Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл (19,70Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 258

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

176	КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ			МАРТИНГАЛЫ		[ГЛ. 5

	Предварительно докажем такую лемму.				t ^ T ,	непрерывно
	Л е м м а 5.1.	Пусть семейство	F =	(@~t),
справа, W — (Wt,		t) — винеровский процесс и X — (xt, @~t) е J lT.
Пусть случайный		процесс (g (t, со),	t),	t ^ . T ,	измерим относи

тельно а-алгебры на [О, Т]у^О,, порожденной неупреждающими

процессами,

имеющими

непрерывные

слева

траектории

М J g2{s, со){d |(x, W)s I +

ds) < оо. Тогда, еслиyt — J g(s, со) dWs,

то Р-п. н.

(х,

y )t=

g (S, со) d {.X, W)s,

(5.8)

где интеграл понимается как

интеграл Лебега — Стилтьеса.

Если

для

почти

всех

со функция (х, W)t абсолютно непре

рывна,

то равенство

(5.8)

выполняется

для

любого

процесса

(g (t, со), @~і),

/ < 7 \

удовлетворяющего условию

g2(s, со) (d I (х,

W)s j +

ds) <

оо.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

g{n){t, со),

п = 1 ,

2, . . . ,

— по-

следовительность

простых

функций,

оо

C ö ) x

/ (fl)

( 0 , 0 =

)

. . .

( 5

. 9 )

g W ( t ,

) =

k—0

\ Â ’

kT”1J

таких, что

M j | g ( f , и) — gW{t,e>)\2{d\{x, W)t \ + dt)-»Q, n-> oo. 0

(Существование такой последовательности в более общей ситуации доказано ниже в лемме 5.3.)

Тогда в силу (5.4) и (4.48) (Р-п. н.)

М К*. y )t -	{х, y)sI @~s]— М \{xt — xs) {yt — ys) I £%] -
= M		t
= M		Xt j	g(u, c*)dWu\ T s
		■ 0
		t	1
	= l.i.m. M x< j		g(n)(u,w)dWu\$ -s .
	tl- > oo	5
		5

§ И

РАЗЛОЖЕНИЕ ДУБА -

МЕЙЕРА

177

Согласно (5.9)

г № . - ) [ ^ д , и , - г ѵИ

-1,

ft+I

где I и m определяются из условий tin) <

s <

4+ь

< t < ^ + i-

Не ограничивая общности, можно

считать,

что

t\n) = s,

tm\\ = t. Тогда

Xt J g{n)(u, со)dWu \ T l

M { xtg (t{£ \ со) Г

)

Kk<m

M( M(ДГ, I

«((»») [® >i

- W

t^ k ^ ttl

*k + \

1г і Г ' } 1

I 8 (^>

“) f

W {n)I %(n)

1 ^ -1 ,

(5.10)

/<*<*

k+x

‘*+‘1

где

Ml*W-“)[r.й,-Ѵ ]ѵд,Г.1=

M I g

•*>M Г

« , -

.p) ( * « ,

*.p) I * * > ]

- } -

M j g p p ,

в) M |<дг, r> („ (

<x, r> („

IГ

„ ] IJT, j =

M j * ft”', в) [<*,

Г )(и i -

(*,

Г>(„ ] I !F, j .

(5.11)

Из

(5.10) и (5.11) следует, что

Xt I

g{n) (и, CO) dWu \ T S = M

J gW (и, со) rf <x, W)u\ 9-1

. (5.12)

Переходя в (5.12) к пределу при п->оо,

получаем,

что Р-п. и.

І.і.ш. М

X, J g<»)(«, (O )r fr j^

П->оо

jg(M,

<o)rf(x,

W)U\ST,

(5.13)

Итак,

М [<лг, y)t — (х, */>J

М jg (u , со)d(x, W)u\r,

178 КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ [ГЛ. 5

где процесс J g(u, &)d{x,W)u можно представить в виде раз-

ности двух натуральных возрастающих процессов. Поэтому согласно теореме 5.2 (х, y)t допускает представление (5.8).

Заключительная часть леммы вытекает из доказываемой

ниже леммы 5.5.

т е о р е м ы

5.3.

Пусть

(g(t,

со), @~t),

Д о к а з а т е л ь с т в о

t ^ T ,

— функция,

удовлетворяющая

условиям

леммы

5.1

такая,

что g2(t, w) — g (t, и>) и J g (t, со) dt = 0

(P-п. н.). Покажем,

что тогда

и I

g(t, u>)d{x, W)t = Q (P-п. h.).

С этой целью положим yt = J g(s, (a)dWs. Ясно,

что процесс

Y — (y, @~t), t ^ T ,

является

квадратично интегрируемым мар

тингалом

и по лемме 5.1

(х,

г/)* = J

g (s, со) d {X, W)s.

(5.14)

Но Му2=

М J g2(s, со) ds =

Поэтому yt = 0 (Р-п. н.), t ^ T ,

и,

(Р-п. н.),

t ^ T .

Из (5.14)

теперь следует, что

значит, (х, y)t = 0

J g(s, со) с/(a, 1F)s=

(Р-п. н.).

(5.15)

Определим в измеримом пространстве ([0, Г ]Х ^ . Я[0. п Х ^ г )

меру Q( •), положив ее на множествах S X A, S е

^ (о, т\, А^$~т

равной

Q (5X > 1)=

dP (со).

Тогда

из

(5.15) вытекает,

что мера

Q абсолютно

непрерывна

по мере Р, где Р (S X А) ~

Я (S) Р (Л), Я— мера Лебега, Я {dt) =

dt.

Следовательно,

найдется

такая

т] X ^Ѵизмеримая

функ

ц и я / ^ , со) с J

J \f(t, со) J dt dP (со) < оо, что

п о

Q ( S X ^ ) =

j f ( f , ö ) ö f ^ P ( c o ) .

Л s

§ И	РАЗЛОЖЕНИЕ		Д У Б А - М Е Й Е Р А			179
Отсюда находим				t
				t
J (х, W)t öfP (со) ==			J	J f ( s, со)ds dP(co),
и в силу произвольности		множества			А е ЗГТ
		t
(х,	W)t =	I f(s,		со)ds	(Р-п. н.)	(5.16)
		о
для всех t, 0 t ^	Т.

Полученное представление (5.16) не есть еще требуемое представление (5.7), поскольку из проведенного доказательства

вытекает	лишь, что функция f(t, со) является Щ0, т\ X ^ - и з м е
римой, и	не	вытекает, что	при каждом	фиксированном	t она
^-измерима.		что на самом	деле существует вариант		функ
Покажем,
ции f(t, со), ^-измеримый при каждом t,				(Напомним,
что производная Радона — Никодима f(t,				со) определяется	одно

значно лишь Р-п. н.) Вытекает это непосредственно из следую

щего общего	предложения.
Л е м м а	5.2.	Пусть (й, ЗГ, Р) — полное вероятностное про
странство и (ЗГt>,		t ^ O , — непрерывное справа семейство а-под-

алгебр ёГ, пополненных множествами из ёГ нулевой вероят

ности. Предположим, что $		X	-измеримая		функция	F(t, со)
являемся	ёГг измеримой при	каждом		0 и Р-п. н. абсолютно
непрерывной,
	F(t, оо)= j		f(s, со) ds,
		о
где $ X	-измеримая функция f{s, со) такова,				что
	Р j j I f (s, со) I ds	<	оо I =	1,	0.
	о
Тогда найдется такая ЗГ(-измеримая при каждом						t ^ O
функция	f (t, со), что
	о		(Р-п. н.),		t ^ O ,
и	о
и

Смотрите также файлы

Матлин Г.М. Проектирование оптимальных систем производственной связи.pdf

Месенжник Я.З. Кабели для нефтегазовой промышленности.pdf

Методы анализа лакокрасочных материалов..pdf

Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Нестеров Ю.Ф. Теория и расчет судовой тепловой изоляции.pdf

Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно