Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

§ 4]

С И Л Ь Н Ы Е

и

с л а б ы е р е ш е н и я

167

Имеем

Ф* +1(0 —

Ф* (О—

/ М « )[Ф *(5 ) — Ф л -,(« )№

(4.161)

и

о

п

гt

пгг

п

2 |[®1+,«-ф.мы<12 K/<s>i 2 і[ф»м-ф.~,му*-

і, /= 1

О і, 1=1

і, 1=1

Поскольку в силу (4.160)

t

п

2

| [ Ф , ( 0

— Ф о ( 0 ]

| < / S

K /( s ) |d s < оо,

0 < * < 1 ,

1,1= I

‘

0

і, 1=1

то из

(4.161)

получаем, что

2 I «1/(s)'0 I l,dsji=i

<

2

1

!

W O - K . W y c * ,

1,1=1

<,/=1

FT ( J*

S

^i

Iraf s</)

*

Отсюда следует, что

матричный

ряд

оо

Фо(0 +

2 [Ф&+1(0 —

Ф* (01

fc=0

сходится абсолютно и равномерно к матрице Ф, с непрерывными

элементами.

Поэтому

после

предельного перехода

при k —>oo

в (4.160) убеждаемся в существовании решения уравнения

(4.159). Матрица Ф, почти всюду, 0 < П < !1 , дифференцируема,

и производная ее определителя | Ф* |

^ J - * = S p a 1(/)-|®/ l,

I Ф0І =

1,

почти

всюду,

O^fsS^l .

Отсюда

находим

I Ф,|=^ exp

Sp ax(s) dsj ,

0 ^ / < l ,

и матрица Ф, невырожденная.

Покажем теперь, что решение уравнения (4.159) единственно.

Поскольку матрица

Ф* не вырождается, то из тождества

Ф<ФГ‘ = £ находим,

что почти

всюду,

O^fsS^l,

ч-1

I

d(bf

_i

йф:

“

- Ф 7

Ф* lai (t).

(4.162)

dt

И Г ф*

168

Ст о х а с т и ч е с к и е и н т е г р а л ы

[гл. 4

Пусть Ф;,

Ф0 = Е ,—еще одно решение уравнения (4.159). Тогда

в силу (4.159)

и (4.162) почти всюду, 0 < Д ^ 1 ,

^ ( Ф Г ’Ф ^ О ,

что доказывает совпадение непрерывных матриц

Ф/ и Ф; при

всех 0 t

1.

того чтобы убедиться в существовании силь­

Теперь,

для

нений (4.157),

достаточно применить формулу Ито к предста­

влению (4.158)

для xt.

Для доказательства единственности решения системы урав­

нений (4.157) заметим, что разность txt — xt — xt двух любых

ее решений xt, xt удовлетворяет

уравнению

t

А* = До +

{ ф («) As

Отсюда

по2n

lM «n2 l4oL+Jl

St

n

i=1

1=1

(=1

0 i, /=I

лемме 4.13 имеем

ia<//(s)ids

c P {

=

x02jlM^SlMieXP J

Yi

1=1

i=l

1 0

i, /=1

и следовательно,

любые

два

решения

xt,

xt,

O ^ . t ^ . 1 ,

xq

=

t)}=

1 совпадают Р-п. н. при всех t.

З а м е ч а н и е .

Наряду с (4.157) рассмотрим уравнение

dxt =

[а0 (0 +

а, (t) xt +

а2 (t) l t] dt +

b (t) dlt, x0=

ц,

(4.163)

где | =

[(£і(0. •••> ln{t)), @~t]—процесс

Ито

с дифференциалом

äh = аД®) dt +

ß,(co) dWt,

(4.164)

W = ([Wi (t), . . . , Wn(t)\, @~t) — винеровский

процесс,

а

вектор

(аДсо),

&~t),

0 < Д ^ 7 \ аД<й) =

[а1(^, со), . . . ,

an(t, со)],

и матрицы

(ß/(®)>

&~t)>

О

ß,(co) =

llßi/Д, и) II,

и

b(t) =

\\bii(t)\\ по­

рядка

(п X п) обладают следующими свойствами:

Р

I

J I

bu (t) а, (t, со) \dt

<

оо I

=

1,

і,

/ == 1,

. . . ,

п,

г

т

1

(4.165)

Р

I

J Фи (0 ß/ft Ф, ®))2dt <

оо I =

1,

/,

k = 1,

. . . ,

n.

Если вектор а0 (t) = \ат (t),

..., аы Щ и матрицы

а, (t) = || а™ (t) ||,

а2(t) = Iafj(t)I порядка («X«)

удовлетворяют предположениям

теоремы 4.10, то, аналогично доказательству теоремы 4.10,

устанавливается,

что

Ф< Л +

J

ф

7

'

(« 0

(S)а 2 (S)+У

d s + / Ф 5

(S)

d l

,

(4.166)

где Ф, удовлетворяет (4.159), является единственным сильным

решением уравнения

(4.163).

7.

Рассмотрим

теперь вопрос о существовании

и единствен­

ности -слабого решения

уравнения

d% = a(t,

l)dt + dWt,

£о =

0-

(4.167)

Пусть (Сі, $ і)—измеримое пространство непрерывных на [0, 1]

функций

x =

(xt),

0 < і( < 1, с *0 =

0,

<Mt = o{x: xs,

s<X}. Обо­

значим ѵвинеровскую меру на (С,, Л,). Тогда процесс W— (Wt (*)),

0 ^ / ^ 1 ,

на

пространстве

(С1(

ѵ)

будет винеровским про­

цессом, если

определить

Wt {x) = xt.

функционал

Т е о р е м а

4.11.

Пусть

неупреждающий

a — (a(t,

*)),

0 < г <

1,

а: е

С[,

таков,

что

V

1

x)dt < оо

(4.168)

о а2 (t,

J

Мѵехр

о

a(t,

x)dWi(x) — -

і

a2(t,J

x) dt

=

1,

(4.169)

о

где Му-^-усреднение по мере ѵ. Тогда уравнение (4.167) имеет

слабое решение.

Для

доказательства

существования

Д о к а з а т е л ь с т в о .

такого решения

достаточно построить

совокупность

объектов

.я£ = (й,

8.

Р,

W, £),

удовлетворяющих

требованиям

опре­

деления

Cj, £Г =

SFt = $ t. В качестве меры Р рас­

Возьмем Q =

смотрим

меру

с

дифференциалом

Р (dco) =

р {W(со)) v (dco), где

р {W (<в)) =

ехр

170

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ

[ГЛ. 4

Wt = Wt - J a(s, W)ds, 0 < * < 1 .

(4.170)

сительно

системы

ст-алгебр

и

меры Р). Поэтому, если

положить

—

то из (4.170)

найдем,

что

t

a{s,l)d s + Wt,

0 < f < l .

(4.171)

о

Итак,

построенная совокупность

объектов

= (Q, 9 ~, @~t,

Р, W, £) образует

слабое решение уравнения (4.167).

З а м е ч а н и е

1. Пусть pw и щ — меры,

отвечающие про­

цессам

W и

Тогда

ИбИ) =

Р(1е= 4) = P ( f e = А ) =

J

р ( ^ (о)) ѵ (da») ==

(ws Л}

== J

р(ІГ((о))ф^((д).

(1Ре4)

Поэтому

m ■<

и

и согласно лемме 6.8

«с pi-

Таким обра­

зом, ji.£

~

-^(Г (со))== р(Г (со))

(Р-п.н.).

(4.172)

З а м е ч а н и е

2. В силу (4.168)

J a2{t, W) dt <

ооj

== 1,

(4.173)

Т е о р е м а 4.12. Пусть

выполнены условия теоремы 4.11.

Тогда в классе решений,

удовлетворяющих условию (4.173),

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть — (Q,

3rt, Р, W, I) — по­

строенное выше решение

и s4-' — (Q', ST' , &"t, P, W', %') — еще