Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл (19,70Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 281

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ГЛАВА 6

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ СУПЕРМАРТИНГАЛЫ И МАРТИНГАЛЫ.

ТЕОРЕМА ГИРСАНОВА

§	1. Неотрицательные супермартингалы
1. Пусть	(Q, F , Р) — полное	вероятностное пространство,
({Ft),	— неубывающее	семейство а-подалгебр		F , по
полненных множествами из F		нулевой	вероятности.	Пусть
W = (Wt, F t) — винеровский процесс и V=			(yt, F t)-~случайный
процесс с

При исследовании вопросов об абсолютной непрерывности мер, отвечающих процессам Ито, относительно винеровской меры (см. следующую главу) существенную роль играют неотрица тельные непрерывные Р-п. н. случайные процессы $ = ($*, F t), 0 < ^ < Г , допускающие представление

3/ = 1 + Jt YsdWs.			(6 .2 )
о
В следующей лемме показывается, что процессы такого
типа необходимо являются супермартингалами.
Л е м м а 6.1. Пусть процесс	у =	(Ѵо F t), t ^ T , удовлетво
ряет условию (6.1) и 3 * ^ 0 (Р-п.	н.),	0 < / < 7 \	Тогда случай

ный процесс %— (it, F t) является (неотрицательным) супермар тингалом,

M (i/\|£ " ,X ä s (Р-п. Н.), T > s ,	(6.3)
и, в частности,	(6.4)
m t < h	(6.4)

240	НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ	СУ ПЕР МАРТИНГАЛЫ		[ГЛ. 6
240	Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим *) для		п >	1
	Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим *) для		п >	1
	хп = inf 1 1<	Т: I y2s ds >	п \ ,

считая тп= Т , если I у2sd s< n . Тогда согласно (4.63) для t > s

І Л Х „ і Ат„

^Ax„= 1 + J	4adWu —isAxn + J Yu^
		SAT„
Поскольку
<AT„
M j	Yn dWu IЗГ = 0	(P-п. и.),
SACxn-
TO
M [S iA tJ^s] = ^ A ,		(P-П. H.).

Но xn—>T с вероятностью единица при ц->оо, поэтому в силу неотрицательности и непрерывности процесса іь 0 s£^ Г, по лемме Фату М ( Ы ^ Д ) < М

2. Л е м м а 6.2. Неотрицательный супермартингал I =								($*, $Ft),
		t		/ т
Т, с	= 1 +	J уt dWs,		P M	y2sd s < ooj =		1 , допускает
представление		0		\o
представление		,			t
		,			t
	J/ =	ex p ^rt (ß) — у			J ß*ds j			(6.5)
где
	ßs = *,+Ye,		ьі-	S	3S>°>			(6.6)
	ßs = *,+Ye,		ьі-	0 ,	*s =	0 .		(6.6)
a **)				0 ,	*s =	0 .
a **)		Л
Г, (ß) = P-Iim X ,<		Л	РГ		pw =	\|Ц
"	J	ds < oo j о				I J Рцdu<n
							t
*) В соответствии с замечанием				к лемме 4.4 у процесса			J	ds, t < Т ,
							о

существует прогрессивно измеримая модификация, которая и будет рас сматриваться как в этом, так и в других аналогичных случаях. Тогда момены хп будут марковскими относительно системы ( У t), 0 <Л

**) Случайные величины Г* (Р) подробно изучались в п. 9 § 2 гл. 4.

§ И	НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ СУПЕРМАРТИНГАЛЫ	2 4 1
§ И

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

ап =	о о , если			inf ^ >	—	. Пусть также
				t < T	п '
				0 =		inf {t <		Т: ь = 0}
(а =	о о ,	если		inf %t > 0).		Ясно,		что Р-п. н. оп f 0 , п->
гласно		замечанию 2 к теореме 3.5
				jt =	0	({Г>		f> o}; Р-п. н.).
Поэтому			для всех t,			0	t ^	Т,
					h = h A 0			(Р-п- н.)
				u t		= \	1 ,	t <	а,
				u t		= \	о,	г >	0 .
Из		(6.7)	и (6 .8) получаем, что Р-п. н.
						ІА о

о о . Со-

(6.7)

( 6. 8)

	J, = 8 , л „ = 1 + f	Ѵ ,< І Г ,= 1 + J У . Ч " 7,.
	о		о
т.	е.	t
		t		(6.9)
	It —	1 + J Ssßs d W s		(6.9)
	It —	1 + J Ssßs d W s
c	ßs = (s+Ys-
	Ясно, что
	p( J(*,ße)2rfs < 00) =P (J		y2sd s < 0 0 = 1.	(6. 10)

Поэтому

а„ЛГ

an AT

Ш’	I		(»A)’J d s <
	/a„ Л T
Отсюда получаем P	\|	ß2 d s < o o j = l и, применяя формулу
Ито к 1 п ^Лст , из (6.9)		находим,	что
		Ч Л » „	і Ав„
			(6. 11)

242

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ

СУПЕРМАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 6

Заметим

теперь,

что

для

каждого t

на

множестве

{со: t < а ^ Т }

ds < оо

(Р-п. н.)

и на множестве {со: T ' ^ t ^ o }

h = 0

(Р-п. н.).

Поэтому {со: ^

> 0 ] s

| со: J

ß^ds <

оо |

и,

обозначая

Xt-

*%[t

получаем

ll = hXt = btAoXt = p - ^ X t h Л о„

іЛо„

л о

P-lim xt expl

ßsd ^ e-

ß >

tAa„

іЛо„

Р-)ітх<ехр[ Xt

^s dWs — -^

2 r1о

1 —

ß^ds

Xtexp

P-Iimxt

$s dWs — ¥

ßfrfs .

(6.12)

Поскольку

А о

P-lim %t

$2 ds =

•)

t AO„

то согласно

п.

9 § 2

гл.

существует

tA°n

Гг л а (ß) =

P-lim xt

$sdWs.

Следовательно, Р-п. н. для

каждого t,

O ^ t ^ T ,

t А о

h = xt ex p ^rtA0 (ß ) --

ßs ds ■

(6.13)

§ 1]

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ СУПЕРМАРТИНГАЛЫ

243

Поэтому на

множестве { а ^ Т }

Р-п. н.

Xa e x p ^ r a ( ß ) - T

J ß*dsj = 0.

(6.14)

Выведем

отсюда, что на множестве

I ß2 ds — оо

(Р-п. н.).

Действительно,

предположим противное, т. е. что

Р { (а <

Т) П ( { ß2s ds <

оо ) } >

0 .

Тогда на основании леммы 4.7

( К П П N

ß ^ s < o o

sup

ßsäWs =

оо

и, следовательно, на множестве

(а ^

Т) П

ß2 ds <

ooj

поло

жительной

вероятности

ц ^ е х р М

ß5rfirs -

{

ß2^ U o ,

oo,

что противоречит тому, что

&, ->$(, =

(Р-п. н.)

на

множе

стве

{о ^ Т}.

Итак,

{со: ст<Г}П

со: I

ß2 ds — оо j=

{со: a <

Г}-

(6.15)

Покажем теперь, что для

каждого

^ . Т

Р-п.

н.

правая

часть

в (6.13) равна

t А о

ехР ( F(Aa(ß)

: exp Г((ß) -

ß2s ds .

(6.16)

Зафиксируем t,

Тогда,

если

со таково,

что

t < а,

то (6.16) выполнено очевидным образом, поскольку в этом случае ц — 1> а t / \ а — t. Пусть теперь Т Тогда левая

Смотрите также файлы

Матлин Г.М. Проектирование оптимальных систем производственной связи.pdf

Месенжник Я.З. Кабели для нефтегазовой промышленности.pdf

Методы анализа лакокрасочных материалов..pdf

Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Нестеров Ю.Ф. Теория и расчет судовой тепловой изоляции.pdf

Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно