Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 299
Скачиваний: 0
276 АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР [ГЛ. 7
Тогда, |
поскольку P ^ J (ß^ra))2ds ^ |
nj = |
1, |
то по теореме 6.1 |
||||||
|
|
/ |
Т |
|
T |
|
s |
|
|
|
|
Мехр |
- |
ß<»> dWs - |
\ l ( ^ |
sn))2ds |
= 1 . |
|
|
||
|
Ѵ о |
|
о |
|
|
/ |
|
|
||
Следовательно, |
согласно |
предыдущей |
теореме 7.1 |
р ^ п)~ \ і ѵ |
||||||
для каждого п = 1, |
2,J... |
множестве |
{тга = |
7] |
— |
0 < |
||||
Заметим теперь, |
что на |
|||||||||
^ t ^ Т, Р-п. н. и поэтому для |
любого Г е $ т |
|
|
|||||||
1*5 (Г) = |
Р {<о: Ц ш )еГ } = |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= Р {£(©) е= Г, тя = |
7} + |
Р {£(со) е |
Г, т„ < Т) = |
|
|||||
|
|
= |
Р{|<»>(<в)е=Г, t„ = |
n |
+ P g ( f f l ) e r , |
т „ < Г}. |
||||
Пусть р^(Г) = 0. Тогда, поскольку ц|<П)~Ц,р> Р-Е(п)(Г) = 0 и
Р £<"> е Г, т„ = Т} < Р ( Г >е Г } = р6<я, (Г) = 0.
Следовательно,
ц6(Г) = Р { |е Г , т „ < Г } < Р { т „ < Г } =
|
|
|
=== p |j |
ß|^^> |
0, |
f l — > o o . |
|
Отсюда вытекает, что р5 (Г) = 0, а |
значит, рЕ< |
nw. |
|||||
4. |
Теоремы 7.1 и 7.2 допускают обобщение на многомерный |
||||||
случай. Приведем соответствующие результаты, ограничившись |
|||||||
лишь формулировкой, поскольку их доказательства аналогичны |
|||||||
одномерному случаю. |
|
|
|
|
|
||
Пусть |
W = (Wt,@~t), 0 ^ . t ^ . T , — «-мерный *) винеровский |
||||||
процесс, |
Wi = |
(Wl (t), . ... |
Wn(t)), |
и |
ß = (ßf, 9~t), |
0 < f < Z \ |
|
ß, = (ßi (/), .... |
ß„(f)). |
£ = (^, #%), |
|
— п-мерный |
|||
Т е о р е м а |
7.3. Пусть |
|
|||||
процесс Ито, It — (І! (/), . . . , %п(if)), |
с |
дифференциалом |
|||||
|
|
d%t = h d t + dWt, |
|
go = 0. |
|
(7.13) |
|
) Здесь и далее векторы считаются вектор-столбцами.
§ 2] |
|
|
ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА |
|
277 |
||||||||
Тогда если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.15) |
то |
|
и |
Р-л. н. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ю= м |
exp |
- |
ßt d \ t |
+ |
T |
J |
ßft d t |
|
(7.16) |
|||
|
dH |
|
|
|
о |
J t u bt |
I |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
||
Т е о р е м а |
7.4. |
Пусть |
%— |
|
|
|
|
— п-мерный |
|||||
процесс Ито, |
%t = |
|
. . . , |
£n(t)), |
с дифференциалом |
|
|
||||||
и |
|
|
d \t = $t d t - \ - d W t, |
£o — 0» |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
$ $, |
t d t < |
ooj=l. |
|
|
|
|||
Т огда |
p^ < |
p^,. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 2. Процессы диффузионного типа. Абсолютная |
|
|||||||||||
|
непрерывность их мер относительно винеровской |
|
|||||||||||
1. |
Пусть |
W = {Wt,£Tt), |
O s ^ s ^ r , — винеровский |
процесс, |
|||||||||
заданный |
на |
вероятностном пространстве |
(Q, У , Р) |
с |
выде |
||||||||
ленным в нем семейством о-подалгебр |
(|(, |
0 ^ t ^ Т. |
диф |
||||||||||
Рассмотрим случайный процесс | = |
t), 0 ^ . t ^ T , |
||||||||||||
фузионного |
типа *) |
с дифференциалом |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
dlt = |
at (l)dt + dWu |
|
Іо — 0, |
|
(7.17) |
|||||
где неупреждающий процесс а = {щ (х), Tßt+)> заданный |
на (С^, |
||||||||||||
J r), таков, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
p ( j K ( i ) l ^ < o o j |
= |
l. |
|
|
(7.18) |
||||
Согласно |
теореме |
7.2 условие |
Р |
J |
а] (g) d t < ооj= |
1 обе |
|||||||
спечивает абсолютную непрерывность меры р^ по винеровской
*) См. определение 7 в § 2 гл. 4
278 |
АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР |
[ГЛ. 7 |
мере pw. Оказывается, что для процесса диффузионного типа это условие не только достаточно, но и необходимо.
