Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 308
Скачиваний: 0
§ 2] |
ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИНА |
289 |
|
|
|
Поскольку р| J a2s (W) ds < |
ooj = |
1, |
то |
из |
(7.42) |
вытекает, |
|||||||||
что |
последовательность |
величин |
{р<?> (|) |
1(I), |
п = |
1, 2, |
...} |
|||||||||
равномерно интегрируема. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Рассмотрим |
величины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
Т |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
= |
г , |
т |
|
) ехр |
“ |
J |
№ d w * |
~ |
i j |
(“Г Щ 2 d l |
||||
|
|
|
|ja^(l)ds<n| |
|
|
О |
|
|
|
О |
|
|
||||
Из результатов |
п. 9 |
§ 2 |
гл. |
4 |
следует, |
что существует |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
Гт (<* (і)) = |
Р-Hm X ft |
|
, |
f a(sn)(І) dWs. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
П |
{ / а , 2 ( 6 ) Л < » |
о |
|
|
|
|
|
|||
Поэтому согласно замечанию 1 к теореме 1.3 |
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
[ pW (x) |
(x) du . (x) — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n |
А |
|
|
J |
9 f (I) %t ]' (I)dP (®) |
|
|
J |
Pr (a (£)) dP (w), |
|||||||
|
|
— lim |
|
= |
|
|||||||||||
|
|
" |
{»: I (oo) <= A) |
|
|
|
|
|
(m: £ (и) s A] |
|
|
|
||||
где |
|
pr (I) = |
exp |
|
|
|
|
|
ds |
. |
Следовательно, |
|||||
1 V < ІД И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
dH |
(£) = exp |
- r |
r |
( a ( | ) ) - |
|
(l)ds |
(7.43) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Докажем |
теперь |
утверждение |
«Ф=». |
Пусть |
|
и |
|||||||||
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
производную pt (|) = |
(t, |
l), |
||||||||
t ^ . T . |
Поскольку a-алгебры |
|
и |
совпадают, то существует |
||||||||||||
^■f-измеримая функция pt {W) такая, |
что pt(117) = |
р( (|) |
(Р-п. н.), |
|||||||||||||
f < Г . |
|
|
|
|
|
|
|
является |
неотрицательным мар |
|||||||
|
Процесс (рД|), ^ |) , t ^ T , |
|
||||||||||||||
тингалом. |
Следовательно, |
таким же |
свойством |
обладает |
и |
|||||||||||
Ю Р . Ш. Липцер, А. Н. Ширяев
290 АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЁР [ГЛ. 7
процесс (pt(H7), SFJ), |
t ^ . T . |
По |
теореме |
5.7 найдется процесс |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
/ |
т |
|
|
\ |
|
|
|
Y ~ (ъ (W), @~Y), t < |
Т, |
с |
|
|
f t (W)dt < ™ j = |
l |
такой, что |
||||||
Р-п. н. |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P , W = 1 |
+ |
\ y s(W)dWs. |
|
|
(7.44) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
Согласно теореме |
6.2 процесс |
W — (Wt-> |
t ^ |
Т, |
с |
||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w t = |
Wt - |
J ßs(IT) ds, |
|
ßs (W) = |
ps+ (Г) Ys(Г), |
(7.45) |
|||||||
рассматриваемый |
на |
(Q, P), |
P (da>) = pT {W (со)) P (da>), является |
||||||||||
винеровским. |
При этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Р |
|
ß2(H7)rfs< ooj = |
1. |
|
|
(7.46) |
|||||
Положим |
ßs (g) = |
p + |
(g) Ys (E), |
Ys (£) ^ |
Ys W - |
Тогда |
Р-п. h . |
||||||
ßs (І) = ßs ІЮ, |
s ^ T . |
Поэтому из (7.45) и уравнения |
|
|
|||||||||
|
|
|
h = |
J4(É )ds-H F , |
|
|
(7.47) |
||||||
следует, что |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i t = |
|
J [as (£) |
ßä (£)] ds. |
|
|
(7.48) |
||||
Процесс (lt, @~Y), |
t ^ T , |
рассматриваемый на (Q, |
P), |
также |
|||||||||
является винеровским, |
поскольку SF\ = 5FY и |
|
|
|
|||||||||
Р ( ^ Г ) = |
|
Pr (I (©)) dP (со) = |
J ^ |
(Г, л:) d ^ (х ) = |
n w (Г). |
||||||||
{и: І ( ю ) е = Г } |
|
|
|
|
|
|
Г |
5 |
|
|
|
||
Следовательно, |
процесс (Wt — %t, |
@~f), t ^ T , |
является квад |
||||||||||
ратично интегрируемым мартингалом и в силу (7.48) и леммы 7.1
щ (g) = — ßs (g) |
Р-п. н. при почти всех s<[7\ Поэтому |
||
Р |
a \ { W ) d t < |
ooj==P |
а*(|)й /< 0 о^=. |
= p (J ß ? ® ^ < ° ° ) = p ( j Р ? ( Г ) Л < « ^ = 1,
что и доказывает утверждение «#= ».
