Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл (19,70Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 302

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

280	АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР	[ГЛ. I
280

Этот процесс при х = £ является винеровским. В самом деле, пусть X = h(l) — ограниченная ^-измеримая случайная вели

чина. Тогда

М	Ч		і	= I К{х)еіг^ і (х)~ ® ^				dH (x) =
	=	I X{x)eiz^ ‘ix)- ^			{x\ ( x ) d i i w {x) =
	=		k(W) еіг if r f s]jr (W) dP =				МЛ{W) eiz I			=
		М{Л(W) M \eiz			I g -s] } =		МЛ (W) e~T (i~a) =
	— J				I g -s] } =		МЛ (W) e~T (i~a) =
				= e ' ~ (t~S) Л (Г) t			(W) dP =		e~T	(' “в)МЯ (\|).
		стороны,
С другой		МЛ(I) еіг [<-*] == M I(Л(I) М [ei						z	\| ^ l]} ,
и,	следовательно,
				Mleiz(Wt-$s)\3rl] =		e ~ ^ it~s\
Из	(7.18)	и (7.24)		получаем	t
					t
			w t (i) ~ w t =		j [а, (I) -	ßs(%)]ds,				(7.25)
					о
где {Wt, F fj и (Wt, ^ f),					— два винеровских процесса.
Значит, с		одной		стороны,	процесс	(Wt — Wt, £Ff),				0 t ^ T ,

является квадратично интегрируемым мартингалом, с другой стороны, он имеет специальный вид (7.25). Из приводимой

ниже леммы вытекает, что в таком случае Wt — Wt = 0 (Р-п. н.)

для всех t,	0
Л е м м а	7.1. Пусть т\ = (ЦиЗГі)>					— квадратично
интегрируемый мартингал,			допускающий		представление
			t
		% = j	f s d s ,	Р-п. и.,		(7.26)
		о
где неупреждающий процесс f — ( f s , @~s),					0 ^	s ^ T , таков, что
P^Jl/s4s<°°j		= l- Тогда с вероятностью 1 ^ — 0 для почти
		= l- Тогда с вероятностью 1 ^ — 0 для почти
всех t, 0 ^ t	Т,

§ %		ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА							281
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Пусть	тЛ =	іп{ ^	<	Г:	j \ f s \d s ^ s N j
		т
и Тдг =	Т, если	11 fs I ds < N. Обозначим				= х		и	=
t	о						*
t
= j X{sN)fsds-
Процесс « > ,		g-W), 0 < f < 7 \		с	=			будет квад
ратично	интегрируемым		мартингалом		(теорема		3.6), и поэтому

где 0 =	t0< ...	< tn — t		и ша’х\| tJ+l — tj (—> 0, п->оо.
Поскольку					‘/•и
					‘/•и
			— < >==J
то
	я - 1 / * І + і
М (тf >)2 = Jim S		М ^	J	4'V,/S	j <
			^/+1		и—1(/+1
<	ііш М	.max	J		J x f > \| M rfs
	П -> оо		t,		/=о tj
				4 +1	r

--Hm М

«- » О О

J	X<w)\| / S \| d s J x < w \| f s <\|r fs

^+i

			<	W lim М		max	f	x f ’ l / s l ^
				«-»00	/<«- І		У
	‘/+1
Но max	J	%[^\fs \ d s ^ . N и		при п-»оо с			вероятностью 1
стремится	*і		Следовательно,		t			и п о лемме
стремится			Следовательно,		t
Фату	к	нулю.			M( ])W))2 =		0
		Мт)\| = М ( Пт тір)2 < lim			М hftN)f =		0.
			ІѴ-»оо			'

282

АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР

[ГЛ. 1

Лемма доказана.

7.5.

Поскольку

Вернемся теперь к доказательству теоремы

Wt — Wt =

(Р-п. н.) для всех t,

0 ^ . t ^ . T ,

то из

представле

ния

(7.25)

леммы

7.1 следует,

что as (£) =

ßÄ(|)

Р-п. н. для

почти всех s, Q ^ s ^ T . Но согласно (7.23) Р I J

(£) ds <

оо J = 1.

Поэтому и Р ^ J*

a?(l)ds< ooj =

что

завершает

доказа

тельство теоремы 7.5.

Согласно теореме 7.5

в случае процессов диффузионного

/ г

типа

условие

P|^J a1iQdt <

00J = 1

является

необходи мым и

достаточным для

абсолютной непрерывности меры

по мере p w.

