Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 283
Скачиваний: 0
§ 6] |
СТРУКТУРА ФУНКЦИОНАЛОВ |
235 |
|
|
|
где процесс (fs (ю), |
таков, что |
|
|
Р J fl (©) ds < ооj = 1 . |
|
Если X — (xt, — квадратично интегрируемый мартингал,
|
|
т |
|
|
|
|
то к тому же |
М J f2s ((ü)ds< оо. |
|
|
|
|
|
7. |
|
о |
|
|
|
|
Рассмотрим теперь структуру функционалов от процессов |
||||||
диффузионного типа в гауссовском случае. |
Будем предполагать, |
|||||
что случайный процесс £ = (£,, ЗГ{), 0 < |
^ |
Т, |
имеет диффе |
|||
ренциал |
|
dlt = at {l)dt + b{t)dWt, |
|
Іо = |
0, |
(5.150) |
|
|
|
||||
где W=(Wt, ^ ) —винеровский процесс, а b(t), |
0 ^ |
t ^ J , —детер |
||||
минированная |
функция с Ь2(0 ^ с > 0 |
J &2 (^)c^<oo^J. |
||||
Т е о р е м а |
5.21. Пустъ X = (xt, |
0 ^ t ^ Г, —гауссовский |
||||
мартингал. Если процесс (W, |, X) — {Wt, l t, xt), 0 |
Г, обра |
|||||
зует гауссовскую систему и |
|
|
|
|
||
|
|
p ( j a ? t è ) < f t < o ° ) |
= |
I, |
|
(5-151) |
то у мартингала X — [xt, ST^ существует непрерывная моди фикация и
xt = x0 + j f ( s ) d W s, |
|
|
(5.152) |
|
о |
|
|
|
|
где измеримая детерминированная функция f = |
f(f) такова, что |
|||
т |
|
|
|
|
\ f 2(t)dt<oo. |
|
|
(5.153) |
|
о |
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Гауссовский |
мартингал |
X является |
||
квадратично интегрируемым. |
Поэтому |
согласно |
теореме 5.18 |
|
|
|
|
г |
|
найдется процесс g = (gt ((>>), |
O ^ t ^ T , с |
j Mg2 (co)d/< оо |
||
такой, что |
|
|
о |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xt = xa+ |
J gs(®)dWs. |
|
(5.154) |
|
|
о |
|
|
|
236 |
КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ |
[ГЛ. 5 |
Из (5.150) следует, что при каждом t случайные величины Wt £Г|-измеримы. Следовательно, не только процесс (W,, 3Tt), но и
{Wt, также является мартингалом, и, значит, — (Р-п. н.), t ^ s . Отсюда вытекает, что выражение
M [ ( x , - * s) ( r , - r s) | ^ S | =
= |
М [(X, - |
М (X, I П » (W, - М (V , IГ $)) I П ] |
(5.155) |
|||
есть не что |
иное, как |
условная |
ковариация соѵ(л^, |
|
||
(см. обозначения в § |
1 гл. 13). |
|
|
|
||
Покажем, что в силу гауссовости процесса (W, |
X) |
|
||||
соѵ (х„ W, I Г*) = М |(х, - |
X) (07, - |
Ws) I згу = |
|
|
||
|
= |
М \ ( x , - x , ) ( W , - V , ) \ (Р-п. н.). |
(5.156) |
|||
Для доказательства этого заметим сначала, что |
|
|||||
м \{xt - О (Wt - |
W') I Г I] = |
М[xtWt I <Г|] - |
xsWs. |
|
||
Пусть теперь |
j со: |
£0> ё_*_. |
|
I |
2П |
, • • •. Is I . т огда
2П
$Г\ |
п \ |
И, следовательно, по теореме 1.5 (Р-п. н) |
|||
|
|
П . J - * М [х,Г , I !Гу, |
М \х ,Ѵ , I Г |. „1 - x , W , |
||
Значит, |
|
|
|
|
|
м |
[(*« |
- (VЫ, - W. ) I« 4 1 |
= |
Иг[x,W,а МІ П |
*, 1.W-. = |
|
= |
lim {M [х,1Г, IП . „I - |
M [x, IП . »I M I ^ , IП , »II + |
||
+ iim (M |x ,|n .JM |iri | n . J ) - x sr,.
