Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 253
Скачиваний: 0
162 с т о х а с т и ч е с к и е и н т е г р а л ы [ГЛ. 4
Тогда уравнение
t t
xt = cpt + |
Aj (s)a(s, |
x) ds + |
K2{s)b{s, x)dWs |
(4.150) |
||||||
|
о |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
имеет единственное сильное решение. |
|
|
|
|||||||
Д о к а з а т е л ьJс т в о . |
Начнем |
Jс единственности. Пусть |
||||||||
£ = (|,) и | = |
(§Д |
O ^ f ^ l , — два |
решения |
уравнения |
(4.150). |
|||||
Как и при доказательстве теоремы |
4.6, находим, |
что |
|
|||||||
м хП |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< 2 |
J M^[{a{s, |
l) — a{s, |
i)f+ {b {s, I) — b{s, |
I))2] ds. |
||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда в силу условия |
Липшица (4.110) и леммы 4.13 полу* |
|||||||||
чаем |
— §,]2 = |
0, |
|
что |
приводит |
к |
соотношению |
|||
P { su p ||t — l f | > 0 } = 0 |
(ср. |
с |
соответствующим |
доказатель- |
ством в теореме 4.6). Этим единственность установлена.
Для доказательства существования сильного решения пред
положим |
сначала, |
что |
М sup ср?<оо. |
Тогда, |
рассматривая |
||||
последовательность |
|
0<і<1 |
|
|
я = |
0, 1, 2, ... |
|||
непрерывных процессов ^\п), |
|||||||||
. . . , |
0 ^ ^ = 1 , |
определяемых из соотношений |
|
|
|||||
|
$ 0) = |
%. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
l (tn) = |
% + |
J K{s)a{s, |
|(" -1>)ds+ J X2(s)b{s, |
I* - " )d W s, |
||||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
как и в теореме 4.6, убеждаемся, что |
|
|
|
||||||
• |
|
|
M sup$«+1> - g < » f < c 1■£, |
|
|
||||
|
|
|
t^ І |
|
|
|
|
|
|
где |
сг и с2— некоторые постоянные. |
|
|
|
|
||||
Далее устанавливается, что последовательность непрерыв |
|||||||||
ных |
процессов |
= |
(£<">), 0 < ^ < 1 , |
п = 0, 1, 2, |
. . . , |
сходится |
|||
Р-п. |
н. равномерно |
(по t) к некоторому (непрерывному) про |
|||||||
цессу ! = |
(|,), |
О ^ ^ ^ І , |
который является сильным |
решением |
|||||
уравнения (4.150) с sup ME? < оо. |
|
|
|
|
|||||
В общем случае, |
1 |
|
Msupcp?<oo |
нарушает- |
|||||
когда условие |
|||||||||
ся, |
для |
доказательства |
существования |
1 |
|
|
|||
решения рассмотрим |
§ 4] СИЛЬНЫЕ И СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ 163
последовательность уравнений
t t
!т (0 = |
Ф т (0 + |
f |
M s)a (s, |
l m) ds + |
J l 2(s)b(s, |
lm)dWs, |
(4.151) |
|||||||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где фт (0 = |
Ф/ дt |
их |
|
= i n f ( ^ < l : |
|
sup | cps | > tri), считая xm = 1 |
||||||||||||
|
|
|
A m |
|
|
|
, |
|
|
s*£,t |
|
|
|
|
|
|
|
|
если sup| q>s | < |
m, m — 1, |
2, ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
S < 1 |
|
|
|
|
|
|
T0 уравнение |
(4.151) |
при каждом |
|||||||||
Поскольку |
имеет |
|
|
|||||||||||||||
m = \ , |
2, . . . |
непрерывное сильное решение. Далее, как |
||||||||||||||||
и в теореме 4.6, |
устанавливается, |
что при каждом |
t, 0 < Д ^ 1 , |
|||||||||||||||
Im(t) сходится при т -> оо |
по |
вероятности к |
некоторому |
про |
||||||||||||||
цессу \(t), |
который |
удовлетворяет Р-п. н. уравнению |
(4.150). |
|||||||||||||||
З а м е ч а н и е . |
Утверждение |
теоремы |
4.8 |
обобщается |
на |
|||||||||||||
случай |
векторных уравнений |
(4.150) с |
xt — (х{ (t), |
. . . . , |
xn(t)), |
|||||||||||||
ф< = (фі(0> |
•••> |
Фга(О). |
скалярными |
процессами Яг = |
(ЛД0, |
@~t), |
||||||||||||
U i f O K 1 |
(г = |
1, |
2) |
и |
а {t, |
х) = |
(а, (t, х), |
. . . , ап(t, |
*)), b(t, х) = |
|||||||||
= || btj(t, х) II (г, |
j == 1, |
. . . , |
п). |
Достаточно |
лишь |
потребовать, |
||||||||||||
чтобы процессы ф1= |
(фг-(Д, ЗГ() были непрерывными, а функцио |
|||||||||||||||||
налы аг(/, х), bij{t, х) удовлетворяли условиям (4.110) и (4.111). |
||||||||||||||||||
5. |
Рассмотрим еще один тип стохастических дифференциаль |
|||||||||||||||||
ных уравнений, для которых в гл. |
|
12 будут подробно изучаться |
||||||||||||||||
задачи |
фильтрации. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Т е о р е м а |
4.9. Пусть неупреждающие функционалы a0(t, х), |
|||||||||||||||||
а, (t, х), |
b{t, х), 0 |
= 0 |
I, удовлетворяют условиям (4.110) «(4.111), |
|||||||||||||||
и пусть I ai(t, |