Займемся теперь

изучением

процессов

itЛ)

k (W):

it, W).

dfx

Т е о р е м а

7.6. Пусть g =

@~t),

0 ^

t ^

T, — процесс диф

фузионного

типа с

dlt = at Ü)dt + dWt,

|о =

(7.27)

Тогда, если P ^ J с^(£)dt < ooj == 1, то процесс %t iW),

является единственным решением уравнения

	а*0П=1 + JSsWasiW)dWs,									(7.28)
dH	it,	W) — exp Г((a (W))	2	оJ	a2(W)rfs		P-п. H.,			(7.29)
d]iw			2	оJ		" s '		h .	,
	i t ,					a2s H)ds \|	Р-п.			(7.30)
d ^w		i) = exp\| ^ as(£)tf\|s —		-j	I
t							t
P I I	a2(W)ds < oo j = Mexp( -			\|	a3(l)dWs —		a2sil)ds ).
ü				0			0			(7.31)
										(7.31)

§ 2]

ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА

283

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для

доказательства

первого

утвер

ждения прежде всего покажем,

что процесс lt (W),

t ^ T ,

таков,

что Р

' ^

= 1.

этой

целью,

используя

($ Д Г К (Г ))2^ < о о |

обозначения, принятые при доказательстве

теоремы

7.5,

уста

новим

сначала,

что Р-п.

н.

для почти

каждого

(7.32)

Заметим, во-первых,

что,

как

показано

теореме

7.5,

Р (txs(£,)=7^=ßs Ш )=0 Для почти всех s<T . Во-вторых, Р

(|)= 0 )= 0 ,

S ^ r ,

поскольку

Р (*, (£) = 0) = ü6 (*:

(X) -

0) =

M(s (W) %[ism=0} = 0.

Следовательно,

0 =

(8s(*)[aÄM

ßs (*)] ^

0) =

2C^s(U7) [as (Г)-Р5(\Г)]^=0}>

что и доказывает (7.32).

(W) ys(W).

Далее, по

определению

ßs(№) =

Поэтому

%s(W)as (W7) = ^ ( W7) ^ ( W7)VS (Ю (Р-п- н.)

для почти всех

Р ( J(]s(W)as(W W ds< оо ] =

\о

= Р

{i3(W)i+(W)ys { W )fd s< ° ° ) > Р

( j Y ? W ^ < o o j

Итак, Р J {is {W)as(W))2ds < оо = 1 и, следовательно, опре

делен стохастический		интеграл j $s(W) as (W) dWs
Покажем, что Р-п.		н.
	t			(7.33)
1 + I	5s (W) as (W) dWs = 1 + J		Y, (W) dWs	(7.33)
Согласно (7.20)	1 +	J \ s ( W ) ds — l t { W ) .	Поскольку	процесс

(sf(W7)> ^~f). 0 ^ ^ ^ 7 ’, является неотрицательным мартингалом,

284 АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР [ГЛ. 7

то Р-п.	н.	it (W) = 0 при			т,	где
			г	inf ( / < Г :		it =	0),
		т	j	оо,	inf	it >	0.
			I		t < T
По определению					t
		1			t	Js (IF) j+ (IF) ys OF) dWs,
1	+	J is (Ю as(IF) dWs = 1 +			/	Js (IF) j+ (IF) ys OF) dWs,
	6				о
и, следовательно, при			T '^ x '^ - t равенство (7.33) выполнено
Р-п. н.	и,	в частности,	при х ^ Т
			Т

1 + { a , ( ^ K ( w w , = o .

При T '^ t'^ - x обе части (7.33) равны нулю.

Из (7.33) и (7.20) вытекает теперь справедливость уравне ния (7.28).

Для доказательства утверждений (7.29) и (7.30) восполь зуемся леммой 6.2, согласно которой процесс g*(lF), t ^ T , рассматриваемый как решение уравнения (7.28), может быть представлен в виде (7.29). Формула (7.30) следует из (7.29) и

леммы 4.10, если заметить, что Р ^ J а\ (|) ds < ооj = 1.

Чтобы теперь доказать (7.31), заметим, что в силу (7.27)

С другой стороны,

M tf-ш = ItJ (х)It (X) dpw (х) =

= Vw{х: It (х) > 0} = Р (W) > 0). (7.35)