Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

§ 41

СИЛЬНЫЕ И СЛАБЫЕ

РЕШЕНИЯ

171

одно слабое

решение с

P' ( j а2(/,

g ') ^ < ° o j = l.

(4.174)

Тогда по теореме 7.7 ң , ~

р,^, и

^ ( Г ( с о ')) = р(ІГ(со')),

что вместе с (4.172) дает требуемое

равенство р?/ (Л) ==

(Л).

по существу, следствием теорем 4.11 и 4.12.

Т е о р е м а

4.13.

Пусть функционал a = (a{t, х)),

O s ^ / ^ l ,

j:e C i,

таков,

что для

всякого

х е С ,

I

I

a2(t,

x )d t< оо.

(4.175)

о

Тогда

условие (4.169)

является

необходимым и

достаточным

для существования

и единственности слабого решения уравне­

ния (4.167).

Достаточность следует из теорем 4.11

Д о к а з а т е л ь с т в о .

и 4.12.

Для

доказательства необходимости заметим,

что если

j^ = (Q, SF,

и Р, W, I) — некоторое слабое решение,

то в силу

условия (4.175) из теоремы 7.7

вытекает, что Щ ~

Pw и

(IF (со))-р (IF(со)).

Значит,

Pt (Q) =

J р (IF (©)) dpw (со) = 1,

о

что совпадает с равенством (4.169).

З а м е ч а н и е . Достаточные

условия выполнимости равен­

ства (4.169) приведены

в § 2 гл. 6.

I.

Пусть

(Q, FF, Р) — полное

вероятностное пространство,

F = (!Ft),

О, — неубывающее непрерывное справа семейство

сг-подалгебр Ѳ~,

каждая из которых

пополнена множествами

мартингалов, т. е. непрерывных справа мартингалов X =

(xt, @~t),

0 ^ - t ^ . T ,

c sup Mx* <

oo. Через Мт будут обозначаться

мартин-

галы

X =

(xt, SFt),

имеющие Р-п.

н.

непрерывные

траектории и удовлетворяющие условию sup Мх? <

оо. Очевидно,

t<T

Мт^Мт-

В

случае

Т — оо

классы

М »

и Ml° будут

обозна­

чаться

соответственно

М и М с■

О

г

д

е

мартингал

Случайный

процесс

Z =

[x], &~t),

X — (xt,

t) s

Жт>является

неотрицательным

субмартингалом

и согласно теореме

3.7

принадлежит

классу

DL,

а в случае

Т < оо — классу D.

Применяя

разложение

Дуба — Мейера (теорема

3.8

и след­

ствие

из

нее) к субмартингалу

Z — ix^SF^,

0 ^ . t ^ . T < o o ,

получаем

следующий

результат.

Т е о р е м а

5.1. Для

каждого

Х ^ М т найдется единствен­

ный возрастающий процесс Л, =

(х)„

t ^ . T ,

такой, что

для

всех t, 0 ^

t

Т,

x] = mt + {x)t

(Р-п. н.),

(5.1)

где (m t,

t),

t ^ T ,

— мартингал.

При

этом для t ^ s

М Их* — xsf

| ЗД,] — М [(x)/ — (x)sI FFs]

(Р-п. H.).

(5.2)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно установить лишь (5.2).

Но (mt, &~t) и (xt, &~t) — мартингалы,

поэтому

М ( ш , -

т ,I У . ) =

О ,

М [ * > - 4 | f T

J =

M [ ( * , - x , f I ( T J ( Р - п . н . ) ,

и (5.2) вытекает из (5.1).

П р и м е р

1.

Пусть

X ~ (Wt, @~t) — винеровский

процесс.

Тогда

(Wt) — t (Р-п. н.).

—не­

П р и м е р

2. Пусть a{t, со)е Щг и X = (х(, !Г(), t ^ T ,

прерывный мартингал х ,=

J a(s, a)dWs. Тогда по формуле Ито

t

о

t

х\ = 2 J a(s, со) xs dWs -f J а2(s, со) ds.

о

о

Непосредственно

проверяется, что процесс

t

t

yt S32 J

a(s, со) xs dWs — x2— j a2 (s, со) ds

о

t

о

является мартингалом, а процесс J

a2(s, co)ds натурален.

По-

o

этому в рассматриваемом примере

t

(х), =

J а2(s, со) ds.

о

2.

В дальнейшем

нам понадобится аналог разложения (5.1)

для произведения

xt • yt

двух квадратично интегрируемых мар­

тингалов X — (xt,&~t) и

Y — {yt,é~t),

У ^Ж т -

Тогда

найдутся

Т е о р е м а

5.2.

Пусть

Х ^ Ж Т,

единственный

(с точностью до стохастической

эквивалентности)

процесс {х, y)t, являющийся

разностью двух

натуральных

воз­

растающих процессов, и мартингал

(mt, 9~t)

такие,

что

для

всех

t,

O ^ t ^ T ,

xtyt = tnt +

{x, y)t

(P-п. H.).

