Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 273

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 6]

СТРУКТУРА ФУНКЦИОНАЛОВ

 

 

221

для любых Zi с I гг | < °°, г =

О, 1,

п,

то

отсюда будет

следовать

требуемое

равенство

P(xt = xt) = l ,

поскольку слу­

чайными

величинами

ехр

 

+ 2

z^ t kJj

можно

аппрокси­

мировать

любую ограниченную

^-измеримую (а

значит, и

^-измеримую ) случайную величину.

 

 

 

 

Начнем со случая

п — 1. Положим yt — xt — хе

Ясно, что

Y = {yv

также является квадратично интегрируемым мар­

тингалом

и согласно (5.6)

и (5.114)

 

 

 

 

 

(г, 1У)5 = 0

(Р-п. н.),

0 ^ 5 ^

Т.

 

Всилу леммы 5.1 отсюда вытекает, что

МУі / exp (iz{Wи) dWu I 0"

=

М

exp(iZiWJdiy, W)u \

=

0.

(5.116)

Далее, по формуле Ито

 

 

 

ехр {і (z0gо + z tWt)} =

exp {ггоу +

 

 

 

 

t

2

£

 

 

+ гг, exp{i'Zolo} I

exp{ i Z \ W u) d W u ---- ^-ехр{г'гоу

J

exp { i z ^ W u) du.

0

 

 

0

 

 

Поэтому, учитывая (5.116) и то,

что y0 — Q, находим

Мг/< ехр {г (г0|о -j- ZiWf)} =

b!\yt ехр(ггоу +

+ гг, М у, ехр (гг0У Jехр (г'г,1Ги) dWa} —

*■

о

1

— дт М { у‘ехР (г’гоУ j

ехр {izxWa) du J=

= м {M {yt I 0 І ) exp (г'г0|о)} +

-f- гг, М 1 ехр (г'г0у

М y < j exp (гг, Г „) dWu |0 -*o

м {М (yt I 01) ехр [г (г01 0 + zlWu)]} du =

 

А

j М {г/„ехр [г (г0| 0 -f г,IFJ]} du.

 

2

 

222

 

КВАДРАТИЧНО

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ

 

[ГЛ. 5

Следовательно, и, =

Му,ехр[г (z0| 0 +

z \Wt)\

удовлетворяет

линейному

уравнению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ill

 

2 н

Uq— О,

 

 

 

 

решение которого тождественно равно нулю.

 

 

 

 

Итак,

равенство

(5.115)

в случае п =

1 установлено.

также

Пусть

теперь

п >

1

и

для

п — 1

равенство

(5.115)

доказано. По формуле Ито

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp Iі I2 0|о

+

VZk\Vtk 11=

expi j(z0So -j- П^—■1 z ^ t k

11+

 

 

V

 

 

tn

 

 

J >

 

'

j

 

fe=i

 

J >

 

 

 

fc=i

 

 

 

V

 

 

 

 

+ izn J

exp

/

f z £0V+

zkWtk +

znWu ] |d w u —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n-

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

j

e x p j i ^ o i o +

2

г ^ / й +

2яГ в ) | ^ и .

(5.117)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ft=l

 

 

 

 

 

 

 

Если теперь учесть, что согласно предположению индукции

Мг/, exp jг |z 0g0 +

J ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

м |м (^ tl ^

п_,) ехР

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м г/,„_,exp ji ( 2 0| 0-1-

п-

1

 

0 ,

 

 

 

 

 

 

 

=

ъ

z* Wtk)[ =

то из (5.117),

аналогично случаю

п = 1 ,

легко

выводится,

что

М Ut exp

Ii

z0l 0 +

УzkWt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fe=i

yuexpj i jzoSo +

 

 

 

 

 

 

 

=

— -у-

J

M

2

 

zkWtk +

znWu

 

du.

 

 

 

 

 

 

L

 

1

V

 

fe=i

 

 

 

 

 

Отсюда получаем

СТРУКТУРА ФУНКЦИОНАЛОВ

2 2 3

Итак, соотношение (5.115) для случая квадратично интегри­

руемого мартингала

X = (xt,

доказано, что в свою очередь

доказывает требуемое представление (5.108).

В том случае,

когда мартингал X = {xt,&~t) не является

квадратично интегрируемым,

доказательство представления

(5.108) почти дословно повторяет соответствующее доказатель­

ство теоремы

5.7.

С л е д с т в и е . Пусть функционал b = (bt (x),$ t) удовлетво­

ряет условиям

(4.110), (4.111) и Ь2( х ) ^ с > 0. Тогда согласно

теореме 4.6 сильное решение уравнения (5.106) существует и

всякий мартингал X — (xt,

 

допускает представление (5.108).

3. Перейдем теперь к рассмотрению общего случая.

Т е о р е м а

5.17.

Пусть

%, =

{lt,5Tt),

O ^ t ^ T ,

— процесс

диффузионного типа с дифференциалом

 

 

 

 

 

 

 

d-h — at (|) dt +

bt (I) dWt,

 

 

 

(5.118)

где a = (at (x), 3$t)

и b — (bt {x),

$ t) — неупреждающие

функцио­

налы. Будем

предполагать,

что коэффициент bt {x)

удовлетво­

ряет условиям (4.110),

(4.111)

и

 

 

 

 

 

 

 

Пусть также

 

bt {х) ^ с >

0.