§ 2] |
|
|
|
|
ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА |
|
|
|
291 |
|||||||||
5. Т е о р е м а |
|
7.9. Пусть |
l = |
|
3Ft), |
t ^ T , |
— процесс |
д и ф |
||||||||||
фузионного |
типа |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
d l ^ a ^ D d t |
+ dWt, |
£0 = |
О, |
|
|
|
(7.49) |
||||||
где Р ^ J I a t (l) \dt |
< |
° о j = |
1, |
Р ^ J a ) { W ) d t |
< о о j = |
1, и |
в ы п о л |
|||||||||||
нены |
пр едло ж ен и я |
теоремы |
7.8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда процесс |
|
р, (£) = |
du,у. |
it, Q, |
t ^ T , |
|
является |
единствен- |
||||||||||
|
-,— |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а Р і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ным |
р е ш е н и е м |
у р а в н е н и я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P t ( i ) = l - |
Jps (S K (S W |
(Р-п. н.), |
|
|
|
|
(7.50) |
||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dp w (t, |
Г) = |
ехр^~ j |
as(W)dWs + |
j |
J a2(r )d sj |
(Р-п. h .), |
(7.51) |
|||||||||||
dp. I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dH |
(t, |
g) = |
exp( |
— ГДа(|))— g- j |
as ( l ) d s |
] |
(Р-п. h .), |
|
(7.52) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J а2(Юd s < |
oo') = |
Mexp|,| |
as ( W ) d W s - |
j |
j a0- ( W )d s ^ j . |
(7.53) |
||||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Представление |
(7.52) |
было доказано |
|||||||||||||||
в предшествующей теореме (см. (7.43)). Формула (7.51) |
следует |
|||||||||||||||||
из (7.52) и леммы 4.10, |
если только заметить, |
что |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
P-lim г , |
t |
|
|
} ехр1~ |
J |
|
(S) |
|
|
|
( a f |
(I))2 d s j |
= |
|
||||
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
I С 2(1) ds < °°1 |
' 0 |
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
||||||||
|
|
Ö |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 1 t
exp I |
d s |
j J <*$(5) äs < ooj |
|
что в предположении P ^J a?s ( W ) d s < |
ooj== 1 |
t |
|
T t { a { W ) ) ^ \ a s { W ) d W r
10*
|
АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР |
(ГЛ. 7 |
||
292 Равенство (7.53) устанавливается точно так же, |
как и (7.30) |
|||
в теореме 7.6. Справедливость |
уравнения (7.50) доказывается |
|||
так же, как и в лемме 6.3. |
в |
дальнейшем задачах последова |
||
6. |
В рассматриваемых |
|||
тельного |
оценивания (гл. 17, |
§§ |
5, 6) возникает вопрос об абсо |
|
лютной непрерывности мер, отвечающих процессам диффузион ного типа в случае, когда длительность наблюдения (Т) является
случайной величиной. |
|
|
|
|
непрерывных |
на [0, оо) функ |
|||||||||
|
Пусть |
(С, 38) — пространство |
|||||||||||||
ций x — (xt), |
t ^ O , |
х0 — 0, |
tSt — a{x: |
xs> |
|
|
и a = ax — мар |
||||||||
ковский момент относительно системы (38J), |
t ^ O . |
|
имеет диф |
||||||||||||
|
Будем предполагать, |