(5.3)

При

этом Р-п. н.

М \{xt — хя) (у, — ys) I T s\ =

М [(х, y)t — {х, y)sI ЗГя].

(5.4)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Покажем

прежде

всего, что

суще­

ствуют

процессы

mt и

(х, y)t с указанными свойствами, для

которых выполнено (5.3). Согласно (5.1)

(*, — dt)2 = mt~y+ (х — y)t,

(xt + ytf = mf+y + {х + y)t,

где приняты

очевидные

обозначения.

174

КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 5

Определим

теперь

(х, у), = J

[(х + y)t — {X — у)'} И mt — xtyt — (х,

y)t.

В силу формулы

ab =

-j[(a + b)2— (а — b f ]

М [xtyt — xsysI 3TS] =

M [(xt — xs) (yt — ys) I F s]=

=

{ m {\{Xi +

yt) -

(xs +

ys) f - l(xt - yt) -

(xs -

ys) f I STs) =

=

M

~ ( x +

0>sl — [<* — y)t —

(Х ~

y)s\\3~s) =

=

|-M {[(x +

y)t — (x — y)t\ — [(x + y)s — ( x — г/)Л F s} =

= M[(x, y)t — (x, y)s\ srs].

Отсюда следует,

что процесс (mt, SFt) есть мартингал.

Пусть теперь имеется еще одно представление xtyt =

т\-f- A't,

где

(m't, F t) — мартингал,

a

A't — процесс,

являющийся

раз­

ностью двух натуральных возрастающих процессов.

Если

время

t дискретно

(t = 0,

1, . . . , N),

то равенства

m't =

mt,

A't — (x, y)t (Р-п.

н.)

устанавливаются

следующим

об­

разом.

Поскольку

At+ 1

At = (xt+lyt+1

xtyг)

(mt+i

m;)>

то в силу ^-измеримости

A't+\ и равенства

(5.4)

A't+\ — A 't = M [* і + іУі + і — х і Уі I

&~t] =

<х >У )і+1— (*»

(Р'п- н.).

Но

А'0 — (х ,у )0 — 0.

Поэтому

A't =

(x, y)t и

m't — mt

(Р-п. н.)

для

каждого ^ =

0,

1, . . . ,

N.

единственность

разложе­

Если же время

t непрерывно, то

З а м е ч а н и е .

Во избежание недоразумений отметим,

что,

вообще

говоря,

(х + y )t ¥= (x)t + (y )t.

Равенство (х +

y )t ~

~ { x ) t +

(y)t>

будет выполнено Р-п. н. в том случае, когда

мартингалы

X =

(xt, 3Tt) и У = (yt, @~t)

ортогональны (X

X У),

т. е. (х, y)t = 0,

В силу единственности разложения (5.3)

условие (х,

y)t =

0, как нетрудно показать, эквивалентно тому,

П р и м е р

3.

Пусть

W — (Wt,

^ — винеровский процесс и

xt =

J

t

t

a (s, со) dWs,

y t — j b (s, со) dWs,

где

о

о

T

T

M j a2 (s, a) ds < oo,

M J b2 (s, e>)ds< oo.

о

0

Тогда

X — (xt, SFt) <= M T, Y =

(yt, 5Ft) «= Л т и по формуле

Ито

S

t

xtHt = \

[xsb(s>®) + ysa(s, ю)] dWs + J а(s, со) 6 (s, со) ds.

Как и

в примере

2, показывается, что процесс J [xsb (s, со) +

+ ysa (s, ю)] dW является мартингалом, а

о

(х, y)t = J

a (s, со) b (s, со) ds.

(5.5)

В частности,

если

yt =

Wt, т.

е.

b(s, <»)==1,

то

t

( x , W ) t = j

a(s,(>))ds

(Р-п. н.),

t ^ T .

(5.6)

о

интегрируемых

мартингалов

состоит

в том, что представле­

ние (5.6) справедливо для любого мартингала X =

(xt, STt) е J lT,

t

а не только в случае,

когда xt = J a{s, &)dWs. Точный

резуль-

о

тат дается в следующей теореме.

Жт и

Т е о р е м а

5.3.

Пусть

мартингал X = (xt, @~t) е

W — (Wt,

t) — винеровский процесс. Предположим, что семей­

ство о-алгебр F = (@~t),

Т,

непрерывно справа,

т. е.

=

для всех t,

ChS^t^T,ede

@~т+== £ГТ. Тогда найдется случайный

т

процесс (a(t, со), @~t) с

М J a2(t, а) dt <

оо такой,

что для всех t,

U ^ I

о

t

(5.7)

{х, W )t=

^ a{s, a)ds

(Р-п. н.).

о