Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл (19,70Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 285

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

248	НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ СУПЕРМАРТИНГАЛЫ	[ГЛ. 6

тп Л т

Здесь

e~i%asdWs = 0,

так

как

%п ^ Т

О О

sup

О-*

~*%us d s ^

n < o o .

0 <

Z <

ОО

Поэтому

из

(6.30) следует, что

*»лг

е 3sg^r f s =

2M[e

3т«лГ — е

'] ^

Переходя

этом

неравенстве к пределу при /г—>оо, находим

ТАГ

(6.31)

М J

e“a^ajds<2.

Из (6.31) вытекает, что Р-п. н.

ОО >

ТАГ

хп+і лГ

e“W

2ä fs>

Je ~ H K d s >

т„ л r

inf

\е

V I

aIds. (6.32)

тпЛГ<*<т„ + 1ЛГ1

AJr

На множестве

{со: т < Г } в силу

(6.23)

и (6.22)

ТП+1 Л т

'•П+І

a*ds =

aids =

2n +

1 .

Поэтому

из

(6.32)

следует,

что

на { т^ Г }

J е

3^a2rfs

inf

Iе

Ч 2| <

2га + 1

0 ,

П —>

ОО.

' о «г" -г

6 J

Значит, на

{т <

Т)

Р-п. н.

е - 3’ (П2 =

0 .

Н о Р (J* <	о о ) = 1, п о э т о м у	Р ($* = 0) = 1.
И т а к ,	н е п р е р ы в н о с т ь Р - п .	н . т р а е к т о р и й п р о ц е с с а J(, 0 s S H ^ 7 ’,
д о к а з а н а .

§ и НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ СУПЕРМАРТИНГАЛЫ 249

Далее, как

и в (6.32),

находим,

что

е is т |АТ tfd1a9;ds.

т [Л Т е

I d s ^

inf

(6.33)

0 < s <

г Л T

Поскольку

$s, s ^ r ,

является непрерывным процессом, то

Р (

inf

e~3s >0 ) — 1,

что

вместе

с (6.33)

дает

0 < s < T л

г Л Г

2 2

т Л

—з

ds =

% a s

(Р-п. н.),

(6.34)

< inf

s< tл т

т. е.

Р ( j fsa2sds < оо j =

1 . Из

этого

условия следует,

что

определены стохастические интегралы

isasdWs для всех і^ .Т .

Обозначим

Уі = 1 +

J Is^s dWs,

t < ?’•

(6.35)

В силу (6.28)

t Л т„

Поэтому yt — if (Р-п. н.) для всех t ^ x n^ .T, и в силу непре рывности траекторий этих процессов yt = h (Р-п. н.)для ^ т < Т .

Итак, если т ^ Г , то yt = \t (Р-п. н.) для всех t ^ T . Если же

т <	Т, то	ух = ъг = 0		и для	t >	т Уі = ух +	\| Jsas cfU7s — ух = 0,
поскольку		%s =	0 для	s ^ t. Следовательно,			X
поскольку		%s =	0 для	s ^ t. Следовательно,			yt — fa (Р-п. н.) для
всех	t ^ . T ,	и,	значит,	согласно (6.35)
						t
				it — 1	+ j	isas dWs.
					0

Покажем теперь, что решение (6.27) уравнения (6.19) с точ ностью до стохастической эквивалентности является единст венным.

250

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ

СУПЕРМАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 6

Пусть

it, t ^ T ,

— еще

одно

неотрицательное

непрерывное

решение

уравнения

(6.19).

Тогда

при

^ < т =

1ішт„

(ср. с п.

§ 3 гл.

5).

Поэтому lt ==lf

(Р-п. н.)

при

t <

т Д Т

по

непрерывности

$т =

$х. Следовательно, на

множестве

(о>:

т >

Т}

fo — lt’

t ^ T .

Рассмотрим

теперь

множество

(ш:

т ^ Г } .

Поскольку

оба

процесса ^

являются (как ре

шения

уравнения

(6.19))

супермартингалами,

то

j(==^ = 0

(Р-п. н.)

на

множестве {о:

Итак, fa — it (Р-п. н.) для каждого t, 0 ^ Г< Г. Из. непре рывности этих процессов вытекает, что их траектории совпа

дают Р-п. н., т. е. P{sup|j, — ,$г |> 0 } = 0.

§2. Неотрицательные мартингалы

1.При некоторых простых предположениях супермартингал

ф= (фц ^"*)>	0, введенный в (6.17), оказывается мартингалом.
Настоящий	параграф будет		посвящен	исследованию	этого во
проса.
Начнем с доказательства следующего общего результата.
Л е м м а	6.4. Если	\| = (	\| t ^ T , — супермартингал и
		М£о=М!г,		.	(6.36)
то он является мартингалом.
Д о к а з а т е л ь с т в о .		В силу супермартингальности

М|7< М ^ < М |0.

Поэтому согласно (6.36)		М^== const,		t ^ T .			s < / ^	Г, и пред
Обозначим А =	{со: М (%t\| 9~s) < £5}, где 0 ^
положим, что Р ( Л ) > 0 .		Тогда
М\|г = М \|,= М М ( Ы ^ ) =				м {It I
= м (Хл м (I,\ Г s)} +		М{(1 - Хл)				9-s)} < М х ЛЬ +
						+ М(1 — Хл)\|5= М \|5>
что противоречит	равенству		M \|r =	M \|s.		Поэтому		Р(Л) = 0,
а следовательно,	процесс £ =		(£*, #",),		t ^ T ,		является мартин
галом.	6 .1 . Пусть		$ =			t ^ T , — случайный
2 . Т е о р е м а
процесс с Р I J fi^ds < оо 1 == 1 . Тогда,					если
		1	\					(6.37)
	М exp		ßf c/s j <		о о ,
		J

§ 2]		НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАРТИНГАЛЫ						251
то супермартингал <р (ß) =				(<р, (ß),		2Гt), t ^ . T , с
		<P,(ß) =	expf J $sdWs — -i J				ß2s ds
является мартингалом			и,	в частности, Mq>*(ß)= 1,				/ < 7 \
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Пусть		й > 0 и
		I	*			*
inf		Г: J ßs dWs — J ß^ ds — —
T,		если	inf		I	ßsdWs -	J ß* ds	> — а.
					_0	0
Положим	Я<С0 и покажем вначале, что
			МФа t t ß ) = l .					(6.38)
Для этого	заметим, что
					аа
		Фоа (^ß) =		1 +	Я J	q>s (A.ß)ßsd№s.
					о

Поэтому для доказательства равенства (6.38) достаточно пока зать, что

°а	cp2 (A,ß) ß2s d s < оо.
М J	cp2 (A,ß) ß2s d s < оо.	(6.39)
о
В силу предположения (6.37)
М J ß > < 2 M e x p ( - i J	ß ^ d s j < 2 M e x p	ß j f i f s 'j < о о . ( 6 . 4 0 )

С другой стороны, при		и 0 < !s < ja a
фЛад = ехр(л j ßudWu	Я2	du
фЛад = ехр(л j ßudWu	2	du

252	НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ СУПЕРМАРТИНГАЛЫ	[ГЛ. 6
Следовательно,	qp^ (Aß) <!ехр{2а\| А1} при s ^ a a и (6.39)	выте

кает из (6.40).

Докажем теперь, что равенство (6.38) остается справедливым и при А <Л. С этой целью обозначим раа (Aß) = е*афаа (Aß). Если

A<J0, то	согласно (6.38)
Обозначим			Мрсат			= еКа-	(6.41)
Обозначим
	°а			°а		%
Л (	ш ) = \| $dt, ß		(со ) =	J		fodWt — j	ß * d / + a > 0 ,
	0			0		0
и пусть и(г) = р0		(Aß), где А. =			1 — У 1 — z.
Ясно,	что если	С Х 2 < П ,		то и O s ^ A ^ l.
В силу определения функции ра (Aß)
	и (г) =	exp I у	А (со) +		(1 — У \ — z		) В (со) \| .

При 2 < 1 функция и (г) представима (Р-п. и.) в виде ряда

оо^

ft= 0

где, как		нетрудно			проверить,		р,(со)> 0		(Р-п. и.) для всех
k —	0, 1 , . . .
	Если	2 ^	1 ,	то в силу		леммы	6.1
					Мu(z) ^ еа			)
и,	в частности,			для	любого OsS^2 0<			1
						Mw (z0) < оо.
Поэтому ДЛЯ \| 2 \| < 2 0
		° °	I	\ k		ОО	£
	м ^ ] - ^ - P è ( ® X M У ]-£J-Pfe(ю) =								Mw(2 0) <	оо.
		k = 0				k — Q
Отсюда		в силу теоремы				Фубини следует, что				для любого
\|2 \|< 1					°°	А		°° k
					°°	А		°° k
			Ш	(2) =	М 2	-fj- р к (со) =		2	М р, (со).	(6.42)
При 2 <		1			fc= 0		fc= 0
При 2 <		1
					0а (l —V 1—z ) .		■ S '	Cft,
							■ S '	Cft,
г д	е	k — 0 , 1,0			, . . .		ft—О
г д	е	k — 0 , 1,0			, . . .

Смотрите также файлы

Матлин Г.М. Проектирование оптимальных систем производственной связи.pdf

Месенжник Я.З. Кабели для нефтегазовой промышленности.pdf

Методы анализа лакокрасочных материалов..pdf

Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Нестеров Ю.Ф. Теория и расчет судовой тепловой изоляции.pdf

Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно