Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

часть

в (6.16)

равна

нулю.

Правая часть также равна нулю,

поскольку на

множестве

{а ^

Г}

О

Jß*ds =

oo,

а

Г0 (ß) =

0

(Р-п. н.)

о

(ср. с п. 9 § 2 гл. 4).

случаем

неотрицательных

непрерыв­

3.

Важным частным

ных Р-п. н. супермартингалов, допускающих представление (6.2),

являются процессы

<р = (ф*,

ЗГt), t ^ T , с

f t

t

\

Ф; =

exp

ß

d W ~ -

V d s

(6.17)

где процесс ß = (ßp

^F,),

t <

T, таков,

что Р

J ß^ds <

ooj = 1 .

То, что такие процессы допускают представление (6.2),

следует

непосредственно из

формулы

Ито, приводящей к уравнению

Ф, = 1

+

J qpsßs dWs.

(6.18)

о

Тем

самым получено

представление

(6.2)

с

Ys = Ф А -пРичем

а

также рассмотрим возможность представления этих решений

в

виде (6.17) или (6.5).

Р-п. и.

Итак, пусть ищутся неотрицательные непрерывные

решения уравнения

dxt = xtat dWt, * o = l ,

t ^ T ,

(6.19)

Если

случайный процесс

а = (а,, &~t),

t ^ T , таков, что

PI J а ] d t

< оо I =

1, то неотрицательное решение такого урав­

нения существует,

единственно

и задается

формулой

/ t

t

ч

я, = exp I « Л - 7

aIds

(6. 20)

§ 1]

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ СУПЕРМАРТИНГАЛЫ

245

(Если yt, t ^ T , — еще одно непрерывное решение, то по фор­

муле Ито находим, что

= 0, откуда вытекает,

что yt = xt,

t

Т, Р-п. н.)

процесс a = (at, &~t), t ^ . T ,

таков, что

Если известно, что

то из доказательства леммы

6 .2

следует, что

такое решение

может быть представлено

в виде

(6. 21)

и это решение единственно.

вопрос о том,

при каких пред­

Естественно поставить теперь

положениях о процессе

a =

(at,£Ft), t ^ T , уравнение (6.19)

%п —

(6. 22)

и т — lim т„.

П

X

Ясно, что

J

c^ds =

oo на множестве (со: т ^ Г } .

Л е м м а

о

Для

того чтобы уравнение (6.19) имело неот­

6.3.

грала J

(со) ds в бесконечность при t -> х (и) происходит непрерывным

246

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ СУПЕРМАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 6

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Н е о б х о д и м о с т ь .

Пусть уравнение

t

xt = 1 -j- j xsa^dWs

(6.24)

о

имеет решение it,

с

Р

а2 ds < оо

= 1 .

(6.25)

Согласно лемме 6.2

& = ехр ІГ<(а) — j

J a^ds

(6.26)

Поэтому, если

для

некоторого п = 1 , 2 , . . .

Р(т„ = 0 ) > 0 ,

то

t

это означало

бы,

что

|

a2sds — oo

с положительной

вероят-

ностыо для любого

t >

0

Но тогда

из (6.26)

вытекало бы,

что

0.

с положительной вероятностью 50 = 0. Это, однако, противо­

речит предположению Р($0= 1 ) = 1 .

Т

Далее, |

a?sds=oo

на множестве {со: х ^ Т } и, следовательно,

о

Р-п. н.

Зт = 0. Поэтому на множестве {т <1 Т}

0 = і

P-lim

: P-lim exp I

(«) -

aids

П

Д о с т а т о ч н о с т ь .

Пусть процесс

a =

(at,STt),

удовлетворяет условиям леммы.

Покажем, что тогда

=

ехР

(а)

— -J J

a\dsj

(6.27)

во-первых,

что $0 = 1 , во-вторых, что P ^ J ( ^ a s)2 rfs< ooj = l,

в - т р е т ь и х ,

ч т о h> t ^ T , н е п р е р ы в е н Р - п . н. и , н а к о н е ц , ч т о