Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

§ 41

СИЛЬНЫЕ

И СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ

157

Аналогичные

рассуждения

показывают, что

(

i

t

I

Р-1іш

f

f

[Is -

tn{s)]* dK(s) dt +

f [|s - i„ ( s ) ]2rfs

= 0.

n~*°° I

о

о

0

Это равенство

позволяет

(cp.

с

доказательством

соотноше-

ния (4.121)) в уравнении

t

t

s«(0==n»+ J a(s, lm)ds +

J b(s, l n)dWs

о

0

перейти к

пределу

по я —>оо,

что

и завершает доказательство

теоремы.

Рассмотрим

стохастическое дифференциаль­

С л е д с т в и е .

ное уравнение

dxt = a{t,

xt)dt-\-b{t,

xt)dWt,

(4.134)

a2(t, y) + b2(t, y ) ^ L ( l + y 2).

(4.136)

dxt — a(t,

x)dt-\-b{t,

x)dWt,

х0 = ц,

где

л =

(Лі. •••- lira).

xt =

{xx(/),

. ...

xn{t)),

Wt = {Wx{t), ...

. . . ,

Wn(t)) — винеровский

процесс,

a{t,

x) = {ax{t, x), . . . ,

an(t,

a-)),

b(t,

x) =

\\bii{t, %)||,

/,

y' =l ,

. . . ,

n,

jc eC ,.

условиям (4.110), (4.111), с

: 2] х] (s),

Vs

2] M s)-

І=I

i=i

160

С Т О Х А С Т И Ч Е С К И Е

И Н Т Е Г Р А Л Ы

[ГЛ . 4

Рассмотрим линейное уравнение

dyt = 2Ky,dt + K dW t,

*/0 =

( if +

г)1/2.

(4.144)

По формуле Ито

Мy2sn ds + К2п (2п— I) J

Ы\у]п = М (if + г)п + 4пК J

Мy2sn~2 ds.

о

о

(4.145)

Полагая в (4.143)

и (4.145) п — 1, находим, что

t

Mi? < М (Л2 +

г) + 4К

Mil ds +

K2t,

(4.146)

Mz/2=M(ri2 +

r) +

4/C оJi

My2s ds +

K2t.

(4.147)

о

Докажем теперь следующее предложение.

Л е м м а

4.15.

Пусть u(t), ѵ(і), Jі ^ О , —интегрируемые функ­

ции такие,

что при некотором

с > 0

t

м ( 0 < у ( 0

+

с

u(s)ds.

(4.148)

Тогда

и (t)

V ( t

)

с оjJt ec^~s)v (s) ds.

(4.149)

о

При этом,

если в (4.148)

при

всех t ^ O имеет

место равен­

ство, то и (4.149) выполнено также со знаком

равенства.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим z ( t) = Jt u(s)ds и g(t) =

— и(і) — v(t) — cz(t)^. 0. Ясно, что

о

^ p -

= cz(t) + v(t) + g(t),

z{ 0) = 0.

Отсюда вытекает,

что

t

t

z ( t ) = j ec^~s) [u (s) -j- g (s)j

оJ

ecitsi v(s)ds,

о

и, следовательно,

t

tt (0 < O(0 + cz {t) < V(t)

+

c J

ec « si V(s) ds,

0

§ 4)

СИЛЬНЫЕ И СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ

161

что

и доказывает

(4.149).

Заключительная

часть леммы

сле­

дует из того, что

g (t) =

0.

Применяя эту лемму к (4.146) и (4.147),

находим

f

Ml? < М (ц2+

г) +

КЧ +

4ТСj

eiK<f~s>[M (гf + г) + K2s] ds =

Mу].

о

Отсюда,

используя

эту же

самую

лемму,

из (4.142),

(4.145)

по

индукции

получаем неравенства

М |2"< М y f ,

1,

0 < / < 7 \

Поэтому,

если для

некоторого

6 > 0

в

2

и

вс2

Me

*< оо, то

Me

^ Ы\е6Уі <

оо.

Для завершения доказательства теоремы осталось лишь

заметить,

что

если

МеЕ1,г <

оо

для

некоторого е >

0,

то для

уравнения (4.144)

МеЕг/° =

еегМеет>2<

оо,

а поэтому, как было показано выше, найдется такое б = б (7 ’)> 0 ,

что

sup

. - 6у\

Me ( < оо.

З а м е ч а н и е .

Ослабить

условие | b(t,

у ) \^ . К , заменив его

требованием

| b{t,

у) |

К{ 1

+

1у |),

вообще говоря,

нельзя,

что показывает следующий

пример:

dxt = xt dW(,

*0 = 1.

В этом

случае

——t

х2

е < о о ,

а

*г — е 1

2

,

Ме° =

Ме6Х{ =

М ехр {бе2Г*-<} =

оо

при любом б >

0.

4.

В ряде последующих глав будут рассматриваться стоха­

стические дифференциальные уравнения несколько иного типа,

нежели уравнения (4.112).

a(t,

х), b(t, х),

t е [0, 1],

* е С і , - —

Т е о р е м а

4.8.

Пусть

неупреждающие функционалы, удовлетворяющие условиям

(4.110)

и

(4.111).

Пусть

W = {Wt,

^ t ) — винеровский процесс,

Ф =

(ф<>

@~t) — некоторый

(Р-п. н.)

непрерывный

случайный

процесс

и

A(- = (At'(0 ,

t)>

/ =

1,2, — случайные

процессы

с I М О

К

L

6

Р-

Ш.

Липцер,

А.

Н,

Ширяев