Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 291

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 2]

 

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАРТИНГАЛЫ

%1

П р и м е р 5. Условие

независимости

процессов ß и W, сфор­

мулированное в предыдущем примере,

можно

ослабить, заме­

нив его независимостью сг-алгебр

 

 

^

= <4®: ß0. У < « +

е)

и PYtt = o[w Wv - W ' , s ^ v ^ t }

для 0 < м < 5 < / < Г , е > 0 .

 

 

Действительно, пусть

 

 

 

 

 

0= П 0< ^ < ...

< t n = T и ш ах[^+1 — ^ ] < е .

Тогда

согласно примеру

4

M(p^+1(ß ) = l и М ^ф^/+І (ß) J^ ”/у) = 1

(Р-п. н.).

Применяя теперь прием, использованный в примере 3,

находим,

что

 

 

 

 

 

 

 

—I

 

 

 

 

 

Мфг (ß) = М пфt{+' (ß) = Мфо1(ß) =

1.

4.

Покажем теперь,

что в теореме 6.1 условие

 

 

М exp

J ß^dsj <

оо ,

 

вообще говоря, неулучшаемо в том смысле, что выполнение для любого е > 0 условия

 

 

М exp ^

— е) J ß^ cfsj

< оо

 

не влечет за собой равенства

Мфг ^ ) =

1.

 

 

П р и м е р

6.

Пусть

Te =

inf{^:

Wt — (1— e ) t — — a), где

0 < е < у , а > 0.

Покажем

сначала,

что

 

 

 

М exp ^ j

— е) x£j =

exp ((1 — 2е) а),

(6.47)

а затем установим, что

Мф^ < 1,

где фТе =

ехр^И7Те — -Д-j.

Определим

моменты

 

 

 

 

 

 

 

 

т<«> =

inf {t:

п < Wt <

-

а +

(1 — е) t)

 

и установим,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

Мехр

( у — 8) тіп)] “

^ ( ° ) .

(6.48)

 

 

 

 

 

 

 

е~(а+п) - 1

 

—2егг —(1—2г) а -п

 

 

 

g(l—2е)х

Vп ~ е-(а+2еп) _ е

—(I—2е)

а е

"Г

е - (а + Ш ) _

(1—2е) а

 

 

"

 

 

 

 

 

 

9 Р. Ш Липцер, А. Н. Ширяев

258

 

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ

СУПЕРМАРТИНГАЛЫ

 

[ГЛ. 6

 

 

 

является

решением дифференциального уравнения

 

 

VI (х) - 2 (1 - е) Ѵ'п (х) + (1 - 2е) Ѵп (х) = О

 

с Ѵп(— а) = Ѵп (п) =

1.

 

 

 

 

 

 

 

( І _ е\,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для доказательства (6.48) рассмотрим функцию Ѵп(х)е'2 ' .

По формуле Ито

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѵп ( \w j exp [(у — e) г«»)] =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jn)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= K„(0)+

V'n (xs) exp

y - B l S

dW„

где xt =

Wt — (1— e)t. Ясно также, что для

всякого N^sQ

V»(x r^ a n ) ехР Ц д ~ е] ^ n )A N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=Vn(0)+

Т < « ) /

 

 

 

 

 

 

чена, то

 

 

 

J

 

функция Ѵ'п (х) ограни­

 

 

 

 

 

 

 

Vn(Xs) exp

— e j ,

dW,

Поэтому,

поскольку

для — а ^ . х ^ . п

 

 

 

 

 

 

 

 

А N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М

 

 

Ѵп (Xs) exp

(у -

8 S

dWs =

0

 

и, следовательнооJ,

 

 

у

—-ej

 

Д N

= И„(0).

(6.49)

 

 

(xf ) A«) exP

 

 

 

 

 

 

 

 

Легко проверяется, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О <

inf

Vn{x)<

sup

 

Vn{x)<oo,

 

а значит,

 

 

 

 

 

 

 

(0)

 

 

 

 

M exp

j

— ej т<га>A N

 

 

V n

 

< OO.

 

 

 

inf

V n (x)

 

 

 

 

 

 

 

—as£xs£n

 

 

 

Отсюда после

предельного перехода

(N —>■оо) получаем

 

 

 

М ехр |^ у — ej теп( >

 

Ѵп

(0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

inf

Ѵп W •

 

§ 2]

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАРТИНГАЛЫ

259

 

Из этого неравенства и неравенства

вытекает, что в (6.49) возможен предельный переход под зна­ ком математического ожидания при N-+oo, что с учетом ра­ венства

Уп(*т(П,) = 1

(Р-п. н.)

приводит к соотношению (6.48). Делая в нем предельный пе­ реход (д-*оо), получаем требуемое соотношение (6.47).

Наконец, заметим, что

Фте = ехР (w xe — х ) = ехР( W 4 — I1 — 6) те) ехР ((у “ е) те) =

= ехр

Отсюда в силу (6.47) вытекает, что

Mqp^ = е~2еа < 1.

5.Приведем еще два примера, в которых нарушается ра­

венство

Mqpf(ß) =

l , ' a значит, (6.37)

не выполнено. В первом

из

этих

примеров Т = оо, во втором

Т — 1.

 

 

П р и м е р

7.

Пусть

 

=

exp Wt

и х =

inf {t: Wt = — 1}.

Тогда Р ( т < о о ) = 1

(гл.

1,

§ 3)

и

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф т =

ехр( — 1 -

у )

<е - 1.

 

Следовательно,

Мфт <

е~х<

1.

 

 

 

 

П р и м е р

8.

Пусть

О ^ Н ^ І ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в ,=

____

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pt

 

 

 

 

 

где

т =

inf ^ ^ 1: W2t — 1 — t }.