Т е о р е м а 7.5. Пусть %= {%, ЗГt), 0 < t < Т, — процесс диф фузионного типа с дифференциалом (7.17). Тогда
Р ( j a2t (l)dt< 00] = 1 & |
(7.19) |
|
'0 |
/ |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Утверждение «гф » |
следует из тео |
ремы 7.2. Для доказательства обратного утверждения обозна-
|
|
d\i. |
|
х), 0 < Д г^Г . |
Покажем, |
что |
процесс |
$ — |
|||||
чим йДх) = -т—:~{t, |
|||||||||||||
= (5ДЦ7), @~У), |
0 < * < Г , |
является мартингалом. |
|
|
|||||||||
Пусть s < t |
и l ( W ) — ограниченная |
17~Г-измеримая случай |
|||||||||||
ная величина. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
M l (W) ы (W) = |
I Я, (X) |
|
(t, X) d p w (X) = |
|
|
|
|
||||||
= |
J |
л(x) dpt' g (x) = |
J l |
(x) dys l (x) = |
j l |
(x) |
(x) d\is w (x), |
||||||
откуда |
получаем M (д {W)\ @~J) — ls {W) |
(P-п. h.), |
t > s. |
|
|||||||||
Применим к мартингалу |
|
^ = |
(^(\F), |
|
|
|
|
тео |
|||||
рему 5.7. Согласно этой теореме найдется процесс |
|
||||||||||||
Y = |
(Vf |
(co),PJ), |
0 |
< |
/ |
< 7 |
\ |
с |
Р |
^ |
| ѵ ? ( о ) Л |
< o |
|
такой, |
что для |
каждого |
t, |
|
|
Р-п. н. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h(W)=\ |
+ |
Jys{ei)dWs. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
При этом |
процесс |
fo(W), |
0 ^ / ^ Г , |
является |
непрерывным |
||||||||
с вероятностью |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим теперь на вероятностном пространстве (Q, £Г, Р) с dp (со) = іт(со)dP (со) случайный процесс W = (Wt, 5r f))
< / < 7 \ с
t |
|
w t = \Vt — J Bs(w)ds, |
(7.21) |
о
§ 21 |
ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА |
279 |
где Д.(со) = (ф(Ц7) Ys (®)- По теореме 6.2 этот процесс является
винеровским. При доказательстве этой теоремы было показано также, что
Р I I B2S(м) ds < оо j = 1. |
(7.22) |
Согласно лемме 4.9 |
найдется такой функционал ß = (ßs (;e), â$s+), |
что для почти всех |
(Р-п. и.) |
ßsN = ßs(^H ),
а следовательно, |
|
|
|
Wt = W t ~ |
j ßs(W)äs, |
Р-п. |
и. |
В силу (7.22) |
|
|
|
Р J ß l ( W ) d s < 00 = 1. |
|
||
Из этого равенства и предположения |
-С |
следует, что |
|
p ( j ß |
s2 ( Z ) d s < o o ) |
= l. |
(7.23) |
Действительно,
Р ( J ß^(g)rfs < °°) = Ц| \х: I ß](x)dt < оо I =
= j Xf г |
(х)dnl (x) = j |
%, Т |
|
,(x)iT(x)d[iw (x) |
|
J |
ßj М dt < оо j. |
J |
IJ |
^ ( x ) d t < |
оо |
іи |
|
|
|
|
|
|
MXf т |
(W)lT(W) = P j |
ß2(r)ds < OO = 1 . |
||
|
j (?t ( W ) d t |
< OO |
|
|
|
|
lo |
i |
|
|
|
Определим теперь на вероятностном пространстве (Q, £Г, Р) |
|||||
процесс |
W = (Wt (l), |
0 < П ^ Г , |
полагая |
||
t
Wt (х) = x t - \ ß, (х) ds, X «= Ст. |
(7.24) |
