Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 289
Скачиваний: 0
§ 2] |
|
|
|
|
|
НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАРТИНГАЛЫ |
|
|
|
253 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
силу этого |
равенства |
|
и |
формул |
(6.41), |
(6.42) |
для |
—1 < |
|||||||||
< 2 < 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 ! г м ^ ( ш) = 2 і г с*- |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому |
Mpk (a) = ck, |
k = 0, 1, |
. . . . |
а |
значит |
(см. |
(6.42)), для |
||||||||||||
0 < 2 |
< |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы (2 ) = 2 | г °k = ea (і_ Гі~г |
|
|
|
|
||||||||||
что |
и |
|
доказывает |
|
справедливость |
равенства |
(6.41) для |
всех |
|||||||||||
А < |
1. |
Поскольку |
В ( а ) ^ 0 , |
,4 (со) |
|
(Р-п. н.), |
то |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Раа (^ß) = |
|
exp I Aß (ю) + |
(А — |
А (со) } f Paa(ß) |
|
|||||||||||
при Af |
1. |
Поэтому |
по теореме |
1.1 (о монотонной сходимости) |
|||||||||||||||
lim Мра |
(Aß) = |
Mp0 |
(ß), |
и, следозательно, |
в силу (6.41) |
|
|||||||||||||
А|1 |
|
“ |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
еа, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Мра (ß) = |
lim Мро (Aß) = |
|
|
|
|
||||||||
а значит, |
|
|
|
а |
А.А1 |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
McPa„(ß)= 1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 = |
Мф„о'fit |
м |
|
(Р) х(„а < Г)1 |
+ |
м [ф«„ (Р> ■/.,., --7,1 |
|
|
|||||||||||
И |
|
|
|
|
|
|
|
= МК (Р,Х(»,</)1 + М[<р/(Р)!((«»-/)І |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mcpr (ß)= |
1— М [Фаа(ß)х(„а < г)| + М [Фг (ß)Х(СТа< Г)]- |
(6-43) |
||||||||||||||||
Но P-lim |
у, |
<Т) = 0 и Мф (ß)s^l. |
Поэтому |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim Му,0 |
< п ф (ß) = |
0. |
|
|
|
(6.44) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
а |
оо |
\ |
сі |
J |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Далее, |
на |
множестве (аа < |
Г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Фаа (ß) = exp I — а + |
Y J ß^ds |
< e x p | |
— а + ± |
J |
ß;;ds f , |
||||||||||||||
|
|
|
|
г |
О |
|
|
||||||||||||
и, значит,
254 |
НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ СУПЕРМАРТИНГАЛЫ |
[ГЛ. 6 |
||||||
Из (6.43) — (6.45) получаем требуемый результат: |
Mqpr (ß )= |
1, |
||||||
из которого согласно |
лемме 6.4 следует, что ф(ß) = |
(<pf (ß), |
|
|||||
t ^ T , |
является мартингалом. |
|
|
|
на |
|||
З а м е ч а н и е . |
Теорема 6.1 справедлива с заменой Т |
|||||||
любой |
марковский момент т (относительно (5^), |
0). В част |
||||||
ности, |
утверждение теоремы верно |
при Т = |
оо. |
|
|
|||
С л е д с т в и е . |
Пусть |
W = (Wt,&~t), |
0, — винеровский |
|||||
процесс и т = т(сй) — марковский |
момент |
(относительно |
|
|||||
/ > 0 ) |
с |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Me |
|
|
|
|
|
3. |
Приведем |
ряд |
примеров, |
в которых ^супермартингал |
||||
<P(ß) = |
(<n(ß). ^ t) . |
і < Т , |
с |
|
|
|
|
|
является мартингалом |
и, в частности, |
Mqpf(ß)=l, t ^ T . |
||||
t |
П р и м е р |
1. |
Если I ß^ I ^ К < °о (Р-п. н.), t < |
Т, то Мф^ (( |
||
^ Т, в силу |
того, что |
|
|
|
||
|
|
М exp |
|
< |
оо. |
|
|
П р и м е р |
2. |
Пусть |
|
|
причем |
%п = Т, если |
г |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
М ехр |
|
|
|
и |
M(pTn( ß ) = l |
согласно |
замечанию к теореме |
6.1. |
||
|
П р и м е р |
3. |
Пусть |
для некоторого |
б > 0 |
|
§ 2] |
|
|
|
НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАРТИНГАЛЫ |
|
|
|
255 |
||||||||
Тогда |
M<Pi(ß) = 1, |
t |
|
Т. |
Действительно, |
по |
|
|||||||||
|
неравенству |
|||||||||||||||
Йенсена |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ехр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ехр |
Ttft |
dt. |
|
Поэтому, |
если Т |
26, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М ехр |