 

 

 

 

(5.119)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р

a2t {l)dt< ooj =

P ^ I

a2t (r ) )

dt <

o o

I =

1 ,

( 5 . 1 2 0 )

где л — (сильное)

решение

уравнения

 

 

 

 

 

 

 

dT\t = bt (vi)dWt,

Ло — Іо-

 

 

 

(5.121;

Тогда у всякого мартингала X — (xt, {Ffj

существует непре­

рывная модификация,

для

которой имеет место

представление

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X t =

x 0 + j f s ( o ) d W s

 

 

 

(5.122)

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

с FZ-согласованным процессом

(ft (со), £Г|)

таким,

что

 

 

 

 

/ Ц N

 

ds

<

o o

1.

 

 

 

 

Если X = (xt,

 

0 < / <

 

Г, — квадратично интегрируемый

мартингал, то к тому же

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.123)

 

 

 

[ M/^(cü) d t <

oo.

 

 

 

 

224

 

КВАДРАТИЧНО

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ

 

[ГЛ. 5

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно сделанным предположениям

и теореме 7.19 меры щ

и рч эквивалентны. При

этом

плот-

ность

=

d\Xf,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— (t, I) задается формулой (см. (7.124))

 

 

 

apt

 

 

 

 

 

 

 

 

h (i) = exp

—

as (П

 

 

 

as (?-)

ds =

 

 

bl (I) dis

+

i

M H

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

=

exp

I

а* (І)

dWs -

1

( M H

 

(5.124)

 

 

J

M H

2

J I bs (l)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

Рассмотрим

новое

вероятностное

пространство

(й,

ST, Р)

с мерой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р {da) = у {I (to)) Р {da)

(ясно, что Р с Р и в силу леммы 6.8 Р < Р; значит, Р ~ Р ). Имеем

Р { | ^

п =

 

J

 

1 г ( іН ) р И

=

{

Таким образом{(о,: 1случайный<= Г )

процесс

£ =

(£,),

Г

рас­

 

сматриваемый

на новом вероятностном пространстве (й,

ST, Р),

 

имеет то же

распределение,

что

и процесс т] = (т)<),

 

 

рассматриваемый на

пространстве

(й,

 

Р).

 

 

 

Далее, по теореме 6.2 процесс {Wt, SFt),

 

 

 

 

Wt = Wt + t

as (I)

ds,

 

 

(5.125)

 

 

M H

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

по мере P является винеровским.

 

 

 

 

 

 

Из (5.125)

и (4.80)

следует,

что Р-п. н.

 

 

 

 

t

 

 

t

 

 

 

t

 

 

 

So + J 4

{I) dWs

І0 +

J

a, (S)rfs+ J

bs {l)dWs = l t.

 

 

о

 

о

 

 

0

 

 

 

 

Значит, процесс I — (|,),

 

T, рассматриваемый на (й,

<Г, P),

 

является решением уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

6/ = So+ J bs(l)dWs

 

 

(5.126)

 

(cp. с уравнением (5.121)).

§ 6]

СТРУКТУРА ФУНКЦИОНАЛОВ

2 2 5

Согласно

сделанным в условиях теоремы

предположениям

о коэффициенте bs(x) (сильное) решение уравнения (5.126), так

же как и уравнения (5.121), существует и единственно.

Тогда

по теореме 5.16

всякий мартингал Y — (yt,3T|), 0 ^ / ^ Г ,

определенный на

вероятностном пространстве (Q, SF, Р),

имеет

непрерывную модификацию, которая допускает Р-п. н. представление

 

 

 

t

 

 

 

 

 

Уі =

Уо + { gs (“ ) dWs,

0 < г < 7 \

(5.127)

 

 

 

о

 

 

 

где

pj^ J

gl(a)ds < ooj =

1 .

 

 

 

Пусть

X — (xt,

— мартингал.

Покажем,

что процесс

Y =

(y t, £F|) с yt =

xt[lt (I),

рассматриваемый на (П,

, Р), также

является

мартингалом.

 

 

 

 

В самом деле,

 

 

 

 

m y t \ =

\ \ y t \ d r - \ \ y t \h (I) dP = \

(ЮdP =

 

 

У

У

<2

1

 

 

 

<2

1

 

Q

 

и при t ^ s согласно лемме 6.6 Р-п. н.

м (У, I*1) = С 1 (I) м (W Л ) I <Н) =

»г■1(I) М (X, I ЗЦ) =

= ц„

Следовательно, к мартингалу

Y = (yt, ST'f) с

y t ~ x tjit (Q

применим результат (5.127), согласно которому Р-п. н. и Р-п. н.

для каждого

t,

Т,

 

 

 

 

t

t

 

t

 

bt (l) — xo+

gs (©) dWs — x0 + J

gs(со) Ws + J

,

V ( e; ds,

 

 

0

0

 

 

или

 

xt = h(i)zt,

 

(5.128)

где

 

 

 

t

t

 

 

 

 

 

 

zt = x0 +

J (ö) dWs +

J £s (a>)

ds.

(5.129)

 

 

о

0

 

 

8 P. Ш. Липцер, А. H. Ширяев

Смотрите также файлы