Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Применяя формулу Ито, из (5.128), (5.129)

и (5.124) находим,

что

а,

(I)

dxt = It (£) dzt + zt dlt

It (I) St (w)

d t =

— h (I) St (M) dWt -f- it (l) gt (<й) "йДіу dt

zt\t (£)

dWt

- h ( l ) S t ( < * ) j j ^ d t

= ft (a>)dWt,

где

(5-130)

Иначе говоря,

Р-п.

н.

і Jfs (м) dWs,

Xt = Хо +

о

где Р ^ | Ң (a>)ds <

ооj

=

1 , что

в

свою

очередь

вытекает из

(5.130) в силу эквивалентности

мер Р

и Р

(лемма

6 .8), непре­

рывности Р-п. н. процессов $Д|)

и xt =

lt (l)

z t и условий

Р ( /

«?(«.)<// <

°=) = Р

dt < Оо

= I .

Для завершения доказательства теоремы осталось лишь

проверить, что в случае

квадратично интегрируемых мартинга­

(J

s ^ T ,

j

лов X = [xt,

функционал /s (co),

удовлетворяет усло­

вию (5.1Ш).

Вытекает это из следующего общего предложения.

Л е м м а

5.8.

Пусть

F — (3Ft),

Q ^ t ^ i T , — неубывающее

семейство а-подалгебр SF и / =

(ft (со), &~t) — процесс с

P^ J

f](со) dt <

ooj =

1 .

Для того чтобы (непрерывный)

мартигнал X — {xt,

@~t), t ^ T , c

t

j М/^(сй)ds < оо.

(5.131)

§ 6]

СТРУКТУРА ФУНКЦИОНАЛОВ

227

in f ^ s ^ r : I f2$d s ' ^ n ^ ,

“Xfl

1

Т,

если Сf2d s < п.

о

В силу непрерывности

траекторий мартингала X = {xt, @~t)

и теоремы 3.6 Р-п. н.

I

=

= М [ * ,|; г

].

О

С другой стороны, поскольку М

J

fl (со) ds ^ п < ОО, то

о

\

2

Т Л Х п

М J

Ң (со) ds < Ы\х\,

о

и, значит,

т

г лг„

что и доказывает лемму.

— квадратично

З а м е ч а н и е . Если X — (xt,3Tf),

интегрируемый мартингал

с '

228

КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 5

т

=

1 , то

где

Р

I

fl (со) ds <

оо

о

г

М J f l

(со)ds ^

М \хт— х0]2 =-

— Мхд ^ Ых2. < оо.

о

4.

В

следующей

теореме

ослабляется условие

(5.120), вхо

дящее в формулировку предшествующей теоремы.

за

Те о р е ма 5.18. Пу сть выполнены предположения теоремы 5.17,

исключением условия

(5.120),

которое заменяется

требова­

нием,

что

(5.132)

Тогда

утверждения

теоремы

5.17

также остаются справед­

ливыми.

Условие

(5.120) обеспечивало

эквива­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

лентность P5 ~

р.п. При условии же (5.132) согласно теореме 7.20

лишь

<

рп.

2, ...

и Qn) = (Qtn),

^ — процесс, являющийся

Пусть

п = 1,

(сильным) решением уравнения

t

l(tn) — I t

+ f [1 -

X<r'] bs (!<»)) dWs,

(5.133)

J %1П)

d s

0

где

0

d l f = a f (|W) dt + bt

dWt,

(5.134)