|
$ dt |
|
|
sup |
М ехр(ößf) < |
оо, |
|
||||||
и по теореме 6.1 |
M<pr (ß )= 1. |
|
|
qpr (ß) |
в |
виде |
произве |
|||||||||
Пусть |
теперь |
Т >J |
26. |
|
Представим |
|||||||||||
|
j ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
дения |
|
|
|
|
|
|
|
П—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фг (ß) = П ф^:+і (ß)> |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
/= О |
I |
|
|
|
|
|
|
|
где 0 = / „ < / , < |
... < t n = |
T, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и шах[^/+1 — |
|
|
|
Г Ѵ + |
‘ |
|
|
г ‘ |
|
ty |
\ |
|
||||
|
(ß) =ехр^ J |
ßt dWt — |
у J |
ßtdtj |
|
|
||||||||||
|
|
%‘+' |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
tj]^2ö . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
M(p^+‘(ß ) = l |
и М |V;/+1 ( |
ß |
|
) |
1 (Р-п. н.). Следо |
||||||||||
вательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mqp7-(ß) = |
M[M(cp7-(ß)|5r ^ _ 1)] = Mcp^_| (ß )= |
... |
= |
Мф/, == 1. |
||||||||||||
Условие |
типа |
(6.46) |
легко |
проверяется в следующих двух |
||||||||||||
случаях. |
|
|
|
|
|
t ^ . T , — гауссовский процесс с |
||||||||||
а) Пусть ß = (ß;, STt), |
||||||||||||||||
|
|
|
sup М I ßt | < |
оо, |
sup Dß, < ОО. |
|
|
|
||||||||
Тогда, выбирая |
|
|
6 < 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
sup Dß* ’ |
|
|
|
|
|
|||||
находим, |
что |
|
|
|
|
|
|
*<Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
exp
2öDßt J
sup M exp (öß^ • : SUp
t < T |
• 26Dß* |
256 |
|
|
|
НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ |
СУПЕРМАРТИНГАЛЫ |
|
[ГЛ. 6 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
б) Пусть |
у — (уt, У t)> |
t < |
т, |
— случайный |
процесс, |
допу |
|||||||||||
скающий дифференциал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
dyt — а (t, |
yt)dt + b(t, |
yt)dWt, |
у0 = ц, |
|
|
|||||||||
где I a(t, |
у) К |
/((1 |
+ | |
у |), |
I b(t, у) |< |
К < |
°° |
и М exp(eif) < оо |
|||||||||
для некоторого е > |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
sup М ехр(6.г/?)<оо, |
||||||||
По теореме 4.7 |
найдется такое öj>0, что |
||||||||||||||||
а значит, |
при |
некотором |
б > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
sup М ехр (6а2 (t, |
yt)) < оо, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
с<г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и, следовательно, Мф*(ф)=1, |
где ßt — a(t, |
yt). |
|
STt), |
|||||||||||||
П р и м е р |
|
4. Пусть |
процессы |
|
ß = |
(ßf, |
t) |
и W = (Wt, |
|||||||||
t ^ 7, |
независимы |
|
и P |
|
|
ß^ dt |
< |
ooj = 1. |
Тогда |
Mqp*(ß)=l, |
|||||||
f < 7 \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, Р), рассмотрим |
иден |
|||
Для доказательства, нар_яду_с (П, |
|||||||||||||||||
тичное |
ему |
пространство |
(□, |
|
, |
Р) |
и на вероятностном |
про |
|||||||||
странстве |
(Й X й, |
У X У , |
Р X Р) |
определим |
случайную |
вели |
|||||||||||
чину |
|
|
|
|
|
|
/ |
т |
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Фг (со, со) = |
|
ехр Ц |
ßt (со) dWt (ё) — у |
J ß* (со) dtj . |
|
|||||||||||
В силу |
независимости процессов ß и W |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Мфг ф) = |
I |
фг (со, ë ) d ( P |
X P)(ö>, ё). |
|
|
|||||||||
По теореме Фубини |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
j ФГ (со, ë ) d ( P X Р) (со, ё) = J |
Фг (со, со) dP (со) dP (со). |
||||||||||||||||
йхТ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ü |
|
|
|
|
. |
|
Но Р-п. и. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і |
е х р |
|
|
J |
Р? |
|
|
(®) — |
ехР^ P |
J |
ß? (“ ) |
< 00 . |
|
||||
и поэтому в силу теоремы 6.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
| ф г (со, |
со)с/Р(со)=1 |
(Р-п. н.), |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а значит, |
и Мф7 (ß)= |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