j t ) |^ c |
< оо. Тогда, если |
ц — @~0-измеримая |
слу |
||||||||||||||
чайная величина |
с Mrf < оо, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1) уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dxt = |
[a0(t, |
х) + |
ax(t, х) xt\dt + |
b{t, |
х) dWt, |
х0 = т), |
(4.152) |
|||||||||||
имеет единственное сильное решение-, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2) если |
Мц2т < оо, |
m ^ l , |
то |
|
существует такая константа |
|||||||||||||
ст > 0, |
что |
|
|
M|*w< ( l + |
Шцт)ест * - |
1. |
|
|
|
(4.153) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если существование решения у урав нения (4.152) установлено, то справедливость оценки (4.153) будет следовать из доказательства соответствующего неравен ства (4.113) в теореме 4.6, поскольку при его выводе исполь зовалось лишь условие (4.111), очевидно выполненное для функ ционалов а0(/, х), «1 (/, x)xt, b(t, х).
Условие Липшица (4.110) не выполняется для функционала а\ {t> У) Ус Поэтому для доказательства существования и един ственности решения уравнения (4.152) непосредственное приме нение теоремы 4.6 невозможно. Поступим следующим образом.
6*
164 |
|
|
с т о х а с т и ч е с к и е |
и н т е г р а л ы |
[ГЛ. 4 |
|||
Рассмотрим последовательность процессов £<л)= (£ |п>) , |
|
|||||||
0 = 1 , |
2, |
являющихся |
решениями |
уравнений |
|
|||
d ttn) = |
[aQ(t, |
Iln)) + |
ax{t, l {n))gn(l{? )] dt |
+ b(t, t n))dW t, |
l[n) = r\, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.154) |
|
|
|
ёп (z) |
: |
г, |
| г | < я , |
|
|
|
|
|
п, |
\ z \ > п. |
|
|||
Тогда |
при каждом |
п = \ , |
2, ... |
функционал a, (t, y)gn(yt) удо |
влетворяет, как нетрудно видеть, условию Липшица (4.110).
Следовательно, |
для |
каждого |
п = 1 , |
2, ... |
сильное решение |
||||||||||||
уравнения (4.154) существует и единственно. |
|
|
|
|
|||||||||||||
Анализ |
доказательства неравенства (4.113) показывает, что |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
М $ п,)2< (1 |
+ Мл2)еСі< — 1, |
|
|
|
|
|||||||
где константа с, не зависит от п. Значит, |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
sup |
|
sup |
М (g W s^ n + |
Mif)ec>— 1 < °о, |
|
|
|||||||||
|
|
п |
0<<<1 4 |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
что с учетом |
(4.54) |
дает |
неравенство |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
sup М |
sup (|(п))2 < |
оо. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
п |
0<*<14 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Р{ sup |
|g<re>| > |
|
п) ^ -Jj-sup |
М |
sup |
(l(n))2-> 0, |
/г-> оо. |
(4.155) |
|||||||||
o < t < i 1 |
1 |
|
|
1 |
п |
п |
|
0 < f < і ѵ |
' |
|
|
|
|
|
|||
Положим |
Tra = i nf ( ^ ^ l : |
sup I g(.n>| ^ |
n \ |
считая |
т№= 1 , |
если |
|||||||||||
sup I І (.п) I < |
я, |
|
|
|
|
|
S ^ t |
|
|
и п, |
п' > п, |
а = |
т |
Л т'. |
|||
и пусть для заданных п' |
|||||||||||||||||
s< I 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
п |
Тогда |
|
|
t Ла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
£ < " ; > а - ^ а = |
|
J |
K |
( S- |
|
|
|
l in))}dS + |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t А О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ J K ( S , |
|
|
|
|
|
|
^ ) ) g „ ( ^ ) ] ^ + |
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
J |
[0 |
(5 , |
t ' |
}) - b ( s , l (n)) ] d w s. |
0
§ 41 |
СИЛЬНЫЕ И СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ |
165 |
Принимая во внимание условие Липшица, отсюда на ходим, что
t s
ОО
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
*2 J |
|
|
(4-156) |
где |
Cj |
и |
c2 — некоторые |
постоянные. |
Из |
(4.156) согласно |
|||
лемме 4.13 |
получаем |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
М [У'> |
. Ш) |
: |
О, |
|
|
|
|
|
|
t А о |
Ь/ІА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4Ло| |
|
|
|
т. е. |
при t ^ |
а — хп Л хп, решения |
и gw |
совпадают Р-п. н. |
|||||
Поэтому для |
любого t, |
|
|
|
|
|
|||
Р {I у'> - у * | > 0} < Р { о < о = р К л V < t) < |
|||||||||
< Р [*П< |
*} + |
Р {'V < *} < |
Р { SUP I Sin> I > |
п) + |
Р {sup I g(»'> I > Я}, |
||||
|
|
|
|
|
S |
T |
|
|
S ^ Z |
что вместе с (4.155) приводит к соотношению
Ііш Р{|£<»> — gf«'>I = 0.
П-> оо
Я'- » оо
Значит, величины \ f ] стремятся по вероятности к некоторому
пределу у |
|
|
|
и |
Qn'i при t е |
[0, |
о] следует, |
|
Из |
совпадения величин |
|
||||||
что т« «Л IV (Р-п. н.) |
для я ' > |
п. Пусть я = пх< |
я2 < |
... Тогда |
||||
Р-1іш |
= |
и при |
1 |
|
|
|
|
|
Й-»оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I(*,) = |
= . . . |
= | t |
(Р-П. Н.). |
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
[а„ (s, |
I) + сц (s, |
I) У |
rfs — I b(s, I) d№s > 0 < |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
■n- |
Итак, существование сильного решения уравнения (4.152) |
||||||||
доказано. |
|
(£,) и \ = |
|
|
|
|
|
|
Пусть теперь £ = |
(|<), |
два таких реше |
||||||
ния уравнения |
(4.152). Тогда, |
|
как и в теореме |
4.6, |
устанавли |
вается (с использованием леммы 4.13), что МхлгСОІІ* —ІіР=
166 |
|
|
|
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ |
|
|
|
[ГЛ. 4 |
|||||
где Xjv(0 = X] sup |
|
|
|
Отсюда получаем |
|
|
|
||||||
|
Р { I ^ |
|
% |
|
|
|
|
|
|
О, |
N -* оо, |
||
что в силу |
непрерывности процессов | |
и | |
приводит к |
равен |
|||||||||
ству |
P{supl |
|
і / 1> |
0} = |
0. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
f<i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
6. |
Сформулируем еще одну теорему о существовании и виде |
|||||||||||
сильного решения линейный векторов стохастических диффе |
|||||||||||||
ренциальных |
уравнений. |
|
элементы |
вектор-функции ад{Т)~ |
|||||||||
|
Т е о р е м а |
4.10. |
Пусть |
||||||||||
= |
(«0,(0 . •••> |
%n(t)) |
и |
матриц а, (t) = |
||а<>>(t)||, ft(^) = ||ö.;.(0||, |
||||||||
і, |
/ = |
1, . . . , |
п, являются |
измеримыми |
{детерминированными) |
||||||||
функциями |
t, |
O ^ f ^ l , |
удовлетворяющими условиям |
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
J |
1 |
|
|
1 |
b2tj (t) dt < o*. |
||
|
|
[ I а0/ (t)\dt<oo, |
I а{}) (0 I dt < oo, |
J |
|||||||||
|
|
6 |
|
|
|
о |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Тогда векторное стохастическое дифференциальное уравнение |
||||||||||||
|
|
dxt — {a(j{t)-\-al{t)xt)dt-\-b{t)dWi, |
х0 = |
т}, |
(4.157) |
||||||||
с винеровским {относительно системы |
(@~t), |
t ^ |
1) процессом |
||||||||||
Wt = |
{W\{t), |
. .. , Wn{t)) |
имеет, и притом единственное, сильное |
||||||||||
решение, определяемое |
формулой |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
xt — Ф< Т1 + J |
Ф5 la0(s) ds + J |
Ф5 ‘й (s) dWs |
(4.158) |
||||||||
где Ф, — фундаментальная матрица {п X п), |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф( = |
Е |
j ai{s)Os ds |
|
|
|
(4.159) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
{Е — единичная матрица порядка {п X «))• |
|
|
|
суще |
|||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Прежде всего покажем, что |
|||||||||||
ствует решение уравнения (4.159). Для этого рассмотрим после |
|||||||||||||
довательность {Ф*(0, |
k — 0, |
1, ...} с |
|
|
|
|
|
Ф 0(0 = Д,
t
Ф*+1 (*) = £ + J a ,( s ) 0 A(s)rfs. (4.160)