Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 303
Скачиваний: 0
§ 21 ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА 285
что вместе с (7.34) и (7.35) приводит к доказательству требуе
мого равенства (7.31). |
|
Теорема доказана. |
— процесс |
3. Т е о р е м а 7.7. Пусть | = (£„ t), |
|
диффузионного типа с дифференциалом |
|
d l t = at (l)dt + |
d W f, |
£о = 0, |
|
Тогда |
|
|
|
т |
|
|
|
Р I J a ] ( l ) d t < |
оо] = 1, |
||
\о |
|
|
/ |
|
|
|
ir |
Р I j аl(W) d t < |
oo"j = l |
||
При этом Р-п. н. |
|
|
|
/ |
* |
|
1 |
%Г(І. W)=expl f as(W)dWs- { f a * ( W ) d s
(7.36)
(7.37)
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
dls + |
|
|
|
|
|
|
|
|
(t, |
Ю= |
ехр |
|
|
as |
|
<*’ (!) ds |
(7.38) |
|||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о |
у т в е р ж д е н и я |
«=^». По теореме 7.5 |
||||||||||||||
из |
условия Р |
|
|
d t |
< |
j*с» =(І) |
1 получаем, |
|
что |
< |
цр. |
||||||
Из |
|
теоремы |
7.6 |
следует |
представление |
(7.37), |
поскольку |
||||||||||
Р (J |
a ] ( W ) d t < ooj = |
1 |
и, значит, |
1^(0(117)) = |
|
<хДW )dW r |
|
||||||||||
|
^J |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
J |
|
|
|
||
|
В силу условия Р I |
j |
|
(Ц7) ds < оо J= |
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
J |
O.AW) dW s |
< оо |
= |
1 |
|
|
|
|
||||
(см. замечание 7 в п. 3 |
§ |
2 |
гл. 4), |
поэтому из (7.37) |
вытекает, |
||||||||||||
что |
|
( г- |
ѵ\ |
n 1 |
|
I |
Тогда |
по лемме |
6.8 n w <C |
и |
|||||||
|
M'W'jV w [ x : Turfjn- |
(*)= |
0 [ = |
0. |
|||||||||||||
|
|
lw |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
производная |
|
|
|
|
|
|
|
|
т-i |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(X) |
|
|
dH |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
dH |
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d\i w |
|
|
|
|
|
|
|||
что вместе с (7.37) и леммой 4.10 дает представление (7.38),
286 |
|
|
АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР |
|
|
|
[ГЛ. 1 |
||||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о |
у т в е р ж д е н и я |
|
«4=»- Если р^^р^, |
||||||||||||||||
то по теореме 7.5 р | |
J с^(|) dt < |
оо j = l . |
Но поскольку р ^ р ^,, |
||||||||||||||||
то тогда, |
очевидно, |
и Р | |
|
|
а] ( W) dt < |
о о |
|
= 1 . |
|
|
|
||||||||
Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обеспеч |
||||
4. |
В настоящем пункте будут изучаться условия, |
||||||||||||||||||
вающие абсолютную непрерывность меры р^ |
по мере р.. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
Предварительно |
введем |
|
|
следующее |
обозначение. |
Пусть |
|||||||||||||
а = (аДх), &t), |
2, ... |
|
|
|
|
— неупреждающий |
|
процесс |
и |
для |
|||||||||
каждого п — 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
j, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
inf |
|
|
/ < |
Г: J а* (х) ds ^ |
п |
|
|
|||||||
|
Tn (х) = |
|
•оо, j |
если |
Jта\ (%) < |
п, |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
х{х) — lim т„ (х). |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/7 -> оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е ма |
7.8. Пусть |
|
| = |
|
(g„ |
STt), |
t ^ T |
, — процесс |
диффу |
||||||||||
зионного |
типа |
с дифференциалом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
dlt = |
Щ (I) dt + dW t, |
go = |
О, |
|
|
|
|
|||||||||
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P ( J | a , f è ) | d * < ° ° |
|
1= |
1, |
|
|
Р (т„(|) > |
0) = |
1, |
|
/і = 1 , 2 , . . . . |
|||||||||
и на множестве |
(т (|) ^ Т) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
хп Ъ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
lim |
оf |
|
a](l)dt = |
оо. |
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда |
|
Р |
|
|
п |
|
|
|
= l=^pw < p 6 |
(7.39) |
|||||||||
|
|
a ] (W )d t< o o |
|||||||||||||||||
\о
и если 9"\ = П~Т, |
0 < / < Г, то |
|
Р М |
а?( ГМ/<оо]==1ф=рг < рг. |
(7.40) |
§ 2) |
ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА |
287 |
|
До к а з а т е л ь с т в о . В силу условия Р I J as2{W)ds < |
оо )= { |
|
Р (т (W ) = оо) = 1. |
|
Условие же Р И a2(|)ds < оо I = 1, вообще |
говоря, |
|||
полнено, а потому Р(т(£) = оо) ^ |
1. Из условия Р (т„ (|) > |
|||
п — 1, 2, . . . , следует лишь, |
что Р (т(|) > |
0) = |
1. |
|
Обозначим |
|
|
|
|
X(tB>(*) = |
X, |
< |
, |
|
|
j*: |
I a2(jc)ds<n |
|
|
«(в)(х) = at {х) х(/*> (х).
Положим также
t
а<») (|)ds + r t.
о
Поскольку = l t (Р-п. н.) при 0 < / < Тп (I), то
не вы
0) = 1,
р ^ J (і) ds = j ’ < > (!<«)) rfs, 0 < / < r j = 1,
и, следовательно,
d |(tn) = а<») (|W) <Д + <ИГг, g(*> = 0.
Ясно, что
|
/ 7 |
(aW(ir))2ds < |
X |
l, |
|
|
Р |
ooj = |
|
||
|
Р ( J (a<,rt) (£M))2ds < |
oo^ = |
1. |
|
|
Поэтому по теореме 7.7 ц£(П)~ ц ^ и |
|
|
|
||
d\i 5<"> |
(*. l (n)) = exp j — / |
«Г (|(в) d£<B) + |
4 { |
(а<»> (|W))2 ds [. (7. |
41) |
|
Ц> £Ѵ'Ц схр ) |
|
|
|
|
о
Обозначим
P(tn) (x) : dp Z_ (*» *)•
288 АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР
Тогда, если |
то |
Цѵр (А) = lim p w {А Л (т(п) (х) = оо)} = |
|
= lim ЛП(тпJ(х)=оо) |
(.v) = lim Л Л ( т л J(х )= о о ) pW (x) |
[ГЛ. 7
(x) =
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1іш |
|
(a) /W (x ) d p . (*). |
||||
Покажем, |
что |
условие |
P ^ J u ; ( W ) d s < |
ooJj = |
|
l |
обеспечивает |
||||||||
равномерную интегрируемость |
семейства |
величин {p^ (s) Xj*(s)> |
|||||||||||||
n = |
1, 2, ...}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для всякого N > |
1 имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
p f i W t f (l)dP (а>) = |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Х^)(і)>а} |
|
J |
Prt)(*)X?’WrfpJrt)(x)<i |
|
|||||||||
(ш; |
|
< |
= |
i |
|
||||||||||
|
Я)J |
(x: |
p f (X) Xj?) (X) > A’j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
{*: pW (л:)i f |
(x) > |
N} < |
p v {x: |
p f (x) > N } = |
|
|||||||
|
|
= P |
■j aW (Г) |
+ |
-i J («w (r ))2Js > |
ln iV |
< |
||||||||
< P |
J |
|
ln N |
+ 2Р j J (aw |
|
If |
|
|
J |
|
|
|
|||
|
«w (1Г) |
|
|
+ p |
|
(aW (U7))2ds > lnI N \ < |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(r))2rfs > |
ln N |
|
< |
|
|||
|
|
|
|
|
< |
ln4оN ~h 2P JJ* aj(W)ds > |
|
ln./vj , |
(7.42) |
||||||
где |
использована оценка |
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
f aW ( W ) d W s |
|
< |
+ P |
|
J (aW (W))2 d s > ln N |
||||||||
|
|
|
|
N |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
(см. лемму 4.6).