 

 

 

 

Тогда,

поскольку

Р ( 0 < т < 1 ) = 1 ,

то

 

г „

 

г

 

wi

 

 

 

 

Г

Щ

< оо (Р-п. н.).

J

$)dt — A J

 

•(1- ,7 )«-x(t><,^= = 4 J -(1~ Т)4-

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

По формуле

Ито для

t <

1

 

 

 

 

 

/

IF ?

 

\

 

21V]

 

 

2 W t

 

1

 

d \ (1 - t ) 2 ) =

(1 -

t ) 3 d t ^

(1 - t y

d W t +

(1 ' - t f d t *

9*

260 НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ СУПЕРМАРТИНГАЛЫ [ГЛ. 6

откуда

1

 

2Wt

 

1

Г

4W]

 

и

(1 —t)2 х(т> t ) ^ t ~ Y J (1 —о4 (Т>0 dt ■

 

 

 

О

 

 

_

«1

,

Г 2W2t

^

, f

21F?

 

(I -Т )* ^ J (1 - о 3

г

J( 1 - 0

(1 - О4 dt

 

 

т.

 

 

1

 

 

+

J*{

2 lFf (1 — О3

J +1 (1 - О2 ^dt с

 

(1 —О"

 

 

 

 

 

1

т

 

 

 

 

 

+1 J ( I - / ) -2d t = — 1.

 

 

 

 

 

1 - т

 

 

 

 

 

 

о

Поэтому Мф| ( ß ) ^ e -1 < 1.

§3. Теорема Гирсанова и ее обобщение

1.Рассмотрим на вероятностном пространстве (Q, SF, Р)

винеровский

процесс W = (Wt,

$Гt),

t ^ T ,

и

случайный про­

цесс у = (yt,

g~t), / < Г ,

с Р

y2t dt < o o j= l. Пусть

STt),

t ^ T , — неотрицательный непрерывный супермартингал

с

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

h = ^ + \ y , d W 8.

 

 

(6.50)

 

 

 

 

о

 

 

 

 

Если М?г =

1,

то процесс l =

і), t ^ T ,

будет неотри­

цательным мартингалом (лемма 6.4)

и на измеримом простран­

стве (Q, Т т) определена

вероятностная мера

Р

с dP — іт(а) dP.

Т е о р е м а

6.2.

Если M$r (<ü)=l,

то на вероятностном про­

странстве (Q,

 

, Р) случайный

процесс W — (Wt, @~), t ^

Г с*)

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

Wt = W t -

$ t f y ads

 

 

(6.51)

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

является винеровским

(относительно

системы

0 ^

t ^ Т,

имеры Р).

2.Доказательству этой теоремы предпошлем ряд вспомо­ гательных предложений.

*) &£= 37'> если

0, и ;$+=0 при äs = 0. Из приводимой ниже

дрммы 6.5 вытекает, что

(Р-Ц. н.).

5 3] ТЕОРЕМА ГИРСАНОВА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЕ 261

Лемма 6.5.

Пусть М$г=

1. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

Р (

 

inf

*, =

0) = 0.

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По

определению меры

Р

 

 

Р (

inf

8/ =

0) =

f

 

hdP(a>).

 

 

 

 

 

 

 

 

{со: inf а<- о }

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0</<Г

 

 

 

 

Пусть

T =

inf{^<7’: h = 0}

и

т =

оо ,

если

inf

h > 0 . Тогда

{©: inf

fo =

0}=

{co: т ^ Г }

и,

 

 

 

0 < * < г '

следовательно,

по

теореме 3.6

0<f<T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р (

inf

3/ =

0) =

 

J

dP

 

J

at rfP = o.

 

 

 

 

 

{СО: Т < Г )

 

(и: 1 < Г )

 

 

Л е м м а

6.6.

Пусть

М$г = 1

и

г) =

т)(со) — SF(-измеримая

случайная

величина с*)

М|

т](м)

| <

оо,

и

 

Пусть

М(лІ^%)— один из вариантов условного математического ооюи-

дания, O

^ s ^ r .

 

Тогда,

если

s ^ t ,

 

то

 

 

 

 

м (л I Р 8) =

äJM (r\h I P

s)

(Р-п. H.).

 

(6.52)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть X=

X(со) — ограниченная ^ - и з ­

меримая

случайная величина

и s ^ i .

Тогда

 

 

м (лЯ,) =

М [ЯМ (Л I Р,)\ =

м [ЯМ (Л I P s) irl =

 

 

 

 

= М [ЯМ (Л I P s) М (ЬтI Р')\ =

М [ХьМ (л I P s)l

(6.53)

С другой стороны,

 

 

 

 

 

 

 

М (лЯ) =

М (Ятйг) =

М (ЯлМ (jr I P t)) = М (Яг«,) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= М[ЯМ(лИ#|^ ) ] .

 

(6.54)

Из (6.53)

и (6.54)

следует,

что Р- и Р-п. н.

 

 

 

 

 

 

 

isM

^ i r e) = M(TRt |^ ,) .

 

(6.55)

H o P ( j s > 0 ) =

l.

 

Поэтому

Р (з Г '= з Я — 1 и (6.52)

в

случае

s ^ /

следует

из

(6.55).

 

 

то из (6.52) следует,

что

 

З а м е ч а н и е .

 

Если л = 1 ,

 

 

 

 

 

 

h i t

=

1

(Р-п. н.),

 

 

так что Мы* =

1.

В то же время

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mjsi? =

P(äs > 0).

 

 

*)

обозначает усреднение по мере Р.

 

 

 

Смотрите также файлы