Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

§ б]

СТРУКТУРА ФУНКЦИОНАЛОВ

231

Из (5.141)

с помощью

формулы Ито находим, что

/ГАТт (I)

,2

Тдтт (!)

0 = (

J [ f f ( a ) - f W( « >) } d W

)

=

J

[/W(co)-/M(co)]2ds +

о

тлхт (I)

( t

+ 2

J

j

H ] dWs

{ f f

(со) - f f ) (со)} dWt

о

с о

=

J

[/‘га)(® )-/< т)И ] 2^ ,

поскольку на

множестве {со: t ^ r m(!)}

J [ff(<»)-ff4v>)]dWa==0.

Итак, для

п ^ т

на множестве {тт (|) = 7'}

j

[ f f ( « ) - / f )

(со)]2 ds = 0 .

(5.142)

Отсюда следует, что для

почти

всех

t, 0 ^ t <1 Г,

Г Н

=

Г И

({ти (|) =

Г},

Р-П.Н.).

Определим теперь функцию ^(со):

f(‘>(со),

если

J

а2 (!) ds <

1 ,

/12)

(со),

если

1

<

а2 (!) ds <

2 ,

/г («О =

(5.143)

/<") (со),

если

п — 1 О j

а2 (!) ds < п,

Из определения ясно, что функция

ft (со),

является

&№, л X ^"г-измеримой и lFf-измеримой при каждом

фиксиро­

ванном

t, 0 ^

t ^

Т.

Г

оо

Хп+1 ^

оо

^ п + 1

^

[ / ? ( ® ) л = У

f m ® ) d t = y

f

0

n = 0

Tn

(5)

Я = 0

т „

(I)

W

ТП + 1 ^

ОО

ТП + 1

®

=

S

J

[/? +,)И ] 8 Л + S

I

[ / Г ‘>М]2 ^ .

п = 0

т „ (?)

п = М + 1

т „ ( |)

На

множестве {ю:

(^) = 7^}

{со:

J f*(<a)dt =

ao } s {о: xN+l (%) < Г}.

I

о

'

т

J

[M “ ) - / 5 rt)(®)]2^ - > о,

о

и, следовательно,

t

t

Р" lim

f /(sn) (со) dWs —

f fs (®)dWs.

(5.144)

n+°°o

о

Ясно также,

что

<Л'„®

/

j'

/ « м ^ , = } х

. / г м л ^ .

§ 6]

СТРУКТУРА ФУНКЦИОНАЛОВ

2 3 3

и для любого t, 0 ^

t ^

Т,

t

t

P ''lm I

¥

, <6)>°А П) И dWs=

J /. (®)

(5-145)

0

0

поскольку

p {

J

[ fsИ

-

f f И Хря (I)> s}]2 > е } ==

- Р {

J

[ f M - f f N

%

( E ) > s } J 2 ^ > 8 ,

T B ( g ) =

r }

+

+

P { J

[/s N~

f f

(со) %{Xn №)> s]j2 rfs > e,

t„ (l) <

T j<

<

P J

{ [fs И — f f

(<o)]2ds > e J+

P [xn(£) <

T)

0,

n -> oo.

Пусть t <

T. Перейдем к пределу при п -> оо в (5.138).

Левая

часть равенства в силу теоремы 1.5 стремится к М [хт|

= xt,

а

правая

согласно

(5.145) сходится по вероятности к х0+

+

J

fs (<i>)dWs. Таким

образом, при t <

Т

о

t

xt = xo~\~ J

fs(®)dWs

(Р-п. н.).

(5.146)

о

Если

же t =

T, то

Sfr лхп Ч) t

3~\-

и, значит,

т

М Ы П -)= = * о +

І

Но процесс £— (Іt),

о

Г, имеет Р-п. н. непрерывные траек­

тории,

и поэтому

= &~} (ср. с доказательством

теоремы 4.3).

Теорема

5.18 доказана.

5.

В теореме

4.3 было показано, что (пополненные) сг-ал-

гебры

t , порожденные значениями винеровского процесса Ws,

s ^ t ,

непрерывны,

т. е. &~Т~ —

Установим анало­

гичный результат и для процессов диффузионного типа.

Т е о р е м а

5.19.

Пусть

выполнены

условия

теоремы 5.18.

Тогда

(пополненные) о-алгебры

непрерывны.

^

-

=

0 І =

0 І +.

234

КВАДРАТИЧНО

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 5

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Как уже отмечалось выше,

соотноше­

ние

== Зг \ доказывается аналогично случаю винеровского

гебр

справа.

величина,

| г|

с.

Тогда

Пусть т) — ограниченная случайная

по теореме 5.18 у мартингала

X =

(xt, ЗГ\)

с

xt =

М (г| | 5^)

существует непрерывная

модификация. Покажем, что

М (ті|^1) =

М (ті|0І+)

(Р-п. н.).

(5.147)

Для

всякого е > О

м (чI П О = М(М (Ч ! 5Ще)I9Щ) =

М(*,„ I ІГ$+). (5.148)

Но случайные

величины

л:^ =

М (rj I ^ f )

ограничены,

j лг# j ^ с, и

в силу непрерывности процесса xt из

(5.148), переходя

к пре­

делу при е I 0,

находим,

что Р-п. н.

м (л I ЗГ}+) = М (*, I п

+) =

xt =

м (л I П ) -

Этим соотношением (5.147) установлено.

Возьмем теперь в нем в качестве л £Г?+-измеримую

огра­

ниченную случайную величину.

Тогда М (л|Зг |+) = гі и, значит,

Л = М (л I # І).

t

Следовательно, случайная величина л ^-изм ерим а, что дока­

зывает включение &~}+ Е (Ft-

Обратное

включение

ЗГ) Е @~}+

очевидно.

Теорема 5.19 доказана.

выделения частный

случай теоре

6 .

Заслуживает

особого

5.17,

5.18, когда коэффициент fr,(x)== 1

(или

bt (x) == с Ф 0).

Т е о р е м а

5.20.

Пусть

£ = (|г, &~t),

0 ^

t

Г,

— процесс

диффузионного

типа с дифференциалом

dh = at (l)dt + dWu

(5.149)