что процесс g = |
(g/), |
0, |
|||||||||||
ференциал |
dtt = |
at(l)dt + dWt, |
Іо = |
0, |
|
|
(7.54) |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
причем РІ J |
I а, (|) | dt |
< |
оо I = |
1. |
Через |
? |
и |
Ц0і ^ |
обозначим |
||||||
сужения |
■о |
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мер щ и |
|
на ст-алгебре $ а. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Т е о р е м а 7.10. |
1) |
Если Р ^ |
|
Ш ds < |
ооj = |
1, то р0 ? <С |
||||||||
< На. U7 “ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
aw |
|
|
|
|
|
|
|
al |
|
|
|
I |
4 |
|
|
a2(W)dt < оо |
= |
|
M exp |
- J |
а |
|
|
|
а]{l)dt |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
6 |
|
где |
aw—•<%(ffl)> °l — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.55) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2) Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
°6 |
|
|
|
|
|
0W |
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
f |
a2( l ) d t < o o |
U p M |
a ) { W ) d t < |
oo |
==l, |
||||||||
70 |
Vo, l ~ |
К |
W U К |
W'n - H-) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
°lwV |
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
( |
I |
% ( W ) d V ~ X j |
a U V ] d s \ (7.56) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим
5 ,( * ) = |
a , ( * ) x {t< 0 ^ , |
(7.57) |
§ 21 ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА 293
и пусть
I |
It, t < Ol, |
|
(7.58) |
|
l , = j |
Ц + І ^ - ^ І . |
‘ > o v |
||
|
T. e. I<=JtAal M i) d s + W t.
0
Нетрудно заметить, что
d l t = щ (!) dt + rfWV |
(7.59) |
Согласно сделанному предположению
и, |
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
P^Jä*( I ) ds<ooj ==l . |
|
|
|
(7.60) |
||||
|
Поэтому по теореме 7.5 (с |
Т = оо) |
р| <с n w и |
|
|||||||
|
ОО |
|
\ |
/ |
|
ОО |
|
|
|
оо |
|
|
(J ä){W )dt < оо I = |
МехрІ |
— |
[ |
|
— |
ö.]{Qdt |
||||
|
0 |
|
J |
\ |
|
о |
|
|
|
о |
(7.61) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Но (іа_6(Л) = |
р,|(Л) и ]iatW(A) = |
\iw {Ä) на множествах |
, |
|||||||
Значит, |
£ < |
IV w и (7.55) следует из (7.61) |
и |
(7.57). |
|
||||||
|
Аналогичным образом из теоремы 7.7 выводится утвержде |
||||||||||
ние об эквивалентности мер р.а £ и |
ѵ , |
а |
также |
и фор |
|||||||
мула (7.56). |
U7 — (Wt, SFt), |
0 < Л ^ 7 \ — n-мерный винеровский |
|||||||||
|
7. |
Пусть |
|||||||||
процесс, |
Wt = {Wx(t)........ Wn (t)), |
и |
g, = |
(gi(*)........... |„(0) — про |
|||||||
цесс с дифференциалом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
d l t = at {l)dt + dW t, |
Іо = |
0, |
|
|
|
|||
где |
щ (X) — (a, (t , х), .. . , |
ап (t , я)) — вектор |
из |
неупреждающих |
|||||||
функционалов.
Теоремы 7.5—7.10 допускают обобщение и на рассматри ваемый многомерный случай. Все формулировки остаются преж^ ними, с заменой лиши o?t {x) на a*f (x)at (x). Так, например,
