|
|
|
|
|