Поскольку П — П , то М [д:,|П .»1 = |
м |М И ,|П ) |П * .» | — |
|||||
— M (xt | n , „)—х, и, апалогично, M |
J — M [IFS| П , n|-*»V |
|||||
Следовательно, |
|
|
|
|
||
|
- l i r a |M |
[x,W, I П . . І - M [X, I П , „J M\V , | n . J ) |
= |
|||
|
|
- H m |
M {[X, - M(X, IП . »)]l“7, - |
M (Г , IП . „)[ IП , »]• |
||
Но |
по теореме |
о нормальной корреляции (теорема 13.1) |
||||
м |
[[X, - |
м (X, I п . |
„)] [г , - м (W, Iп . „)| І П „) = |
|
||
|
- |
м ||х , |
- |
м (X, I п , „)];і(', - м (ir, I n . Л) |
(Р-п. н.). |
|
§ 6] |
|
|
|
СТРУКТУРА ФУНКЦИОНАЛОВ |
|
|
|
|
237 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М [У < -У К * 'І - « 7,)ІЗГ1 ] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
- |
lira М Цдг, - |
М (X, I |
„)] [Г , - |
М (W, | Г | |
„)]}, |
|||||
что в силу равномерной интегрируемости величин |
|
|
|||||||||||
( М Ы П * ) - |
ft==1> 2- •••} |
и |
{М (ИМ П »)* |
п = 1> |
2’ |
•••} |
|||||||
приводит к требуемому равенству (5.156). |
|
|
|
|
|
||||||||
Из |
этого |
равенства и (5.154) |
получаем, что |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
м [g„ И I ^ 1 |
] du = J |
Mgu (со) du. |
|
(5.157) |
||||||
|
|
S |
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
теперь для |
фиксированного |
t, |
0 < t < |
Т, |
раз |
|||||||
биение |
|
|
|
Ое= t f ] < t\n) < ... |
< C = t |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
с шах |
[tf+ 1 — t^ ] —> 0 , п —>оо, и положим |
|
|
|
|
|
|||||||
|
8п(“) = М \ёи И I |
|
|
tf* ^ u |
< |
:(«+!) |
|
|
|||||
|
|
|
tj |
|
|
|
|||||||
Тогда |
согласно |
(5.157) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
М—1 |
Лп) |
|
n- 1 |
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/+1 |
|
* /+ 1 |
|
|
|
|
|
||||
\ U g u{fa)du — |
|
J |
= |
J |
gn(u)du= j gn(u) du. |
||||||||
|
|
/=0 |
t(n) |
|
/=0 |
Hn) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
По теореме 5.19 |
cr-алгебры ZF\, 0- ^ . t ^ . T, |
непрерывны. Поэтому |
|||||||||||
для каждого |
и, |
|
с вероятностью 1 |
при |
п-> о о |
|
|
||||||
|
|
|
8п (") ^ М [g„ (со)I іПв] = §и (со). |
|
|
(5.158) |
|||||||
По |
неравенству Йенсена |
|
{и) ^ |
|
(со), |
и, |
значит, |
|
|||||
|
|
|
t |
|
t |
Mg* (со)d u < |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
J |
Mg* (и) du < J |
оо. |
|
|
|
|||||
|
|
о |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, на основании теоремы 1.8 семейство случай ных функций {gn(u), п = 1 , 2 , ...} равномерно интегрируемо (по мере Р(сйо)Х^м) и в силу (5.158)
М |
J [Mg„(cö) — g„(®)M« |
< М |
I |
[Mgu(co)~ gn{u)]du |
+ |
|
I |
I |
|
|
|
+ |
М j [gu(®)—gn(u)]du |
< j |
M | |
g - „ ( c o ) — gn(u) {du-+0, |
П - + 00. |
238 |
КВАДРАТИЧНО |
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ |
[ГЛ. 5 |
|||
Отсюда для каждого |
t, |
O ^ i t ^ T , получаем |
|
|||
|
t |
|
|
t |
|
|
|
/ Mgu(со) du = |
J gu (со) |
(P-п. и.), |
(5.159) |
||
|
о |
|
|
0 |
|
|
и, значит, |
для почти |
всех t, |
O ^ t ^ T , |
Р-п. н. |
|
|
gt (ю) = Mg* (со).
Вместе с (5.154) это доказывает справедливость представле
ния |
(5.152) с f (t) = |
(со). |
f{t), |
|
участвующую |
|||
С л е д с т в и е |
1. Функцию |
из |
||||||
в представлении |
(5.152), |
можно определять |
равенства |
|||||
|
|
|
|
н |
о » |
« . |
|
|
С л е д с т в и е |
2. |
Пусть ц = |
-измеримая гауссовская |
|||||
случайная величина. Предположим, что (rj, |
W, |
|) образует гаус |
||||||
совскую |
систему. |
Тогда найдется детерминированная функ |
||||||
ция |
f(s), |
O ^ s ^ r , |
такая, что (Р-п. н.) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
Ц(со) = |
Мл Н |
+ j f (s) dWs, |
(5.160) |
||
|
г |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
I f2(s) ds < |
оо. |
|
|
|
|
|
|
о
По теореме о нормальной корреляции мартингал xt= М (ц
будет |
гауссовским. |
Гауссовской будет и |
система (W, g, X) |
с X — [xt, @~\), |
Поэтому (5.160) следует из (5.152), |
||
если |
только учесть, |
что хт— т\, а х0=М ті |
(Р-п. н.). |
