Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

1. Пусть

(Q, 9~, Р) — полное

вероятностное

пространство,

F = (£Tt),

0, — неубывающее

семейство

сг-подалгебр 3~ и

W = (Wt, 9~t),

t ^ O , — винеровский процесс.

(£„ &~t), O ^ t ^ T ,

Рассмотрим случайный процесс Ито*)

£ =

с дифференциалом**)

dlt = h(<i>)dt + dW(,

= 0,

(7.1)

Обозначим (Cj-, $ T) измеримое

пространство непрерывных

функций х — {х^, s ^ . T , с

х0 =

0,

и пусть fx^,

n w— меры

в (Су, $ т), отвечающие процессам

£ =

(£s)> s ^ T ,

я W =

(Ws),

s < T :

pw (В) = Р {со: № е= В].

(7.2)

ц, (В) = Р {со: і е= В),

Пусть

и

ц, w — сужения

мер

ц.

и

pw на $ t =

= о{х:

xs,

s ^ t } .

Через dH

х)

d\i

х)

будут обозна­

и

чь

dH

*)

В случае Т = оо предполагается,

что 0 ^

t <

op,

**)

См. определение 6 в § 2 гл. 4,

272

АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР

[ГЛ. 7

rf?V (х)

d№w

х),

dH (X)

dH (T, X).

(т,

dH

d^w

d^w

djig

dpg

Через dp. -(g),

dH,, (t, I) обозначаются

соответственно d?~\-

dpE

djXt

новке в -т-Мх),

-y-^-{t,x) вместо х функции g = (gs (со», s < 7 \

Ujiyr

“Иде-

Аналогичным образом определяются

,

(t, W),

~(Ц7), ..

2. Т е о р е м а

7.1. Пусть £ = (|„

t),

/ < 7 \

— процесс Ито

с дифференциалом (7.1). Если

Р

Ц $ d t

<

o

o j =

1,

(7.3)

Р| ~

,

7

т

п Р-п. н.—J

ß , d W t

—уJ

ß frf *

=

1 ,

М exp j

U

U

(7.4)

^

J

Г О

*)

-I М^+ ДJ

d№w (g)=M

exp

(7.5)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим

i/=expf-J ßs^ s-y / ßjdsj.

Поскольку

по

предположению

(7.4)

Mgr =

l, то

(лемма

6.4)

b = (it’

является

мартингалом. Пусть

Р — мера на

(Q, И~)

с < і Р =

іт( © ) ^ Р .

По

теореме

6.3

процесс

l =

(h,

&~t),

t

ßs d%s

*) По

поводу определения

стохастического

интеграла

J

см. гл- 4,

§ 2.

0

t ^ . T ,

является

винеровским

(по

мере

Р),

а следовательно,

для

^ ( Л ) =

Р ( £ е Л ) =

J

s » d P =

J

M(ar (® )i^6)dP. (7.6)

{и: І^ Л }

{и: 5<=Л}

Случайная величина

М (Зг (со) | ^~|.)

является £Г|.-измеримой,

и, следовательно *),

найдется

такая

^-измеримая

неотрица­

тельная

функция Ф(х), что Р-п. н.

М М ® ) І П ) =

Ф(£(®))-

(7-7)

(Для наглядности

эту функцию Ф(л:)

будем

обозначать также

М (Зг (®) I

Аналогичные

обозначения

используются и

в других

случаях.)

можно переписать в следующем виде:

Тогда

формулу (7.6)

|і^ ( Л )=

f

Ф (I И ) dP (о) =

f Ф (х) d\i%(х).

{со: і«=Л}

Л

Отсюда получаем

|і г

<

^ и

^Ж.(х) = Ф(х)

(іуп.н.).

Поэтому в силу (7.7)

(І) = м(аг (со)Щ ).

(Р-п. Н.),

что вместе с (7.1) доказывает представление (7.5).

Осталось теперь показать, что

-С nw. Для доказатель­

ства заметим, что

-дрг (®) = к

(®).

причем

Р (5г (®) — 0) =

0,

поскольку

в силу условия

(7.3)

fodWt

<

°о) =

1.

dP

(ы)

\г](“ )•

dP

ПРОЦЕССЫ

ИТО

275

П р и м е р

1.

Пусть l t = %■t + Wt, / < 1 , где Ѳ= Ѳ(со) — Со­

измеримая нормально

распределенная

случайная

величина,

N(0, 1), не зависящая от винеровского

процесса

W.

Согласно

примеру 4 § 2 гл. 6

М exp

ѲИД —

=

1, и по теореме 7.1

dnw . .

. .

Г

/

Ѳ2

dii. •(і) = м

ехр

Ѳ|, +

Условное

распределение

Р(Ѳ <|г/|5Г|)

является

нормаль­

ным,

у ) .

Поэтому

М

ехр ( - Ѳ£, +

I Н

= Ѵ2 ехр ( -

Щ .

Следовательно,

dv-w / ч

і / іт

[

хі

dji!

1

X

(7.11)

—— (х) =

V 2 ехр

— —

(х)

-T=exD

—

d\i t

\

4

diiw

V T

'

V 4

Забегая вперед, отметим, что для этих производных можно

дать иные выражения

(§ 4).

Так,

согласно теореме 7.13 Р-п. н.

dfi

1

1

(I) =

ехр

dis +

ds

(7.12)

w-

+ s

■+S

dН

3. Т е о р е м а

7.2.

Пусть £ =

(£*, STt), t < 7 , — процесс Ито

с дифференциалом (7.1). Если P

^ J $ d t <

ooj =

l, то р.. <С р г .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим для

« = 1 , 2, ...

i n f L ^ T : J ß - d s ^ r a j ,

т„ =

(

о

'

т

Т,

если

J

ßj; ds <

п,

и х[п) = %, t

ds

. P(fn) =

x?%.

Пусть

t

If) =

ß'») ds + Wt,

J

0