Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Л е м м а

6.7.

Пусть

{ |„ ^ 0 ,

п — 1,

2, . ..} — последователь­

ность

случайных

величин

таких,

что

£„ - » | {по вероятности),

п-> оо. £сѵш М£л =

Mg — С,

го

l i mMU — і»| =

0.

(6.56)

tl->oo

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Имеем

+(InМ—I)

=

М\1 —ln \ =

М(I — ln)

-

м (5 -

у

x,s> 5„, +

М & - 1)■- М (|„ - і) *(6>Еп).

Но М (£„ — £) =

0.

Поэтому

М ||

| ге| =

2М (|

Іга)^(5 >!„)’

(6.57)

где 0 < ( | —

Поэтому по теореме Лебега о мажо­

рируемой

сходимости

lim

М (| — £

. = 0 ,

что

вместе

с (6.57) доказывает

п-»<х>

ѵ

га/

(6.56).

некотором измеримом

пространстве

(X,

Л е м м а

6.8. Пусть

на

Ж) заданы две неотрицательные меры ѵ и ѵ,

причем

ѵ < ѵ

и ё ( х) ==^

(

х)- Если ѵ {х: g (х) =

0} =

0, то ѵ<Сѵ и

% ( х) = ё~Чх)

(ѵ-п. н.).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

Л е $ .

Тогда

J ё + (х) dv (х) = J g+ (х) g (х) dv (х).

Но

А

А

1,

ё М > о>

ё + (х) ё(х) =

0,

8 (X) = 0.

Поэтому

J ё + (х) dv (х) — v[Af}{x: g (х) > 0}] =

ѵ (А) — ѵ[А(){х: g (х) =

0}],

л

где

по предположению

леммы

ѵ[ЛП{*: ё (х) =

0}] <

V{х\

g(x) = 0} =

0.

Следовательно,

VM)= J g + (x)dv (х),

А

что

и

доказывает

лемму,

поскольку

g + (х) совпадает

ѵ-

и

у-п.

н,

с g~l (х).

§ 3]

ТЕОРЕМА ГИРСАНОВА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЕ

265

Поскольку

Р (

f Y®ds + supjs <

оо] = 1,

Р ( inf ^ > 0) =

1

\о

s<r

/

s< r

И

&t )

8<ЛѴ

~

іл%п

W f = W -

j

Тогда

6

f

<

^

=

1 +

J

Y f

И

#<*) -

Wt - j $">)+ Y f ds.

о

0

Пусть

мера

Pw определена равенством dPln) =

j*rn) (oa) rfP.

Процесс

J(n) =

(j^,

0 ^

t ^

Г,

является

мартингалом

с

=

1,

и для

него выполнено предложение (6.59) с с2 — п,

т

Сі =

п~1. Кроме того,

М J (у(я))2 di ^

п <

оо, и, следовательно,

о

М(га) {exp [іг (W\n) -

r f ) ]

I F*} = e x p { - -у- (f — s)},

(6.64)

где Mw — усреднение

по мере

P(n).

Для завершения доказательства осталось лишь показать,

что по P -вероятности

при « —> оо

М(л) {ехр [іг ( W[n) — W[n))\ I Fs) -> M {exp [iz (Wt — Ws)\ 1T J.

(6.65)

Поскольку

при « - > 0 0

M (exp [iz ( m n) -

r f ) ]

I Г ,}

-£-> M {exp [iz (Wt - r s)] | F s},

то для доказательства

(6.65)

достаточно проверить лишь, что

Um М I

{ехр [іг ( Щп) — W(sn)) I &~s) —

Я-»оо

-

М {ехр [іг ( W{tn] -

# 'n>)] I 3~s) I =

0.

(6.66)

В силу леммы 6.8

при

каждом п — 1,

2, ... мера

Ріп) экви­

валентна мере Р,

а значит,

Р <

Ріп).

(6.67)

266

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ СУПЕРМАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 3

Согласно лемме 6.6 Р(га,-п. н. и (в силу (6.67)) Р-п. н.

M(tt) {exp [iz т п)- W{sn>)\ I

Fs) =

M ( exp [iz (W f

-

W(sn))} ~

} (6.68)

и

M {exp [iz (Wf) -

t

f >)] j 3~s] =

M {exp [iz (W?> -

Wf)] g+g, | ^ } .

Поэтому

(6.69)

M I M < n < {exp [iz(#<»> -

#<">)] I ^

s} -

M

{exp [/z(#<"> -

W f)\ | F s\ |=

=

M IM j exp [iz {W\(n) .

' «

Г

<

U

r

*s+ i /

П

я , )1

i( r a >

. <M M

3f

О /

Лп)

‘ )

-

= M

6 56 5 S/

VS

r

=

М | М в+ Л х яЗ < л х п - М ^ | -

( 6 - 7 ° )

Покажем теперь,

что У +л,

л %п

У +gt

Р-п. н. при я-»оо.

Введем

момент

r =

in f( 7 ^ r:

=

0),

полагая

х — Т,

если

inf

>

0. Тогда,

поскольку

d s< o o

= 1 ,

P(supgs <

оо) =

1,

J

s<r

то

введенные

ранее

марковские

моменты

т„,

п = 1,

2, . . . ,

обладают тем свойством, что Р-п.

и.

тя f

т,

п~> оо.

Согласно

замечанию 2 к теореме 3.5

gt =

0

({^>т};

Р-п. н.).

Отсюда

для

всех

получаем

= %

(Р-п. н.).

Поэтому достаточно показать,

что

l i v L

Л

Л

Л т

Ss A tC a t ^ A t-

(6.71)

В силу непрерывности %t,

^

Г, (6.71) будет иметь

место,

если ^ л Л +л т „ ^ ^ л Л +лт>

п ^ ° °

(Р-п. и.).

Но gsAtä+A t= 0

на

множестве { s>

х}

и для

всех п = 1,

2, ...

gsATg+AT = 0 , а

на

множестве {т >

s}

infg

Лт

> 0 ,

и,

следовательно,

П

Л

^лт14 т „ ^

8іЛА+лі>

п->оо

(Р-П. и.)

Итак, Р-п. и.

W<")

,

(6.72)

~ м Г

Ms У

0$