Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

м у д

= м [у*+ м (і/ I г

s)\=

м [ у , ч ] = m s =

1

( п )

= м

= м

г

Мз = 1 .

м іА ÖS

,(n) Os

Поэтому по лемме 6.7

lim

М

= 0,

П->оо

откуда и следует требуемое соотношение (6.66).

Теорема 6.2

доказана.

4.

Пусть і = (іі,

&~t)> t ^ T

, — супермартингал специального

вида

с

h =

ехр

M I F S-

1 J

\2s ds

(6.73)

где P ^ | ß 2 ö f s < o o J

=

l.

Тогда

t

а,= 1+ J Ys dWs

о Ys

äsßs'

о

Из теоремы 6.2 для рассматриваемого случая получаем

следующий результат.

В.

Гирсанов). Если Мзг = 1 ,

то случай­

Т е о р е м а

6.3

(И.

ный процесс

t

Wt = W t - j

ßs ds

о

является винеровским

относительно системы (ЗГt),

0 ^ t ^ Т,

и вероятностной меры

Р

(dP =

%т(со)dP).

З а м е ч а н и е .

Примером

неотрицательного

мартингала

t

/

т

h =

1 + { Ys dWs, 0 <

t <

Т,

с Р ( I у*ds < 00j =

l,

не пред-

о

Ѵо

мартингал

ставимого в виде (6.73). может

служить

где

i t = l + w t A X ,

о

т =

inf {/:

W ,= — 1).

268

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ

СУПЕРМАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 6

5.

Приведем также многомерный

вариант теоремы 6.2.

Пусть

\t =

(yi{t), $Ft),

О

/ = 1 , . ...

п, — случай­

ные

процессы

с Р ^ j у?(/) ^

< оо j

= 1, г = 1, . . . , /г, и W =

= {W{ (t) , . . . ,

Wn{ t ) , T t),

0 <

t < Т, — n-мерный

винеровский

процесс.

в рассмотрение

случайный процесс

Введем

t

п

*/=1 +

I

^ y i ^ d W i i s ) ,

(6.74)

о

1=1

Л е м м а

6.9.

Существует винеровский процесс W — (Wt, t),

О ^ t ^ Т,

такой,

что для

каждого t,

0 t ^ Т,

Р-п. н.

t

3/=1 + J 4

^

(6-75)

о

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

то положим

P{ys > 0 ,

0 < s < n = l ,

(6.76)

t

п

Тогда из теоремы 4.1 следует, что процесс (Wt, ^t),

является винеровским.

В общем случае

определим

t

П

t

&t = J

Y,+ S

Y, (s) dWt (s) +

J (1 -

y+ (s) у (s)) dzs,

0

1=1

0

где (zt, STt),

— винеровский процесс, не

зависящий

от процесса W. (Тем самым мы предполагаем, что исходное

вероятностное

пространство (Q,

Р)

является

достаточно

следует взять, например, пространство (QXQ,

РХ Р ).)

Процесс W — {Wt, STt) является непрерывным

квадратично

интегрируемым мартингалом. Покажем, что

m { W t - W sf \ ^ s] = t - s

(Р-п. ж).

(6.77)

§ 3]

ТЕОРЕМА ГИРСАНОВА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЕ

269

По формуле Ито

t ' - Щ = 2

J r

„

v j V,S («> «гг, (« )

+

(1- ѵ:ѵ.) «<*„

+

і—1

+ J[(« v „ )! +

(1- W

H “-

Но

(1 -

Р-п. н.

(у^Ѵы)2 +

yJYu)2 = Y u Y u + 0 -

Yu Yu) =

L

Следовательно, Р-п. н.

м \ф, -

W,f I Г , ]

-

м [# * -

г *

I Г , |

=

г - S.

Из теоремы 4.1

вытекает,

что процесс W7 =

(Wt, @~t) является

винеровским. Осталось проверить справедливость Р-п. и. равен­

ства

(6.75).

Имеем

t

t

п

t

н - J

Ys dWs =

1 +

J

YSY+ £

yt (s) dWt (S) +

J Ys(1 -

y,+Y,) dz, =

0

0

1=1

0

t

n

=

i

+

f

о

t'=1

поскольку Р-п. н. для любого

5,

0=S^S^7\

Ys(l

YfYs)~Ys

YsYfYs~Ys

Ys ~ 0 -

Значит,

t

t

tl

1 +

JysdWs = it -

I

(1

- YsYf) 2

Vi (*) ^

(^)-

(6 -

0

0

i=1

Ho

/ t

n

M М

( і - ш

Е ѵ ,

(*)< гг,м

'о

г=і

t

t

=

M

J (1 —

\У ѵ Я 2 Ѵ

^

=

М—JYsYs)Ysds==0>

о

о

И з

д о к а з а н н о й л е м м ы л е г к о в ы в о д я т с я с л е д у ю щ и е с в о й с т в а

п р о ц е

с с а 3 = (з„ # " ,),

270

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ СУПЕРМАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 6

С в о й с т в о

1.

Если

3 /^ 0

(Р-п. н.),

то процесс 3 =

У t)

является супермартингалом,

М (^ | £FS)

(Р-п. н.), t ^

s, и

в частности,

2.

Если

Р (

inf ^ > 0 ) — 1, то %t допускает

С в о й с т в о

о<с<г

где P,W — ЗГ'Ѵ<(0-

,),

0 < t < Т, — «-мерный винеров-

Пусть теперь W = (Wh

ский процесс, где (вектор-столбец)

Wt = [W{ (t),

. . . ,

Wn (^)].

Пусть у = (y„ @~t)>

0 ^

t ^

Т, — также «-мерный

процесс

с (вектор-столбцом)

/ п

т

\

у<= [уі W.

У«(01

и

р ( 2

J У<(^)^ < оо

=

1.

Положим

(=1

о

t

bt —

i +

f y ' J W , ,

(6.79)

о

Как и в одномерном

случае (п = 1),

доказывается

следую­

щий многомерный аналог теоремы 6.2.

Т е о р е м а 6.4. Пусть М^г = 1 . Тогда п-мерный случайный

процесс

t

о

является (относительно системы (#",),

и меры Р

с dP =

= (со) dPj винеровским

процессом.